Bloque 1

Bloque 1

Uso del código algebraico para expresar las reglas
que gobiernan los patrones numéricos

Desarrollo del pensamiento algebraico

Bloque 1
Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los
patrones numéricos

Presentación
Este bloque de actividades tiene dos propósitos: (i) Presentarte un
acercamiento alternativo para el estudio del álgebra con la finalidad de reavi-
var los conocimientos matemáticos que adquiriste en tus estudios en el bachi-
llerato y (ii) Sujetar a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican
las facilidades que ofrece un procesador algebraico para favorecer el
aprendizaje del álgebra como un lenguaje que permite expresar y justificar
generali- zaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos.

Las actividades de este bloque, y los demás que conforman este libro,
están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el
psicó- logo Jerome Bruner. Este precepto teórico consiste en el
establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña con el
que va a aprender de él, este formato, aunque aparentemente es rígido,
ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos
del código de comunicación, en nuestro caso, del código algebraico. La
presentación de las actividades pa- rece repetitiva, sin embargo no lo es,
siempre hay algún nuevo elemento ma- temático al pasar de una hoja de
trabajo a otra, ya sea el tipo de valores numéricos que se emplean o algún
nuevo elemento en la estructura algebraica de las expresiones que se inducen
en cada actividad. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma
f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las inversas de esas funciones. Se transita del
ámbito de las funciones lineales al de las ecuaciones lineales con una
incógnita; del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para
expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico
al ámbito de la lectura de esas expresiones.

Te invitamos que analices estas actividades bajo la perspectiva del
tipo de aprendizaje matemático que los alumnos de educación básica pueden
des- arrollar si ellos las realizan. Nuestra mayor expectativa es que tu
análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de
actividades, con lo que estarás propiciando el desarrollo de competencias
docentes que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de
educación básica.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz


HOJA DE TRABA JO
1
Patrones numéricos: Val ores de entrada y
salida

Valor de Valor de
Un estudiante tecleó en su entrada salida
calculadora una expresión al- 1 5
gebraica que produce lo si-
2 6
guiente:
3 7
Si el valor de entrada es 1 el 4 8
programa da por resultado 5; 5 9
si introduce 2, da por resulta-
do 6, y así sucesivamente.

1. ¿Qué resultado va a dar la calculadora tecleas 6 como valor de entrada? 10
¿Si es 10 ? 14 ¿Si el valor de entrada es 0? 4

¿Qué operación hiciste para obtener esos resultados? Al valor de entrada se le sumo 4

2. ¿Puedes construir una expresión algebraica para que tu calculadora produzca los mis-
mos resultados que la de ese estudiante? Escribe tu expresión en el cuadro de abajo.

x+4=y

3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla.
Valor de 17 35.02 89.73 107.06 299.1 307.09 507 609.03
entrada
Valor de 21 39.02 93.73 111.06 303.1 311.09 511 613.03
salida

¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03?
Al valor de salida se le resto 4

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 511 es el correcto?
Se invierte la operación y es asi como el resultado se obtiene.


HOJA DE TRABA JO
2
Valores proporcionales
(1)

Valor de Valor de 1. Se tecleó en la calculadora una expresión algebraica que
entrada salida
produce esta tabla de valores.

7 14
8 16
9 18
15 30
18 32

2. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5? 10
¿ Si es 25? 50 ¿Si es 17? 34

¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados? El valor de entrada se
multiplico por 2

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?
Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

2x=y

3. Teclea en tu calculadora el programa que hiciste para encontrar los valores que faltan
en esta tabla.

Valor de 25 37.03 59.83 117.18 136.1 200.79 275.5 326.69
entrada
Valor de 50 74.06 119.66 234.36 272.2 401.58 551 653.38
salida

4. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada pa-
ra 551 y 653.38? el valor de salida se divide entre 2

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 653.38 es correc-
to? Al invertir la operación nos da el resultado correcto.


HOJA DE TRABA JO
3
Valores proporcionales
(2)

1. Completa la siguiente tabla.
Valor de Valor de
entrada salida
2.5 7.5
3.1 9.3
4 12
5.3 15.9
6.2 18.6
15.8 47.4
73 219

3. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan en la tabla?
multiplicar por 3

4. ¿Puedes programar tu calculadora para encontrar los valores de salida? Escribe tu
programa en el cuadro de abajo.

