1. El documento presenta demostraciones de fórmulas trigonométricas como el seno de la suma de dos ángulos y el teorema del seno. 2. También muestra cómo deducir otras fórmulas a partir de estas, como el seno de la diferencia y el coseno de la suma. 3. Explica cómo convertir sumas de funciones trigonométricas en productos.

1. 1º de Bachillerato
CEMATH
© MMXI.II

2. Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos
Conocimientos previos:
sin x =
cateto opuesto
hipotenusa
sin a =
BC
AC
cos a =
CF
CD
cos x 
cateto contiguo
hipotenusa
sinβ =
CD
AD
cos b =
AC
AD
sin (a + b) =
ED BC + CF BC CF
=
=
+
AD
AD
AD AD
sin (a + b) =
AC sin a CD cosa
AC
CD
+
=
sin a +
cosa
AD
AD
AD
AD
sin (a + b) = cos b sin a + sin b cosa
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cosa

3. Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma
Conocimientos previos:
sin (- x ) = - sin x
cos (- x ) = cos x
Seno de una diferencia
sin (a - b)= sin (a + (- b))= sin a cos(- b)+ sin (- b)cosa
sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a
Seno del ángulo doble
sin (2a )= sin (a + a )= sin a cos a + sin a cos a = 2sin a cos a

4. Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma
Conocimientos previos:
sin (90o - x ) = cos x
cos (90o - x ) = sin x
Coseno de una suma
(
)
cos(a + b)= sin (90o - (a + b))= sin (90o - a )- b
cos (a + b) = sin (90o - a )cos b - sin b cos(90o - a ) = cos a cos b - sin a sin b
Coseno de una diferencia
cos(a - b)= cos(a + (- b))= cos a cos(- b)- sin (- b)sin a
cos(a - b)= cos a cos b + sin b sin a

5. Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma
Coseno del ángulo doble
cos (2a ) = cos (a + a ) = cos a cos a - sin a sin a = cos 2 a - sin 2 a
Recuerda las fórmulas aprendidas
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cosa
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (2a ) = 2sin a cos a
cos(2a )= cos2 a - sin 2 a

6. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conocimientos previos:
tan x =
sin x
cos x
Tangente de una suma
sin a cos b
+
sin (a + b) sin a cos b + sin b cos a
cos a cos b
tan (a + b) =
=
=
cos (a + b) cos a cos b - sin a sin b cos a cos b cos a cos b
sin a
+
cos a
tan (a + b) =
sin a
1cos a
sin b
tan a + tan b
cos b
=
sin b
1 - tan a tan b
×
cos b
sin b cos a
cos a cos b
sin a sin b
cos a cos b

7. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conocimientos previos:
tan (- x ) = - tan x
Tangente de una diferencia
tan (a - b) = tan (a + (- b)) =
tan a + tan (- b)
1 - tan a tan (- b)
=
tan a - tan b
1 + tan a tan b
Tangente del ángulo doble
tan (2a ) = tan (a + a ) =
tan a + tan a
2tan a
=
1- tan a tan a
1- tan 2 a

8. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Seno de un ángulo en función del ángulo mitad
Si en la fórmula
sin (2a ) = 2sin a cos a
hacemos a =
q
2
, obtenemos
q
2
, obtenemos
æq ö æq ö
sin q = 2sin ç ÷cos ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç2 ø è2 ø
è ÷ ç ÷
Coseno de un ángulo en función del ángulo mitad
2
2
Si en la fórmula cos(2a )= cos a - sin a
æq ö
æq ö
cos q = cos 2 ç ÷- sin 2 ç ÷
÷
ç ÷
ç ÷
ç2 ø
ç2 ø
è
è ÷
hacemos a =

9. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Tangente de un ángulo en función del ángulo mitad
Si en la fórmula
tan (2a ) =
2 tan a
1 - tan 2 a
hacemos a =
æq ö
2 tan ç ÷
ç ÷
ç2 ø
è ÷
tan q =
ö
2æ ÷
ç q÷
1 - tan ç ÷
ç2 ø
è
q
2
, obtenemos

10. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conocimientos previos:
sin2 x + cos2 x = 1
Seno de un ángulo en función del ángulo doble
Sabemos que:
ì sin 2 a + cos 2 a = 1
ï
1 - cos 2a
ï
Þ 2sin 2 a = 1 - cos 2a Þ sin a = ±
í
ï cos2 a - sin 2 a = cos 2a
2
ï
î

11. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Coseno de un ángulo en función del ángulo doble
Sabemos que:
ì sin 2 a + cos2 a = 1
ï
1 + cos 2a
ï
Þ 2cos2 a = 1 + cos 2a Þ cos a = ±
í
ï cos2 a - sin 2 a = cos 2a
2
ï
î
Tangente de un ángulo en función del ángulo doble
1 - cos 2a
sin a
1 + cos 2a
2
tan a =
=
= ±
cos a
1 - cos 2a
1 + cos 2a
±
2
±

12. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Seno del ángulo mitad en función del ángulo
Sabemos que:
1 - cos 2a
sin a = ±
2
hacemos a =
q
2
y obtenemos:
æq ö
1 - cos q
sin ç ÷= ±
÷
ç ÷
ç2 ø
è
2
Coseno del ángulo mitad en función del ángulo
Sabemos que:
cos a = ±
æq ö
1 + cos q
cos ç ÷= ±
÷
ç ÷
ç2 ø
è
2
1 + cos 2a
2
hacemos a =
q
2
y obtenemos:

13. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Tangente del ángulo mitad en función del ángulo
Sabemos que:
1 - cos 2a
tan a = ±
1 + cos 2a
æqö
1 - cos q
tan ç ÷= ±
÷
ç ÷
ç2 ø
è
1 + cos q
hacemos a =
q
2
y obtenemos:

14. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conversión de sumas en productos
Conocimientos previos:
Dado dos número cualesquiera
x e y
de forma que
A y B
siempre puedo hallar otros dos números
A  x  y

B  x  y
En efecto, si:
A  x  y
AB
AB
 2x  A  B  x 
, 2y  A  B  y 

2
2
B  x  y

15. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una suma de senos en un producto
Tenemos
sin A + sin B
Si hacemos
A  x  y

B  x  y
obtenemos:
sin A + sin B = sin (x + y)+ sin (x - y)
sin A + sin B = sin x cos y + sin ycos x + sin x cos y - sin ycos x
æA + B ö æA - B ö
÷cos ç
÷
sin A + sin B = 2sin x cos y = 2sin ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
ç 2 ø è 2 ø
è

16. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una diferencia de senos en un producto
Tenemos
sin A - sin B
Si hacemos
A  x  y

B  x  y
obtenemos:
sin A - sin B = sin (x + y)- sin (x - y)
sin A - sin B = sin x cos y + sin ycos x - sin x cos y + sin ycos x
æA - B ö æA + B ö
÷cos ç
÷
sin A - sin B = 2sin y cos x = 2sin ç
÷ ç
ç
÷
ç 2 ÷ ç 2 ÷
è
ø è
ø

17. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una suma de cosenos en un producto
Tenemos
cosA + cosB
Si hacemos
A  x  y

B  x  y
obtenemos:
cos A  cos B  cos  x  y   cos  x  y 
cos A  cos B  cos x cos y  sin x sin y  cos x cos y  sin x sin y
 A  B
 A B
cos A  cos B  2cos x cos y  2cos 
cos 


 2 
 2 

18. Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una diferencia de cosenos en un producto
Tenemos
cosA - cosB
Si hacemos
A  x  y

B  x  y
obtenemos:
cos A  cos B  cos  x  y   cos  x  y 
cos A  cos B  cos x cos y  sin x sin y  cos x cos y  sin x sin y
 A  B  A B
cos A  cos B  2sin x sin y  2sin 
 s in 

