Este documento describe el modelo general de regresión lineal. Explica que la variable dependiente (Y) se expresa como una combinación lineal de variables independientes (X) más un término de error. Presenta un ejemplo ilustrativo con ingresos de supermercados (Y) y habitantes y superficie (X). Finalmente, detalla el proceso de estimación de los parámetros del modelo minimizando la suma de cuadrados de los residuos.
El documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos especiales de matrices (fila, columna, diagonal, identidad, triangular, simétrica, antisimétrica), y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por escalar, transpuesta, entre otras. Se proveen ejemplos ilustrativos y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta la unidad didáctica sobre matrices para el segundo año de bachillerato. Explica los objetivos de aprendizaje, que incluyen reconocer y operar con matrices, resolver ecuaciones y sistemas matriciales, y reconocer propiedades de las operaciones matriciales. A continuación, define conceptos clave como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y propiedades importantes como conmutatividad y asociatividad. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.
Este documento presenta información sobre matrices y sus aplicaciones. Explica conceptos básicos como el tamaño y elementos de una matriz, así como operaciones como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices. También cubre la transpuesta y tipos especiales de matrices cuadradas como simétricas y triangulares. El objetivo es que los estudiantes aprendan a trabajar con matrices de forma básica y puedan resolver problemas sencillos que involucren matrices.
Este documento resume conceptos fundamentales de álgebra matricial necesarios para el estudio de la econometría, incluyendo definiciones de matrices, vectores, operaciones básicas con matrices como suma, multiplicación y transposición, y determinantes.
Probabilidad y Procesos Estocásticos, Conocimientos previosFrancisco Sandoval
Este documento presenta una serie de identidades trigonométricas, expansiones en series, y algunas integrales indefinidas comunes. También cubre conceptos básicos de álgebra matricial como matrices, vectores, productos escalares y de matrices, transformaciones lineales, determinantes, valores y vectores propios.
Este documento describe conceptos básicos de matrices, incluyendo definiciones de matrices, operaciones como suma y multiplicación de matrices, propiedades de estas operaciones, la inversa de una matriz y cómo calcularla, y aplicaciones como modelar distribución de población.
Este documento presenta 32 problemas de matemáticas que involucran conceptos como ecuaciones cuadráticas, funciones cuadráticas, funciones lineales, funciones exponenciales y logarítmicas. Cada problema viene acompañado de 3 o 4 opciones de respuesta.
El documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos especiales de matrices (fila, columna, diagonal, identidad, triangular, simétrica, antisimétrica), y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por escalar, transpuesta, entre otras. Se proveen ejemplos ilustrativos y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta la unidad didáctica sobre matrices para el segundo año de bachillerato. Explica los objetivos de aprendizaje, que incluyen reconocer y operar con matrices, resolver ecuaciones y sistemas matriciales, y reconocer propiedades de las operaciones matriciales. A continuación, define conceptos clave como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y propiedades importantes como conmutatividad y asociatividad. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.
Este documento presenta información sobre matrices y sus aplicaciones. Explica conceptos básicos como el tamaño y elementos de una matriz, así como operaciones como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices. También cubre la transpuesta y tipos especiales de matrices cuadradas como simétricas y triangulares. El objetivo es que los estudiantes aprendan a trabajar con matrices de forma básica y puedan resolver problemas sencillos que involucren matrices.
Este documento resume conceptos fundamentales de álgebra matricial necesarios para el estudio de la econometría, incluyendo definiciones de matrices, vectores, operaciones básicas con matrices como suma, multiplicación y transposición, y determinantes.
Probabilidad y Procesos Estocásticos, Conocimientos previosFrancisco Sandoval
Este documento presenta una serie de identidades trigonométricas, expansiones en series, y algunas integrales indefinidas comunes. También cubre conceptos básicos de álgebra matricial como matrices, vectores, productos escalares y de matrices, transformaciones lineales, determinantes, valores y vectores propios.
Este documento describe conceptos básicos de matrices, incluyendo definiciones de matrices, operaciones como suma y multiplicación de matrices, propiedades de estas operaciones, la inversa de una matriz y cómo calcularla, y aplicaciones como modelar distribución de población.
