Este documento presenta una introducción a las funciones cuadráticas. Explica que una función cuadrática es cualquier función que puede escribirse como f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números. Además, describe cómo la forma de una parábola depende del coeficiente a, y cómo los parámetros a, b y c afectan la posición de la parábola. Finalmente, muestra ejemplos de cómo calcular los cortes con los ejes y el vértice de diferentes parábolas.

1. FUNCIONES CUADRÁTICAS
ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN
1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un
rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.
2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino
alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:
. La anchura del camino ha de ser constante en todo el
contorno.
Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?
Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una
tabla.
Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).
Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x
del camino.
¿Para qué valor de x es A = 100?
Actividad resuelta
3. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con
500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más.
Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.
Observa la tabla:
euros descuento 0 1 2 x
Precio 30 30-1 30-2 30-x
Nº espectadores 500 500+100.1 500+100.2 500+ 100x
Ingresos 30.500 (30-1)·(500+100.1) (30-2)·(500+100.2) (30-x)·(500+100.x)

2. Los ingresos obtenidos son
siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.
Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma
f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la
condición de que a sea distinto de 0 .
Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x +
15000
que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de
funciones cuadráticas.
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3
f(x) =
9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9
x2
Esta curva simétrica se llama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

3. Completando la gráfica obtengo:
Actividades resueltas
4. Dada la parábola y = x2 - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de
los puntos de la figura:
a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la
parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 =
1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

4. b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola,
no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x:
no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.
c. El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como
también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C =
(0,3).
d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la
parábola:
, que nos proporciona las
soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se
concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).
e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma
(x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 ,
cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F =
(3,0).
f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto
medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la
ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 -
8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo
encima" de H.
Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H
tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H =
(5,2).
h. Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a
la derecha" de I. Como pertenece a la parábola ,
cuyas soluciones
aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa
es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).
5. Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el
punto C de la parábola
y = x2 - x + 1 .

5. a. A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y).
Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).
b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x -
1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).
c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de
extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la
ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V =
(0'5,0'75).
d. Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x
= 2. Por lo tanto,
y = 22-2+1=3. C = (2,3).
Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax2 + bx
+ c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.
Obtención general del vértice
Sea la parábola y = ax2 + bx + c

6. Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el
sistema .
Igualando:
a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b =
0 que nos lleva a la solución x = -b/a.
La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del
segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a
Ejemplo
Si f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces y f(2) = -1. Y el vértice
será V = (2,-1).
Actividad
6. Dada la parábola y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos
indicados.
Cortes con los ejes
Observa las parábolas:
a. y = - x2 + 2x + 3

7. Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en
la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones
son x = -1, y x = 3.
Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).
El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la
parábola. Por tanto, será (0,3).
b. y = x2 - 4x + 4
Puntos de corte con el eje X:
Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2,
que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).
Punto de corte con el eje Y: (0,4).
c. y = x2 - 2x + 3

8. Puntos de corte con el eje X:
Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que . No existe
solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.
Punto de corte con el eje Y: (0,3)
Actividades
7. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
a. y = 2x2 -14x + 24 b. y = 5x2 - 10x + 5 c. y = 6x2 + 12
d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)
8. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos
(1,0) y (3,0).
9. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-
2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).
10. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al
eje Y en (0,6).

9. Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones
cuadráticas
Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)
Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).
Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.
Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
Un resultado importante
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a
de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma
forma que la parábola y = ax2.

10. Por ejemplo:
La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan
perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos
parábolas.
Al someter la parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son
las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x2.
Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del
tipo y = ax2.
Actividad
11. Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2 sobre la
parábola y = 3x2- 9x + 4 .

11. Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0)
La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2 ,
desplazándola 3 unidades
hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .
La gráfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 ,
desplazándola 4 unidades hacia abajo.
El nuevo vértice es V(0,-4) .
Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y
= ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo
tanto, su vértice es el punto V(0,c).
Parábolas del tipo y = ax2 + bx , (c = 0)
La gráfica de la parábola y = 2x2 - 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada
del vértice es -b/2a = 1.

12. Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice
es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).
Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de
coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0)
Actividades
12. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:
Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de
que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.
Actividad resuelta
13. Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(-4,-5), B(-2,3) y
C(3,-12).

13. Como A es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir,
-5 = a(-4)2 + b(-4) + c = 16a - 4b + c.
De la misma manera, B(-2,3) ha de cumplir: 3 = a(-2)2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c.
Y C(3,-12) : -12 = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c.
Obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Para resolverlo, puedes utilizar este método general:
Cambia el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la 2ª) y súmala a las otras dos.
Obtenemos así un sistema 2 x 2: cuyas solucione es a = -1 , b = -2.
Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos
c = 3.
La parábola buscada es y = -x2 - 2x + 3.
Represéntala gráficamente.
Actividades
14. Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:
A (3,7), B(1,-3) y C(-2,12).
P(-4,-5), Q(0,3) y R(1,0).
Representación gráfica de una parábola
Actividades resueltas
15. Dibuja la gráfica de y = x2 - 2x - 8