3x=y ó VE+VE+VE=VS

5. Comprueba que tu programa permite obtener los mismos valores que se muestran en la
tabla.

6. Completa la tabla de abajo usando el programa que construiste.

9 17 18.04 47.01 50.4 63.9 29.7 30.8
27 51 54.12 141.03 151.2 191.7 89.1 92.4

6. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada
asociados a 89.1 y 92.4? División entre 3

7. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 92.4 es correcto?
Se invirte la operación y muestra si el resultado es correcto


HOJA DE TRABA JO
4
Reglas de dos pasos
(1)

Valor de Valor de Un estudiante produjo la tabla de la izquierda usando un pro-
entrada salida
grama.
1.1 3.2
2.6 6.2
3 7
4.3 9.6
5 11

1. ¿Qué valor de salida va a dar la calculadora si el valor de entrada es 50?
101 ¿Si es 81? 163 ¿Y si es 274? 549

2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores de salida?
Multiplicar por 2 y sumar 1

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?
Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

2x+1=y

4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.
Valor 12 16 19.05 48.02 51.45 62.7 43.6 47.2
de en-
trada
Valor 25 33 39.1 97.04 103.9 126.4 88.2 95.4
de sali-
da

5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2
es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo con él? si Indica con
la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que
obtuviste para 95.4 es el correcto. Restar 1 y dividir entre 2 el resultado


HOJA DE TRABA JO
5
Reglas de dos pasos
(2)
Valor de Valor de
entrada salida
Un estudiante construyó un programa que hace lo siguiente:
1 1
2 3
3 5
4 7
5 9

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? 11 ¿Si es
7? 13 ¿Si es 15? 17

2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores? multiplicar
por 2 y restar 1

3. Programa tu calculadora para que produzca la
misma tabla que hizo ese estudiante. Escribe
tu programa en el cuadro de la derecha.

Comprueba que tu programa produce los mismos
valores de salida que se muestran en la tabla.

2x-1=y

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Valor de 10 11 15 13 27 69 259.14
entrada
Valor de 19 21 29 25 53 137 517.28
salida

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 137 es correcto?
Al invertir la operación se obtiene el resultado


HOJA DE TRABA JO
6
Patrones con valores negativos
(1)

1. Completa la siguiente tabla.

-10 -9.7 -7.8 -6.2 -5.3 -4.6 -0.7 0 1.3 12.4
-9.5 -9.2 - 7.3 -5.7 -4.8 -4.1 -0.2 .5 1.8 12.9

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga el trabajo de completar la tabla?.

Escribe tu programa en el cuadro de la de-
recha.

x+.5=y

Usa el programa que hiciste para obtener
los valores que se muestran en la tabla ante-
rior. ¿Pudiste obtener los mismos valores?
si Si no es así, modifica tu
programa e intenta de nuevo.

3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.

-20 -14.7 -13.8 -12.3 -10.8 -9.6 -.5 2.5
-19.5 -14.2 -13.3 -11.8 -10.3 -9.1 0 3

4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para -10.3 y
0 son correctos. ¿Obtuviste los mismos valores? si Si no, modifica tu progra-
ma e intenta de nuevo.


HOJA DE TRABA JO
7
Patrones con valores negativos
(2)

Valor de Valor de Encuentra los valores que faltan.
entrada salida

-15 -16.5
-14.5 -16
-12.4 -13.9
-10.2 -11.7
-5.8 -7.3
-4.6 -6.1
-0.9 -2.4
0 -1.5

1. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla?
Escribe un ejemplo usando uno de los valores de entrada de la tabla.
Al numero cero se le resto 1.5 y el resultado es negativo.

2. ¿Puedes programar tu calculadora para reproducir los valores de la tabla?

Escribe tu programa en el cuadro de la de-
recha.

x-1.5=y

Asegúrate de que tu programa permite en-
contrar los mismos valores que se muestran
en la tabla.

3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.

