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Relaciones métricas en el triángulo. Puntos y rectas notables.
- 1. Universidad del Zulia. Facultad de Humanidades y Educación. Maestría en matemática mención Docencia. Geometría I. LIC. KENDER VILORIA.
- 2. ¡Bienvenidos, mis maravillosos estudiantes! TRABAJEMOS JUNTOS; HAGAN SU MAYOR ESFUERZO POR APRENDER LO MÁS POSIBLE; RESPETENSE Y APÓYENSE MUTUAMENTE DURANTE TODOS LOS DESAFÍOS. ¡HAGÁMOSLO!
- 3. Plan de estudios de la clase. Estudiaremos : • Relaciones métricas en el triángulo. Puntos y rectas notables. • Relaciones métricas en la circunferencia. Ángulos y polígonos. • Homotecia y semejanza en el plano. • Proporcionalidad de segmentos. • Homotecia y semejanza de polígonos y circunferencias. • Relaciones métricas derivadas de la semejanza. Teorema de pitágoras.
- 4. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Mediatriz Conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos extremos de un segmento. En un triángulo, las tres mediatrices de sus lados concurren en un punto que equidista de los vértices del triángulo.
- 5. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Circuncentro : En el triánguloABC las mediatrices MAC, MBC y MAB se intersecan en el punto C que costituye el circucentro del triángulo o centro de la circunferencia circunscrita al triánguloABC.
- 6. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Mediana: • Lamedianaeselsegmentoderecta quesetrazadesdeunvérticedeun triánguloalpuntomediodesulado opuesto. • Lastresmedianasdeuntriángulo concurrenenunpunto. • Lasmedianassecortansiempreenun puntointerioraltriángulo. • Cadamedianadeuntriángulo,lodivide endostriángulosdeigualárea.
- 7. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Baricentro: • El punto donde se cortan la medianas de un triángulo se conoce como baricentro, centroide o centro de gravedad. • Tiene una propiedad física muy importante: Si colocamos un eje a través de él y dejamos libre el triángulo, este no se mueve por acción de la aceleración de la gravedad, es por ello que el baricentro se llama centro de gravedad del triángulo.
- 8. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Altura : Sellama alturadeuntriángulo alsegmento deperpendicular trazada porunvértice del triángulo ycomprendido entreesevértice y sulado opuesto.
- 9. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Altura: • Lasalturasdeuntriángulo concurren en unpunto denominado ortocentro del triángulo. • Elortocentro deuntriángulo acutángulo esunpunto interior deltriángulo.
- 10. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Ortocentro : • En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es un punto exterior al triángulo. • En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
- 11. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Bisectríz : • Eselconjunto depuntos delplanodonde estácontenido elánguloqueequidista delosladosdelángulo.Como consecuencia labisectrizdeunángulolo divideendosángulosdeigualamplitud. • Todoángulotienedosbisectrices, una interna yotraexterna. Lasbisectrices interna yexternadeunánguloson perpendiculares entre sí.
- 12. Relacionesmétricaseneltriángulo. Puntosyrectasnotables. Bisectríz : • Lasbisectrices delosángulosinterioresdeuntriángulo concurrenenunpuntoqueequdistadelos ladosdel triángulo,llamadoincentrodeltriánguloocentrodela circunferenciainscritaeneltriánguloysiempreesinterior altriángulo.Laequidistanciasellamainradiooradiodela circunferenciainscritaeneltriángulo.
- 13. Relacionesmétricasenla circunferencia.Ángulosypolígonos. 2 cuerdas: Un ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia, y sus lados son secantes a ella.
- 15. Relacionesmétricasenla circunferencia.Ángulosypolígonos. Semi inscrito: tiene su vértice en la circunferencia, un lado secante y el otro, tangente a ella.
- 16. Relacionesmétricasenla circunferencia.Ángulosypolígonos. Polígono inscrito. Poígono quese encuentra dentrode unacircunferencia. Losvértices se sitúansobrela circunferencia.