 2   2 

19. TEOREMA del SENO
Sea VABC
un triángulo cualquiera
Sea ha la altura relativa al lado a
Sea hb la altura relativa al lado b
Se verifica por tanto:

sin C 


sin B 


ha
 h a  bsin C
b
c
b
 bsin C  csin B 

ha
sin B sin C
 h a  csin B
c

20. TEOREMA del SENO
Hemos obtenido:
b
sin B

c
sin C
De igual forma:
h

sin C  b  h b  a sin C

a
c

a
 a sin C  csin A 


sin A sin C
sin A  h b  h  csin A
b

c

a
Por tanto:
sin A

b
sin B

c
sin C

21. TEOREMA del COSENO
Sea VABC
un triángulo cualquiera
Sea hb la altura relativa al lado b
AE = x
EC = b - x
Se verifica por tanto:
c 2  x 2  h b 2
2

 a 2   b  x   c 2  x 2  a 2  b 2  c 2  2bx
 2
2
2
a   b  x   h b

x
 x  ccos A
c
Y como:
cos A 
Se tiene:
a 2  b 2  c 2  2bccos A

22. Deducciones
1. Superficie de un paralelogramo
S = a ×h
pero
µ
sin A =
h
µ
Þ h = bsin A
b
S  a  b  sin A
de donde:

23. Deducciones
2. Superficie de un triángulo
1
S  b  hb
2
pero
sin A 
hb
 h b  csin A
c
S
de donde:
1
 b  c  sin A
2

24. Deducciones
3. Cálculo del radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo
A E = 2r
µ µ
E = C porque abarcan el mismo arco
El triángulo VABE
es rectángulo en
·
A BE
por estar inscrito en una semicircunferencia.
En el triángulo VAEB aplicamos el teorema del seno:
2r
c
c
2c
2b
2a

 2r 
r


sin90 sin E
sin C
sin C sin B sin A

25. Deducciones
4. Superficie de un triángulo inscrito en una circunferencia
La superficie del triángulo VABC es la suma de los
tres triángulos internos
S1 =
1 2
r sin a
2
Luego:
S2 
A  B  C  180
S3 
1 2
r sin 
2
1 2
r (sin a + sin b + sin q)
2
1
µ
µ
µ
S = r 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C
2
S=
(
Siendo:
1 2
r sin 
2
)

26. Deducciones
5. Sabiendo que
Calculamos el
x
tan    t
2
Obtener
sin x, cos x, tan x
sin x
æx ö æx ö
2sin ç ÷cos ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç2ø ç2 ø
è ÷ è ÷
æx ö æx ö
æx ö
æx ö
2sin ç ÷cos ç ÷
cos 2 ç ÷
2 tan ç ÷
÷ ç ÷
÷
ç ÷ ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç2ø è2 ø
ç2ø
ç2ø
æx ö æx ö
2t
è
è
è ÷
sin x = 2sin ç ÷cos ç ÷=
=
=
=
÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç2ø è2ø
æx ö
æx ö
æx ö
æx ö
æx ö 1 + t 2
è
cos 2 ç ÷+ sin 2 ç ÷ cos 2 ç ÷+ sin 2 ç ÷ 1 + tan 2 ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç2÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç2÷
è ø
è2ø
è2ø
è2ø
è ø
æx ö
cos 2 ç ÷
ç ÷
ç2ø
è ÷

27. Deducciones
Calculamos el cos x
x
x
cos 2    sin 2  
2
2
x
x
x
x
cos 2    sin 2  
cos 2  
1  tan 2  
2
2
2 
2
 2   1 t
2 x
2 x
cos x  cos    sin   

2
2
 2  cos 2  x   sin 2  x  cos 2  x   sin 2  x  1  tan 2  x  1  t
 
 
 
 
 
2
2
2
2
 2
x
cos 2  
2
Calculamos la
tan x
2t
sin x 1  t 2
2t
tan x 


cos x 1  t 2 1  t 2
1  t2