-20 -15.8 -13.8 -10.4 -10.83 -8.22 -.05 11.5
-21.5 -17.3 -15.3 -11.9 -12.33 -9.72 -1.55 10

4. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuvis-
te para -9.72 es correcto. Se invierte y en lugar de restar se suma


HOJA DE TRABA JO
8

Constante de proporcionalidad fraccionaria
(1)

Se construyó la siguiente tabla usando un programa: Valor de Valor de
entrada salida
10.5 5.25
14.42 7.21
15.3 7.65
16.7 8.35
20.1 10.05

1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? 3
¿Si es 19.3? 9.65 ¿Si es 56? 28 ¿Si es 177? 88.5

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-
ros(as) pueda entenderte. se dividio entre dos

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la misma tabla? Escríbelo en el
cuadro de abajo.

x/2=y

Comprueba que tu programa te permite obtener los mismos valores que se muestran en la
tabla.


HOJA DE TRABA JO
9
(2)

Valor de Valor de Se produjo esta tabla usando un programa en la calculadora:
entrada salida
6 9
8 12
14 21
15 22.5
18 27

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora el valor de entrada es 10?
15 ¿Si es 13.4? 20.1 ¿Si es 15.6? 23.4

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-
ros(as) pueda entenderte se dividio entre 2 el valor de entrada y se le sumo lo que
sobra

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos valores que se mues-
tran n la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

X+(x/2)=y

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Valor de 20 22 35 38 44 50 72 82
entrada
Valor de 30 33 52.5 57 66 75 108 123
salida

5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57
es el correcto. 2y=3x dos veces y entre dos es igual a x; 2 veces 57 dividido entre 3
es igual al valor de entrada


HOJA DE TRABA JO
10
Constante de proporcionalidad fraccionaria (3)

4 4.04 ¿Puedes encontrar los valores que faltan?

6 6.06
9 9.09
10 10.1
12 12.12
15.5 15.655
17.8 17.978
19.2 19.392
20.4 20.604
50.2 50.702

1. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que cualquiera de tus
compañeros(as) pueda entenderte. se siguió la expresión algebraica que radica en
multiplicar el valor de entrada por 1.01

2. ¿Puedes programar tu calculadora para
obtener los valores de la tabla? Escribe
tu programa en el cuadro de la derecha.

X*1.01=y

Comprueba que tu programa produce los mismos números que aparecen en la tabla. Si no,
modifícalo e intenta de nuevo.


1 2.2 3.1 4.3 9 12 32 38.4
1.01 2.222 3.131 4.343 9.09 12.12 32.32 38.784

4. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.
Al invertir la expresión algebraica en lugar de multiplicar se dividirá entre 1.01


HOJA DE TRABA JO
11
Lectura de expresiones algebraicas
(1)

1. Se va a usar el programa Número de Número de
entrada salida
2+2×b para completar esta
3 8
tabla. Encuentra los valores
que faltan sin usar la calcu- 9 20
ladora. 11.5 25
12 26
15 32
18 38

Teclea ese programa en tu calculadora y comprueba si tus respuestas son correctas. Si
tus respuestas no fueron correcta corrígelas de acuerdo con lo que obtuviste en la calcu-
ladora y explica a qué se debió tu error.

2. Observa el programa 3+5×a. Sin usar la calculadora, completa la siguiente tabla de
acuerdo con los valores que ese programa produciría.

Valor de 2 4 5 8 10 12 15 20
entrada
Valor de 13 23 28 43 53 63 78 103
salida

3. Teclea el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Tus res-
puestas coincidieron con los resultados que te da la calculadora? si
Si no fue así, ¿a qué crees que se deba que sean distintos tus resultados y los de la
calculadora? por el uso de paréntesis al utilizar operaciones diferentes

4. Teclea en tu calculadora el programa (3+5)×a y completa la siguiente tabla.

Valor de 2 4 5 8 6.625 12 9.75 20
entrada
Valor de 16 32 40 64 53 96 78 160
salida

5. Compara los resultados que obtuviste con los de la tabla del inciso (2). ¿A qué crees
que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo 3+5=5*1=5 la diferencia esta
en que primero se hace la suma y por tanto al multiplicar nos dara un valor diferente a
si hacemos primero la multiplicación y posteriormente la suma


HOJA DE TRABA JO
12
Lectura de expresiones algebraicas
(2)

La siguiente tabla se produjo con un programa en la
7 23
9 29
10 32
calculadora:
12 38
16 50

1. Un estudiante dice que el programa 2+3×b le permite producir los valores de esa tabla.
¿Estás de acuerdo con él? si Escribe un ejemplo que tu justifique tu res-
puesta 1*3=3+2=5