Este documento presenta 32 problemas de matemáticas que involucran conceptos como ecuaciones cuadráticas, funciones cuadráticas, funciones lineales, funciones exponenciales y logarítmicas. Cada problema viene acompañado de 3 o 4 opciones de respuesta.
Este documento describe las propiedades algebraicas de las matrices M2(p) cuando p es un número primo. Explica que las matrices M2(p) forman un anillo no conmutativo bajo las operaciones de suma y multiplicación. También tiene un subgrupo formado por las matrices con determinante distinto de cero bajo la multiplicación.
Este documento trata sobre las competencias genéricas y específicas relacionadas con las matemáticas. Describe habilidades como comunicarse usando lenguaje matemático, modelar fenómenos matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas. También cubre el manejo de matrices, sus propiedades, operaciones y tipos especiales como vectores y matrices cuadradas.
Este documento describe las matrices y sus propiedades fundamentales. Introduce los conceptos básicos de matrices, incluidas las definiciones de matriz, tipos de matrices como cuadradas y triangulares, y operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica que las matrices se usan comúnmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tienen aplicaciones en áreas como economía, estadística y física.
El documento resume las propiedades y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica que una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0 y puede resolverse mediante factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado o la fórmula cuadrática. También define conceptos como el vértice, discriminante e interceptos de una función cuadrática.
Este documento presenta el tema de las matrices. Define qué es una matriz y sus diferentes tipos como cuadradas, triangulares, diagonales, escalares e identidad. Explica operaciones básicas con matrices como suma, producto por escalar y transposición. Finalmente, introduce conceptos como matriz inversa y resolución de ecuaciones matriciales.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas, y provee ejemplos de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares e identidad. También describe cómo las matrices se usan para organizar datos numéricos y representar gráficos dirigidos mediante matrices de adyacencia.
El documento introduce los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, igualdad, y cómo se representan. Explica que una matriz es una disposición rectangular de números y que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También cubre operaciones básicas con matrices como suma, diferencia, producto por escalar, y producto de matrices.
Este documento introduce varios problemas matemáticos que no pueden resolverse analíticamente y requieren métodos numéricos. Estos problemas incluyen encontrar áreas bajo curvas, raíces de polinomios, sistemas de ecuaciones y integrales definidas. También introduce conceptos clave como los números de punto flotante que usan los computadores y los errores de redondeo inherentes a los cálculos numéricos. Los temas principales a cubrir son la solución numérica de ecuaciones, sistemas, interpolación, integración numérica y e
1) El documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, igualdad, tipos (triangular, diagonal, unidad), y operaciones como suma, producto por escalar, y producto.
2) Se explican propiedades de las operaciones, como la asociatividad y distributividad de la suma y el producto.
3) Se proveen ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares que se representa entre paréntesis. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales y simétricas. Las matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo ciertas reglas. El método de Gauss permite calcular la inversa de una matriz cuadrada.
Ejercicios y soluciones de funciones linealescepa_los_llanos
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales. Los ejercicios involucran representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, y obtener la ecuación de rectas dados ciertos puntos o condiciones. También incluye ejercicios de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit usando una función lineal.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué es una matriz, sus elementos y dimensiones. Presenta ejemplos de matrices como la compra de bocadillos. Describe operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, define determinantes de orden 2 y 3, y explica la regla de Sarrus para calcularlos.
El documento presenta definiciones y propiedades básicas sobre números complejos y matrices. Introduce los números complejos como pares ordenados (a,b) donde a y b son reales. Define las operaciones de suma y multiplicación para números complejos. Luego representa cualquier número complejo como z=a+bi y presenta propiedades como la norma (longitud) de un número complejo. Finalmente define una matriz como un arreglo rectangular de elementos y presenta conceptos como filas, columnas y elemento en la posición ij.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de segundo grado. Introduce los objetivos de aprendizaje, que incluyen identificar soluciones de ecuaciones, obtener ecuaciones equivalentes, y resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Explica conceptos como identidades, ecuaciones, soluciones, y ecuaciones equivalentes. Proporciona métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo pasos para eliminar denominadores y parentesis. Incluye ejemplos resueltos de problemas que involucran ecuaciones de primer grado.