- 18. Homoteciaysemejanzaenelplano. Aefectos prácticosunahomoteciayunasemejanza sonlo mismo,yportanto,seoperaigualenunaqueenotra.Siendo unpocomásexactos,enunahomoteciasiemprehayun centro dehomoteciadefinido, mientrasqueenlasemejanza sepuedeutilizar cualquier punto Definición.
- 19. Construccióndeunpolígono semjante. Paso 1. Definimos la razón de semejanza. En este caso será, k=1,5
- 20. Construccióndeunpolígono semjante. Paso 2. Eligimosunpuntocomo centrodelahomotecia. En este caso lo llamaremos "O"
- 21. Construccióndeunpolígono semjante. Paso 3. Trazamos semirrectas por los vértices de la figura desde el centro de la homotecia (O).
- 24. Construccióndeunpolígono semjante. Paso 6. Calculamos la medida de y la medimos desde "O".
- 25. Construccióndeunpolígono semjante. Paso 7. Repetimos el proceso anterior para todos los vértices.
- 26. Construccióndeunpolígono semjante. Paso 8. Unimos los vértices determinados en los pasos 6 y 7.
- 27. Proporcionalidad de segmentos. Larazóndedossegmentos esigualalcociente desus medidas. Fíjateenlossegmentos a, b,cyd: Definición.
- 28. Proporcionalidad de segmentos. Delos segmentos a,b,cyd obtenemos.
- 29. Proporcionalidad de segmentos. Como las razones son iguales, se dice que, los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d y se escribe a/b=c/d Esta proporción entre segmentos tiene las mismas propiedades que las proporciones numéricas.
- 30. Proporcionalidad de segmentos. Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante. TeoremadeThales.
- 31. Proporcionalidad de segmentos. TeoremadeThales. Fíjate en que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t y forman varios segmentos. Observa:
- 32. Proporcionalidad de segmentos. TeoremadeThales. Aplicaciones del teorema de Thales: 1.Dividir un segmento en partes iguales. 2.Calcular el segmento cuarto proporcional. 3.Calcular el segmento tercero proporcional. 4.Dividir un segmento en partes proporcionales a otros dados.
- 33. Homoteciaysemejanzadepolígonos ycircunferencias. Semejanza: Cuando tienen sus ángulos (correspondientes) iguales y sus lados (correspondientes) proporcionales. lo son. La constante de proporcionalidad se denomina razón de semejanza. Los ángulos, lados y vértices correspondientes entre dos figuras semejantes se denominan homólogos. Homotecia: Si al unir mediante rectas sus vértices correspondientes estas rectas concurren en un único punto, llamado centro de homotecia. Se le llama razón de homotecia a la razón entre la distancia del centro de la homotecia al vértice de la figura original.
- 36. Homoteciaysemejanzadepolígonos ycircunferencias. Semejanza en circunferencias. Dos cirunferencias siempre son semejantes.
- 37. Teorema de Pitágoras. Tenemosuntríangulo, vamos aconstruiruncuadradoen cadaladodedichotriángulo.
- 39. Teorema de Pitágoras. Al sumar las áreas de los cuadrados que están en los catetos tenemos que el resultado es igual al área del cuadrado de la hipotenusa.
- 40. Teorema de Pitágoras. Apartir de lo anterior podemos definir uno de los teoremas más emblemáticos de la matemática. Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Del enunciado anterior se desprende la siguiente fórmula con la cual podemos calcular la magnitud de cada una de los lados de un triángulo rectángulo
- 41. Teorema de Pitágoras. Del enunciado anterior se desprende la siguiente fórmula con la cual podemos calcular la magnitud de cada una de los lados de un triángulo rectángulo Donde ; a: hipotenusa. b y c: catetos.
- 42. ÉXITOS Y BENDICIONES. MUCHAS GRACIAS. "Las matemáticas son la base de todo... El mundo físico se puede entender a través de las matemáticas". - Pitágoras.