Este documento discute varios métodos y estrategias para la resolución de problemas matemáticos. Presenta el método de cuatro pasos de Pólya para la resolución de problemas, que incluye comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solución. También describe las heurísticas como estrategias útiles para resolver problemas, como la variación, generalización, particularización y analogía. El documento enfatiza la importancia de desarrollar razonamiento lógico, heurístico y metacognitivo

1. La enseñanza de
matemáticas:
Resolución de problemas
Carlos Massuh Villavicencio

2. ¿QUÉ ES UN PROBLEMA?

3. La resolución de
problemas y el
pensamiento matemático

4. Müller (1978) y Jungk (1982)
conciben todo un sistema
teórico que denominan
instrucción heurística, que
incluye procedimientos para
facilitar la búsqueda de la vía
de
solución y que se integran en
un programa o sistema de
procedimientos que incluye:
1. Orientación hacia el problema,
2. trabajo en el problema,
3. solución del problema,
4. evaluación de la solución y la vía

5. Onuchic y Allevato (2004)
relacionan el pensamiento
matemático con el
establecimiento de
relaciones entre
conocimientos, saber
comunicar estas
relaciones, desarrollar
razonamientos, la
capacidad de resolver
problemas y de proponer
otros. Así, hacen referencia
a aspectos como:
El razonamiento,
La búsqueda de relaciones,
El empleo del formalismo
matemático,
La resolución e identificación de
problemas.

6. A partir de estas
caracterizaciones
de pensamiento
matemático se
identifican tres
dimensiones
esenciales:
El razonamiento lógico-deductivo,
La heurística como recurso de
búsqueda,
La metacognición que permite
valorar la actividad mental que se
realiza.

7. • La resolución de
problemas se incita al
estudiante a reflejar
su pensamiento de
modo que puedan
aplicar y adaptar
estrategias que
puedan transferir a
otros problemas y en
otros contextos,
desarrollando la
perseverancia y
curiosidad por la
actividad resolutora.

8. MÉTODO DE
CUATRO PASOS

9. George Pólya fue un gran matemático que
nació en Budapest en 1887 y murió en
Palo Alto California en 1985. A lo largo de su
vida generó una larga lista de resultados
matemáticos y, también, trabajos dedicados
a la enseñanza de esta disciplina, sobre todo
en el área de la Resolución de Problemas.
• La posición de Pólya respecto a la
Resolución de Problemas se basa
en una perspectiva global y no
restringida a un punto de vista
matemático. Es decir, este autor
plantea la Resolución de
Problemas como una serie de
procedimientos que, en realidad,
utilizamos y aplicamos en
cualquier campo de la vida diaria

10. MÉTODO DE
LOS CUATRO
PASOS.
• Comprender el problema
• Concebir un plan
• Ejecutar el plan y
• Examinar la solución.

11. 1. Comprender
el Problema.
• ¿Cuál es la incógnita?
• ¿Cuáles son los datos?
• ¿Cuál es la condición?
• ¿Es la condición suficiente para
determinar la incógnita?
• ¿Es insuficiente?
• ¿Es redundante?
• ¿Es contradictoria?

12. 2. Concebir un
Plan.
• ¿Se ha encontrado con un problema
semejante?
• ¿Ha visto el mismo problema planteado en
forma ligeramente diferente?
• ¿Conoce un problema relacionado?
• ¿Conoce algún teorema que le pueda ser
útil?
• ¿Podría enunciar el problema en otra
forma?
• ¿Podría plantearlo en forma diferente
nuevamente? Refiérase a las definiciones.

13. 3. Ejecución
del Plan.
• ¿Puede ver claramente que el
paso es correcto?
• ¿Puede demostrarlo?

14. 4. Examinar la
Solución.
• ¿Puede verificar el resultado?
• ¿Puede verificar el
razonamiento?
• ¿Puede obtener el resultado en
forma diferente?
• ¿Puede verlo de golpe?
• ¿Puede emplear el resultado o el
método en algún otro problema?

15. EL PAPEL DEL DOCENTE EN
EL PROCESO
• Preguntar y señalar el camino de distintas
formas.
• Usar las preguntas para ayudar a que el
alumno resuelva el problema y desarrollar
en él la habilidad de resolver problemas.

16. Características de las preguntas y sugerencias
LA GENERALIDAD EL SENTIDO COMÚN

17. ¿CÓMO
RESOLVER UN
PROBLEMA?

