Este documento define y clasifica las cuádricas, que son ecuaciones de segundo grado en tres variables. Describe los tipos principales de cuádricas (elipsoides, hiperboloides, paraboloides, cilindros), sus ecuaciones reducidas y cortes con planos. También explica cómo calcular los invariantes, la signatura lineal y elementos notables como el centro y ejes de una cuádrica.

1. Tema 7 Cuádricas

2. Definición
Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que
verifican una ecuación de segundo grado del tipo
a00 + 2a01 x + 2a02 y + 2a02 z + a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 xz + a33 z 2 + 2a23 yz = 0
o lo que es lo mismo, matricialmente,
 a00 a01 a02 a03  1
  
 a01 a11 a12 a13   x
(1 x y z)    y = 0
a a12 a22 a23
 02  
a
 03 a13 a23 a33   z 

 
( )
La matriz de orden 4, A4 = aij 0≤i≤3
, se denomina matriz de la cuádrica y la
0≤ j ≤3
submatriz de orden 3, A3 = (a )
ij 1≤i≤3
, es la matriz de la forma cuadrática
asociada a la cuádrica. 1≤ j ≤3

3. TIPOS DE CUÁDRICAS
Elipsoides Hiperboloides de una hoja Hiperboloides de dos hojas
Paraboloides Cilindros

4. Invariantes de una cuádrica
Los siguientes valores son invariantes de una cuádrica respecto a un
Movimiento rígido:
i) ∆ = A4
ii) δ = A3
iii) s1 = tr(A3 )
(
iv) s2 = tr Adj (A3 ) )
v) En el caso del cilindro, también : s3 = A22 + A33 + A44

5. Ecuación reducida de una cuádrica
Elipsoide real/imaginario, hiperboloide de 1/2 hoja/s, cono real/imaginario:
∆
λ1 x + λ2 y + λ3 z +
2 2 2
=0
δ
Elipsoide: corte por planos paralelos a los planos coordenados
son elipses.
Hiperboloide de una hoja: corte por planos: z =k son elipses,
x =k o y =k son hipérbolas.

6. Hiperboloide de dos hojas:
x 2 y2 z 2
2
+ 2 − 2 = −1
a b c
Cortes por planos z=k
Si –c < k <c, no se produce intersección
La intersección es una elipse cuando k <-c ó k >c

7. Cono
x 2 y2 z 2
2
+ 2 − 2 =0
a b c
Corte por planos paralelos a los coordenados
Los cortes por planos z=k son
elipses, salvo el caso z=0 que
describe el vértice del cono.

8. Ecuación reducida de una cuádrica
Paraboloide (si suponemos nulo el tercer autovalor de A3) :
∆
λ1 x + λ2 y ± 2 − z = 0
2 2
s2
Eliptico, si los autovalores son del mismo signo:
x 2 y2
z= 2 + 2
a b
Hiperbólico, si son de signos distintos.
x 2 y2
z= 2 − 2
a b

9. Paraboloide elíptico :
Los cortes por planos z=k, con k>0, son elipses.
La intersección con z=0 es
un punto.
Con los planos x=k e y=k se
producen parábolas.

10. Paraboloide hiperbólico :
Cortes con planos z=k
Par de rectas que se cortan en el
punto de silla si k=0
Hipérbolas si k<0 o k>0
Cortes con planos y=k
Cortes con planos x=k

11. Ecuación reducida de una cuádrica
Cilindro elíptico/hiperbólico, par de planos secantes :
s3
λ1 x + λ2 y + = 0
2 2
s2
x 2 y2 x 2 y2
2
+ 2 =1 2
− 2 =1
a b a b

12. Ecuación reducida de una cuádrica
Cilindro parabólico (sup. los dos últimos autovalores nulos) :
s3
λ1 x ± 2 − y = 0
2
s1
y = ax 2

13. Definición
Se llama signatura lineal, σ, de la cuádrica al valor absoluto de la diferencia
entre el número de permanencias de signo y de variación de signos en la
{ 1,s2 ,δ}
sucesión de números reales:
1,s
La signatura lineal, σ, de la cuádrica coincide con la diferencia entre el
número de autovalores positivos y negativos de la matriz A3.
Ejemplos:
Calcular la signatura lineal de la cuádrica: x − 3xz + 2z = 0
2 2
0 0 0 0
   δ =0 } P }C 
0 2 0 −3   
A4 = ⇒  s1 = 6 ⇒ 1, 6,{ −1, 0  ⇒ σ = 1
0 0 0 0  
 

   s2 = −1 C
0 −3 0 4

14. Clasificación
Cuádricas no degeneradas:
  ∆>0 ⇒Elipsoide Imaginario
 σ =3

δ ≠0 ∆<0 ⇒Elipsoide Real
  ∆>0 ⇒Hiperboloide de una Hoja
∆≠0 σ =1
   ∆<0 ⇒Hiperboloide de dos Hoja
 ∆<0 ⇒Paraboloide Elíptico
δ =0
 ∆<0 ⇒Paraboloide Hiperbólico

15. Clasificación
Cuádricas degeneradas:
 σ =3⇒ Cono Imaginario
δ ≠0 
 σ =1⇒ Cono Real
   s1⋅ s3 >0⇒ Cilindro elíptico Imaginar
  s2 >0 
 s2 ≠0, s3 ≠0⇒ s⋅ s3 <0⇒ Cilindro elíptico Real
s1⋅
∆=0   s <0⇒ Cilindro Hiperbólico
2
δ =0 
 s2 >0⇒ Planos Secantes Imaginarios
 s2 ≠0, s3 =0⇒s <0⇒ Planos Secantes Reales
  2
 s2 =0, s3 ≠0⇒ Cilindro Parabólico
 s2 =0, s3 =0⇒ Par de planos paralelos o coincidentes
 

16. Elementos notables de las cuádricas
Centro: se obtiene resolviendo el sistema
 ∂f
 (α , β, γ ) = 0
 ∂x
 ∂f
 (α , β, γ ) = 0
 ∂y
 ∂f
 ∂z (α , β, γ ) = 0

Ejes: con el centro y los autovectores de A3
Planos Principales: con el centro y los autovectores de A3 como vectores
característicos