2. Una estudiante dice que el programa 2+b+b×2 también produce los valores de esa
tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? si Escribe un ejemplo que justifi-
que tu respuesta. 2*2=4+2+2=8

3. Otra estudiante dice que el programa 5×a+2−2×a también produce los valores de esa
tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? si Escribe dos ejemplos que justifiquen
tu respuesta. 5*2=10+2=12-(2*2)=12-4=8

4. ¿Puedes encontrar otro programa que permita obtener los valores de esa tabla? Escri-
be todos los programas que encuentres. 4*a-a+2


HOJA DE TRABA JO
13
Reglas de dos pasos
Valor de Valor de
(3) entrada salida
7 20
1. Una estudiante hizo un programa que proce la siguiente ta-
7.5 21.5
8.2 23.6
9 26
bla: 9.6 27.8

2. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor de salida dará la calculadora? 29
Si el valor de entrada es 12, ¿qué valor de salida dará la calculadora? 35

3. La calculadora dio 17.5 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada?
Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5.

que produzca la tabla del inciso (1)? Es-
cribe tu programa en el recuadro.

3x-1=y

Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Valor de 3 6 5.1 5.4 9.4 11.2 22 27
entrada
Valor de 8 17 14.3 15.2 27.2 32.6 65 80
salida


HOJA DE TRABA JO
14

(4)

Valor de Valor de 1. Una estudiante hizo un programa que produce lo si-
entrada salida
guiente:
10 2.5
15 3.75
20 5
25 6.25
30 7.5

2. Si el valor de entrada es 56, ¿qué valor de salida arrojará la calculadora? 14

3. Si la calculadora da 87 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? 348
4. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87 al tener el valor
de salida lo que se debe hacer para encontrar el valor de entrada es lo contrario es decir
multiplicar por 4


x/4=y


Valor de 3 4 5.1 6.6 9.4 10.8 22 35
entrada
Valor de 0.75 1 1.275 1.65 2.35 2.7 5.5 8.75
salida


HOJA DE TRABA JO
15

1. Un estudiante hizo un programa que produce la siguiente
2 5
tabla:
3 7.5
4 10
5 12.5

2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida va a dar la calculadora? 15
3. ¿Si el valor de entrada es 7? 17.5 ¿Si es 55? 137.5

4. La calculadora dio 35 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? 14

5. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35?

6. ¿Puedes programar tu calculadora para 7.
que haga produzca la tabla del inciso (1)?
Escribe tu programa en el recuadro.

2x+(x/2)=y


Valor de 3 3.4 5.1 6.2 9.4 9.4 12.2 14
entrada
Valor de 7.5 8.5 12.75 15.5 23.5 23.5 30.5 35
salida


HOJA DE TRABA JO
16
(5)

0.15 0.015 1. Esta tabla se hizo utilizando un programa.

0.27 0.027

0.3 0.03

1.5 0.15

2.03 0.203

2. Si el valor de entrada es 10 ¿qué valor de salida dará la calculadora? 1

3. La calculadora dio 37 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? 370

4. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37? Dividir el
valor de salida entre 0.1

4. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que asociado a 37 es el correcto? Explícalo con
detalle. La expresion algebraica en un principio se multiplica por 0.1 pero al buscar el
valor contrario se hace la operación contraria que es dividir entre el mismo valor


x*0.1=y


3 4 5.1 6.3 9.4 11.8 12.2 350
0.3 0.4 0.51 0.63 0.94 1.18 1.22 35


Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo-
que explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento
didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute amplia-
mente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

2. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo-
que explica el papel que desempeña el uso de un procesador algebraico en este
acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso?
Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas
se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecuaciones lineales
con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar
sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu
profesor.

“se transita de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las in-
versas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede en-
contrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as)
y tu profesor.

“se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para
expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al
ámbito de la lectura de esas expresiones”. Identifica en qué parte de las
actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Discute tu
respuesta con tus compañe- ros(as) y tu profesor.

6. En la presentación de este bloque de actividades se mencionan las funciones de la
forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Inter-
net cuáles son las definiciones de los siguientes conceptos:

(i) Dominio de una función.
(ii) Contradominio de una función.
(iii) Imagen de una función.
(iv) Regla de correspondencia de una función.

Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que has realizado en
este bloque.

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