14. Como a = 1 es positivo, la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
La 1ª coordenada del vértice es p = -b/2a = -(-2)/(2·1) = 1. Y la 2ª coordenada q
= 1<2 - 2 · 1 - 8 = -9. Por tanto, el vértice es V(1,-9).
Puedes hallar otros puntos de la parábola utilizando valores de x situados a la
misma distancia de 1 por la izquierda y por la derecha.
Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado:
0 = x2 - 2x - 8.
Como sus soluciones son x = -2 y x = 4, los puntos de corte serán (-2,0) y (4,0).
16. Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1.
Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.
La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.
Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).
Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y
por la derecha:

15. 17. Dibuja la gráfica de
Como a = -1/2 es negativo, la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
La 1ª coordenada del vértice es
La segunda coordenada será: .
El vértice es, pues, V(2,-1)
Utilizando valores de x situados a la misma distancia de 2 por la izquierda y por
la derecha:
Resumiendo:
Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces:
Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada)

16. depende del coeficiente a de x2 .
Si a > 0, la forma es ^ y si a < 0, la forma es _.
Cuando más grande sea │a│, más cerrada es la parábola.
Existe un único corte con el eje Y, el punto (0,c) .
Los cortes con el eje X, se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c
= 0 y pueden ser dos, uno o ninguno.
La 1ª coordenada del vértice V(p,q) es p = -b/2a.
Actividades
18. Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:
Resolución del caso 1 :
a1 < 0 porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
La 1ª coordenada del vértice es negativa, es de decir -b1/2a1 < 0; luego -b1 > 0, o
lo que es lo mismo, b1 < 0.
El único corte con el eje Y es el punto (0,c1). Observando la gráfica c1 < 0.
Estudia los otros casos.
Dibuja una parábola y = ax2 + bx + c para cada caso según sea el signo de a, b y
c:

17. a b c
1 >0 >0 >0
2 >0 >0 <0
3 >0 <0 >0
4 >0 <0 <0
5 <0 >0 >0
6 <0 >0 <0
7 <0 <0 >0
8 <0 <0 <0
Optimización
Actividad resuelta
19. El director de un teatro sabe que si cobra 30 € por localidad, podría contar con
500 espectadores. Y que cada bajada de 1€ , le supondría 100 personas más.
Calcula las ganancias obtenidas en función del nº de bajadas del precio.
Obtuvimos al principio del tema que las ganancias obtenidas son
G(x) = (30-x)·(500+100.x) = -100 x2 + 2500x + 15000,
siendo x el nº de bajadas de 1 € en el precio de la entrada.
Esta función es una parábola. Su forma es ∩ con lo cual el máximo beneficio
teórico se alcanza en el vértice.
La primera coordenada del vértice es: .
El número real de descuentos de 1 € que garanticen un máximo de ganancias se
obtienen para:
x = 12 ( precio de , asisten 1.000 espectadores obteniendo unas ganancias de
30600 € )
x = 13 ( precio de 1.000, asisten 1.100 espectadores obteniendo unas ganancias
de 30600 €)
Sería mejor aún rebajar 12'5 €, en cuyo caso las ganancias serían de 30625 €.

18. Actividades
20. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno
adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?.
21. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros
recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x2 + 8x. Calcula la máxima
altura alcanzada por el proyectil.
Intersección de recta y parábola
Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de
verificar la ecuación de ambas, para obtenerlos, tendremos que resolver el
sistema de ecuaciones formado por ellas.
Actividades resueltas
22. Estudiar la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.

19. Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:
x2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1 y x2 = -2.
Si x1 = 1, entonces y1 = 1.
Si x2 = -2, entonces y2 = 4.
Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas
(1,1) y (-2,4), respectivamente.
Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.
23. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .
El sistema tiene ahora una solución (3,-9).

20. Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.
24. Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 y la recta y = -x + 5.
El sistema no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no
tienen ningún punto de corte.
En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:
según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o
ninguna.
Actividad resuelta
25. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros
recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 Km del lugar
de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de
ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.

21. El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema , que tiene
dos soluciones:
x1 = 6/4 = 1'5 (y1 = 3) y x2 = -1, que no tiene sentido para nuestro problema real.
Es decir, el impacto se producirá en el punto (1'5,3).
Actividad
26. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la
ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y
x el tiempo empleado en segundos.
a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo
que la profundidad del lugar es de 20 metros.
b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
Área bajo de una curva

22. Podemos estimar el área encerrada por una curva . Por ejemplo, esta gráfica
corresponde a la parábola y = 4x - x2 con x tomando valores desde 0 hasta 4.
A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje OX,
obtenemos una serie de trapecios y triángulos , cuya suma de áreas se
aproximará al área bajo la curva.
Sólo necesitas recordar :
Área del triángulo = ; Área del trapecio =
En nuestro caso, , , y , cuya suma total
proporciona un área aproximada de 10 unidades de superficie. Por supuesto
podrías sólo calcular el área de A y B y multiplicando por dos obtener el área
total)
Actividad resuelta
27. El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se
corresponde con la curva con x tomando valores desde -20
hasta 20.
Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:
que nos proporciona la gráfica adjunta.
La suma de estas áreas es de 690 m 2.

23. El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la
profundidad (altura).
Actividades
28. Dibuja la gráfica de para valores de x desde 0 hasta 5.
29. Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la
fórmula de la función anterior. Estima el volumen de bronce que necesitas para
construir esta pieza.
30. Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por
la ecuación con x desde 0 hasta 6. Estima el volumen de tierra y
roca que hay que excavar para construir el túnel.
Actividades finales