18. REVISA
RESPONDE
RESUELVE
PLANIFICA
COMPRENDE

19. Comprende-planifica
• Pólya insiste mucho en empezar por el enunciado, visualizar el
problema como un todo. Lo natural es que primero se deba
familiarizar con el problema como un todo; esto estimula la memoria.
Comprende
• Ya visualizado se tiene claro qué se tiene que resolver, y, una vez que
suceda este proceso, se comprende el problema; aquí ya se aíslan las
partes y se comienza a resolver por partes el problema.
Planifica

20. Resuelve
Comenzar por lo principal, verlo desde diferentes perspectivas, conectarlo con
conocimientos anteriores, buscar algo familiar y útil en lo que ha hecho antes. Si
se tiene una idea incompleta se debe considerar a fondo. Verificar en qué la idea
le pueda servir y en qué no, ayudará a concebir el problema en forma global.
Inicie con la idea que lo lleve a la solución cuando esté seguro de poder suplir
todos los detalles. Asegúrese de que cada paso es correcto. Si es posible divida el
proceso en pequeños y grandes pasos.

21. Responde - Revisa
Una vez que se resuelve el problema es importante no
dejar de lado que siempre hay un aprendizaje para analizar
lo que se hizo; evidentemente se aplica posteriormente.
El mismo problema puede ser útil en otro problema, no
solo por el tipo de problema sino por el método de
solución.

22. Otra propuesta es la de
Schoenfeld (1985), que
centra la atención en la
relación entre
la resolución de
problemas y el
desarrollo del
pensamiento, y propone
un método para el
proceso de resolución:
1. Comprensión del problema,
2. diseño de un plan de solución,
3. ejecutar el plan,
4. mirada retrospectiva.

23. LAS HEURÍSTICAS
La heurística moderna busca comprender el método que
conduce a la solución de problemas: En particular, las
operaciones mentales típicamente útiles en el proceso.

24. • El estudio de la heurística
busca obtener puntos
comunes en cualquier tipo
de problemas. Lo que se
quiere obtener son las
características generales,
estrategias de resolución,
independientemente del
problema.

25. 1-Variación del
problema
• El problema original se puede variar
descomponiéndolo un poco y no
necesariamente se debe enfocar
directamente; se puede enfocar a un
problema análogo.
• Separe partes, cambie alguna condición.

26. 2-Generalización
• Al analizar un caso en particular se siente
la necesidad de probar el problema en un
caso más general: entonces, se generaliza
un poco el problema con el que se esta
trabajando

27. 3-Particularización
• Es el caso inverso de la generalización: se
tiene un problema general y se empieza a
particularizar en algunos casos para
encontrar alguna idea o alguna luz sobre el
problema por resolver.

28. 4. Analogía
• Para resolver un problema se puede
utilizar la solución de un problema
análogo más sencillo, ya sea usando su
método, su resultado o ambos.

29. Otros procedimientos
heurísticos son las
estrategias de búsqueda,
que constituyen el
método principal para
identificar los medios
matemáticos que se
necesitan para la idea
fundamental de solución
del problema (MÜLLER,
1978; JUNGK, 1982;
BALLESTER et al.,
2001). Existen dos que
pueden ser aplicadas a
cualquier tipo de ejercicio
o problema, la
primera:
• el trabajo hacia adelante,
que consiste en partir de los
datos y a través de
inferencias y deducciones
llegar a la solución.
• La segunda, de trabajo
hacia atrás se realiza con
el análisis del problema a
partir de lo que se busca,
para identificar relaciones
entre las exigencias del
problema y la información
de que se dispone, de
modo que se identifiquen
objetivos parciales o los
resultados intermedios
que habría que plantearse
para encontrar la vía de
solución.

30. A pesar de que los métodos de resolución de problemas se
concretan en
procedimientos estructurados en un orden, no deben ser
utilizados como patrones rígidos,
porque la búsqueda de la vía de solución puede necesitar
de avances y retrocesos, ahí la razón
de concederles más flexibilidad, teniendo en cuenta en
cada fase
•el razonamiento
lógicodeductivo,
•la heurística y
•la metacognición.

