El documento presenta información sobre la racionalización de expresiones. Explica que racionalizar significa eliminar los radicales del denominador de una fracción. Luego provee ejemplos de expresiones no racionalizadas y muestra los pasos para racionalizar fracciones como 3/5√9 y √5/√2. Finalmente, presenta otro ejemplo de racionalización de la expresión 4√28 - √20.

1. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Racionalizar
Concepto y ejemplos m´as usuales
8 de octubre de 2018
Eduardo Mena Caravaca
Eduardo Mena Caravaca

2. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
´Indice
1 Concepto y conocimientos previos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
2 Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Eduardo Mena Caravaca

3. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Definici´on
Racionalizar es hacer, que el denominador de una
fracci´on no tenga radicales
Eduardo Mena Caravaca

4. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Definici´on
Racionalizar es hacer, que el denominador de una
fracci´on no tenga radicales
Expresiones no racionalizadas
Eduardo Mena Caravaca

5. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Definici´on
Racionalizar es hacer, que el denominador de una
fracci´on no tenga radicales
Expresiones no racionalizadas
2
√
5
;
Eduardo Mena Caravaca

6. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Definici´on
Racionalizar es hacer, que el denominador de una
fracci´on no tenga radicales
Expresiones no racionalizadas
2
√
5
;
√
7
√
7 + 2
;
Eduardo Mena Caravaca

7. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Definici´on
Racionalizar es hacer, que el denominador de una
fracci´on no tenga radicales
Expresiones no racionalizadas
2
√
5
;
√
7
√
7 + 2
;
1
3
√
5 − 1
Eduardo Mena Caravaca

8. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
=
Eduardo Mena Caravaca

9. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
Eduardo Mena Caravaca

10. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
=
Eduardo Mena Caravaca

11. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
)
Eduardo Mena Caravaca

12. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
)
a3
− b3
=
Eduardo Mena Caravaca

13. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
)
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
)
Eduardo Mena Caravaca

14. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
)
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
)
As´ı:
7 − 5 =
√
7 +
√
5
√
7 −
√
5
Eduardo Mena Caravaca

15. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
)
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
)
As´ı:
7 − 5 =
√
7 +
√
5
√
7 −
√
5
7 + 5 = 3
√
7 + 3
√
5
3
√
72 − 3
√
7 · 5 +
3
√
52
Eduardo Mena Caravaca

16. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
Factorizaci´on de:
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
)
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
)
As´ı:
7 − 5 =
√
7 +
√
5
√
7 −
√
5
7 + 5 = 3
√
7 + 3
√
5
3
√
72 − 3
√
7 · 5 +
3
√
52
7 − 5 = 3
√
7 − 3
√
5
3
√
72 + 3
√
7 · 5 +
3
√
52
Eduardo Mena Caravaca

17. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
a0
= 1 60
= 1
Eduardo Mena Caravaca

18. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
a0
= 1 60
= 1
a−n
=
1
an
3−5
=
1
35
Eduardo Mena Caravaca

19. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
a0
= 1 60
= 1
a−n
=
1
an
3−5
=
1
35
a
p
n = n
√
ap 2
3
5 =
5
√
23
Eduardo Mena Caravaca

20. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
a0
= 1 60
= 1
a−n
=
1
an
3−5
=
1
35
a
p
n = n
√
ap 2
3
5 =
5
√
23
ap
· aq
= ap+q
23
· 25
= 28
Eduardo Mena Caravaca

21. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
a0
= 1 60
= 1
a−n
=
1
an
3−5
=
1
35
a
p
n = n
√
ap 2
3
5 =
5
√
23
ap
· aq
= ap+q
23
· 25
= 28
ap
aq
= ap−q 27
25
= 22
Eduardo Mena Caravaca

22. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
a0
= 1 60
= 1
a−n
=
1
an
3−5
=
1
35
a
p
n = n
√
ap 2
3
5 =
5
√
23
ap
· aq
= ap+q
23
· 25
= 28
ap
aq
= ap−q 27
25
= 22
(an
)p
= an·p
54 2
= 28
Eduardo Mena Caravaca

23. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
a0
= 1 60
= 1
a−n
=
1
an
3−5
=
1
35
a
p
n = n
√
ap 2
3
5 =
5
√
23
ap
· aq
= ap+q
23
· 25
= 28
ap
aq
= ap−q 27
25
= 22
(an
)p
= an·p
54 2
= 28
n
√
ap · n
√
an−p = a
5
√
23 ·
5
√
22 = 2
Eduardo Mena Caravaca

24. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
´Indice
1 Concepto y conocimientos previos
Factorizaci´on
Propiedades de la operaci´on potencia
2 Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Eduardo Mena Caravaca

25. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
Eduardo Mena Caravaca

26. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
=
3 ·
5
√
33
5
√
32 ·
5
√
33
Eduardo Mena Caravaca

27. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
=
3 ·
5
√
33
5
√
32 ·
5
√
33
=
3 ·
5
√
33
5
√
35
Eduardo Mena Caravaca

28. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
=
3 ·
5
√
33
5
√
32 ·
5
√
33
=
3 ·
5
√
33
5
√
35
=
3 ·
5
√
33
3
Eduardo Mena Caravaca

29. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
=
3 ·
5
√
33
5
√
32 ·
5
√
33
=
3 ·
5
√
33
5
√
35
=
3 ·
5
√
33
3
=
5
√
33
Ejemplo
Racionalizar
√
5
√
2
Soluci´on √
5
√
2
Eduardo Mena Caravaca

30. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
=
3 ·
5
√
33
5
√
32 ·
5
√
33
=
3 ·
5
√
33
5
√
35
=
3 ·
5
√
33
3
=
5
√
33
Ejemplo
Racionalizar
√
5
√
2
Soluci´on √
5
√
2
=
√
5 ·
√
2
√
2 ·
√
2
Eduardo Mena Caravaca

31. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
=
3 ·
5
√
33
5
√
32 ·
5
√
33
=
3 ·
5
√
33
5
√
35
=
3 ·
5
√
33
3
=
5
√
33
Ejemplo
Racionalizar
√
5
√
2
Soluci´on √
5
√
2
=
√
5 ·
√
2
√
2 ·
√
2
=
√
10
√
22
Eduardo Mena Caravaca

32. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
5
√
9
Soluci´on
3
5
√
9
=
3 ·
5
√
33
5
√
32 ·
5
√
33
=
3 ·
5
√
33
5
√
35
=
3 ·
5
√
33
3
=
5
√
33
Ejemplo
Racionalizar
√
5
√
2
Soluci´on √
5
√
2
=
√
5 ·
√
2
√
2 ·
√
2
=
√
10
√
22
=
√
10
2
Eduardo Mena Caravaca

33. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
4
√
28 −
√
20
Soluci´on
4
√
28 −
√
20
Eduardo Mena Caravaca

34. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
4
√
28 −
√
20
Soluci´on
4
√
28 −
√
20
=
4
2
√
7 − 2
√
5
Eduardo Mena Caravaca

35. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
4
√
28 −
√
20
Soluci´on
4
√
28 −
√
20
=
4
2
√
7 − 2
√
5
=
2
√
7 −
√
5
Eduardo Mena Caravaca

36. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
4
√
28 −
√
20
Soluci´on
4
√
28 −
√
20
=
4
2
√
7 − 2
√
5
=
2
√
7 −
√
5
=
2(
√
7 +
√
5)
(
√
7 −
√
5)(
√
7 +
√
5)
Eduardo Mena Caravaca

37. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
4
√
28 −
√
20
Soluci´on
4
√
28 −
√
20
=
4
2
√
7 − 2
√
5
=
2
√
7 −
√
5
=
2(
√
7 +
√
5)
(
√
7 −
√
5)(
√
7 +
√
5)
=
2(
√
7 +
√
5)
7 − 5
Eduardo Mena Caravaca

38. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
4
√
28 −
√
20
Soluci´on
4
√
28 −
√
20
=
4
2
√
7 − 2
√
5
=
2
√
7 −
√
5
=
2(
√
7 +
√
5)
(
√
7 −
√
5)(
√
7 +
√
5)
=
2(
√
7 +
√
5)
7 − 5
=
√
7 +
√
5
Eduardo Mena Caravaca

39. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
1
4
√
7 − 2
Soluci´on
1
4
√
7 − 2
Eduardo Mena Caravaca

40. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
1
4
√
7 − 2
Soluci´on
1
4
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2 ·
4
√
7 − 2
3
Eduardo Mena Caravaca

41. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
1
4
√
7 − 2
Soluci´on
1
4
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2 ·
4
√
7 − 2
3
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2
4
Eduardo Mena Caravaca

42. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
1
4
√
7 − 2
Soluci´on
1
4
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2 ·
4
√
7 − 2
3
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2
4
=
4
√
7 − 2
3
√
7 − 2
Eduardo Mena Caravaca

43. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
1
4
√
7 − 2
Soluci´on
1
4
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2 ·
4
√
7 − 2
3
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2
4
=
4
√
7 − 2
3
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3 √
7 + 2
√
7 − 2
√
7 + 2
Eduardo Mena Caravaca

44. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
1
4
√
7 − 2
Soluci´on
1
4
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2 ·
4
√
7 − 2
3
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2
4
=
4
√
7 − 2
3
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3 √
7 + 2
√
7 − 2
√
7 + 2
=
4
√
7 − 2
3 √
7 + 2
3
Eduardo Mena Caravaca

45. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
1
4
√
7 − 2
Soluci´on
1
4
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2 ·
4
√
7 − 2
3
=
4
√
7 − 2
3
4
√
7 − 2
4
=
4
√
7 − 2
3
√
7 − 2
=
4
√
7 − 2
3 √
7 + 2
√
7 − 2
√
7 + 2
=
4
√
7 − 2
3 √
7 + 2
3
=
4
√
7 + 2
3
Eduardo Mena Caravaca

46. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
3
√
5 − 3
√
2
Soluci´on
3
3√
5−
3√
2
Eduardo Mena Caravaca

47. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
3
√
5 − 3
√
2
Soluci´on
3
3√
5−
3√
2
=
3·
3√
52+
3√
5·2+
3√
22
3√
5−
3√
2
3√
52+
3√
5·2+
3√
22
Eduardo Mena Caravaca

48. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
3
√
5 − 3
√
2
Soluci´on
3
3√
5−
3√
2
=
3·
3√
52+
3√
5·2+
3√
22
3√
5−
3√
2
3√
52+
3√
5·2+
3√
22
=
3
3
√
52 +
3
√
5 · 2 +
3
√
22
5 − 2
Eduardo Mena Caravaca

49. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
Ejemplo
Racionalizar
3
3
√
5 − 3
√
2
Soluci´on
3
3√
5−
3√
2
=
3·
3√
52+
3√
5·2+
3√
22
3√
5−
3√
2
3√
52+
3√
5·2+
3√
22
=
3
3
√
52 +
3
√
5 · 2 +
3
√
22
5 − 2
=
3
√
52 +
3
√
5 · 2 +
3
√
22
Eduardo Mena Caravaca

50. Concepto y conocimientos previos
Ejemplos
Primer Tipo
Segundo Tipo
Tercer Tipo
Cuarto Tipo
¡Practica!
Eduardo Mena Caravaca