31. Ejemplo:
•Daniel compró 20
manzanas y su
hermana Ana
compró 10 más
que él. ¿Cuántas
manzanas
compraron los
dos?

32. Comprensión del
problema
•DATOS
•Daniel compró 20
manzanas
•Ana compró 10 más
que él.
• Lee detalladamente el Problema.
• Identifica palabras claves que expresen relaciones en el problema.
• Identifica las variables que intervienen en el problema.
• Expresa con tus palabras la idea fundamental del problema.
• ¿Cuáles de los datos son necesarios para encontrar la solución?,
¿Son
suficientes estos datos?
• ¿En qué unidades se debe expresar el resultado, o es adimensional?
Procedimientos lógicos
• ¿Según la información de que se dispone, de qué tipo de problema
se trata?
• ¿Qué se necesita encontrar para responder a la pregunta?
• ¿Recuerdo haber resuelto otro problema en las mismas
condiciones?
Procedimientos Heurísticos
• ¿Con mis conocimientos podré resolver el problema?
• ¿Cómo aparece representada la información sobre las variables que
intervienen
en el problema?
• ¿Cómo debo representar la información que se pide en el problema?
• ¿De qué conocimientos dispongo para encontrar la solución?
• ¿Puedo resolverlo con los conocimientos que tengo sobre el tema o
me falta
algo por conocer para resolverlo?
Procedimientos Metacognitivos

33. Elaboración de un
plan
• ¿Cuántas manzanas compraron
los dos?
Si sumo las 10 unidades de manzanas a las
compradas por Daniel tengo el total de
unidades compradas por Ana
Si sumo las unidades compradas por Ana a
las de Daniel tengo cuantas compraron los
dos
Procedimientos lógicos
¿Qué método es el más adecuado para
buscar la solución?
¿Cómo se puede representar el problema?
Procedimientos Heurísticos
¿Si en lugar de tener más manzanas tuviera
Ana menos que Daniel?
Procedimientos Metacognitivos

34. Ejecución del plan • ¿Por qué utilizar ese método y esas
operaciones?
• Piensa en el procedimiento para resolver
el problema, caso necesario descríbelos.
Procedimientos lógicos
• Sustituye los datos y calcula
• Calcula las iteraciones que se exigen.
Procedimientos Heurísticos
• ¿Esa solución responde a lo que se pide en
el problema?
• ¿No hay contradicción con lo que pensaste
inicialmente?
Procedimientos Metacognitivos

35. Evaluación del plan • ¿Es correcto el resultado?
• ¿No hay contradicciones con las
condiciones iniciales?
Procedimientos lógicos
• Compara la vía de solución con las de
otros problemas resueltos anteriormente,
Procedimientos Heurísticos
• ¿Es correcta la vía empleada para resolver
el problema?
• Piensa si se puede resolver por una vía
mejor.
• Revisa todos los pasos para llegar a la vía
de solución.
Procedimientos Metacognitivos

36. Problema de ejemplo…
Alicia fue a la frutería y
compró
• 1 kg pera
• 1 kg de manzanas
• 1 kg de uvas
• Si paga con un billete de
veinte dólares. ¿cuánto
le van a dar de cambio?
$3 el kG
$5 el kG
$2 el kG

38. Problema de ejemplo…
• Cumandá va con 40 dólares a
comprar ropa para sus hijos.
• Compró:
• 1 vestido
• 1 reloj
• 1 gorra
• 1 pantalón
• 1 camisa
• Si el pasaje para regresar a casa le
cuesta 5 dólares. ¿le alcanza para
poder pagar su pasaje?
$8
$4
$5
$7
$6

40. Problema de ejemplo…
• Jimmy tiene veinte
dólares para comprar
juguetes para cada uno
de sus cuatro hijos.
• ¿Qué juguetes podrá
comprar en la tienda con
ese monto?
• ¿Cuánto le sobraría
después de comprar los
cuatro juguetes
seleccionados?
$7
$6
$3
$7
$1
$1 $7
$7 $7
$10
$4
$3

43. Problema de ejemplo…
• En el museo de la ciudad se
vendieron tres pinturas. Las tres
pinturas juntas cuestan 1800
dólares. Si la primera pintura se
vendió y quien compró por la
segunda pintura pagó 200
dólares más que la primera. Y el
tercer cuadro se vendió al final
por el doble que la segunda
pintura.
• ¿cuánto constó cada cuadro?

45. Fuentes
LAS IDEAS DE PÓLYA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS1 Cristian Alfaro crisalfaro2002@yahoo.es Escuela de
Matemática Universidad Nacional
Los Métodos de Resolución de Problemas y el Desarrollo del Pensamiento Matemático Problem- Solving Methods
and Mathematical Thought Development Jorge Antonio Díaz Lozada, Rafael Díaz Fuentes