El documento explica las funciones cuadráticas, incluyendo que se representan como f(x)=ax2+bx+c, con a≠0. Las funciones cuadráticas dibujan parábolas. El coeficiente a determina la concavidad, y los ceros de la función corresponden a las raíces de la ecuación cuadrática asociada.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
Un acercamiento a los determinantes e inversos de matricesJames Smith
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre los determinantes e inversos de matrices. Introduce los conceptos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, y explica cómo la resolución de sistemas lleva a las ideas de determinantes de matrices y la inversa de una matriz. Finalmente, compara las versiones matricial y no matricial de resolver sistemas lineales.
El documento describe el modelo de regresión lineal múltiple, incluyendo variables dependientes e independientes, el proceso de estimación de parámetros para minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, y los beneficios de trabajar con datos centrados para simplificar los cálculos.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
Este documento presenta el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo convertir cualquier problema de programación lineal a una forma estándar, incluyendo la adición de variables de holgura y exceso cuando sea necesario. También describe cómo representar los problemas de forma matricial y define soluciones básicas y básicas factibles. Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe las propiedades algebraicas de las matrices M2(p) cuando p es un número primo. Explica que las matrices M2(p) forman un anillo no conmutativo bajo las operaciones de suma y multiplicación. También tiene un subgrupo formado por las matrices con determinante distinto de cero bajo la multiplicación.
Este documento trata sobre las competencias genéricas y específicas relacionadas con las matemáticas. Describe habilidades como comunicarse usando lenguaje matemático, modelar fenómenos matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas. También cubre el manejo de matrices, sus propiedades, operaciones y tipos especiales como vectores y matrices cuadradas.
Este documento describe las matrices y sus propiedades fundamentales. Introduce los conceptos básicos de matrices, incluidas las definiciones de matriz, tipos de matrices como cuadradas y triangulares, y operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica que las matrices se usan comúnmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tienen aplicaciones en áreas como economía, estadística y física.
El documento resume las propiedades y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica que una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0 y puede resolverse mediante factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado o la fórmula cuadrática. También define conceptos como el vértice, discriminante e interceptos de una función cuadrática.
Este documento presenta el tema de las matrices. Define qué es una matriz y sus diferentes tipos como cuadradas, triangulares, diagonales, escalares e identidad. Explica operaciones básicas con matrices como suma, producto por escalar y transposición. Finalmente, introduce conceptos como matriz inversa y resolución de ecuaciones matriciales.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas, y provee ejemplos de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares e identidad. También describe cómo las matrices se usan para organizar datos numéricos y representar gráficos dirigidos mediante matrices de adyacencia.
El documento introduce los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, igualdad, y cómo se representan. Explica que una matriz es una disposición rectangular de números y que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También cubre operaciones básicas con matrices como suma, diferencia, producto por escalar, y producto de matrices.
Este documento introduce varios problemas matemáticos que no pueden resolverse analíticamente y requieren métodos numéricos. Estos problemas incluyen encontrar áreas bajo curvas, raíces de polinomios, sistemas de ecuaciones y integrales definidas. También introduce conceptos clave como los números de punto flotante que usan los computadores y los errores de redondeo inherentes a los cálculos numéricos. Los temas principales a cubrir son la solución numérica de ecuaciones, sistemas, interpolación, integración numérica y e
1) El documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, igualdad, tipos (triangular, diagonal, unidad), y operaciones como suma, producto por escalar, y producto.
2) Se explican propiedades de las operaciones, como la asociatividad y distributividad de la suma y el producto.
3) Se proveen ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares que se representa entre paréntesis. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales y simétricas. Las matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo ciertas reglas. El método de Gauss permite calcular la inversa de una matriz cuadrada.
Ejercicios y soluciones de funciones linealescepa_los_llanos
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales. Los ejercicios involucran representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, y obtener la ecuación de rectas dados ciertos puntos o condiciones. También incluye ejercicios de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit usando una función lineal.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué es una matriz, sus elementos y dimensiones. Presenta ejemplos de matrices como la compra de bocadillos. Describe operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, define determinantes de orden 2 y 3, y explica la regla de Sarrus para calcularlos.
El documento presenta definiciones y propiedades básicas sobre números complejos y matrices. Introduce los números complejos como pares ordenados (a,b) donde a y b son reales. Define las operaciones de suma y multiplicación para números complejos. Luego representa cualquier número complejo como z=a+bi y presenta propiedades como la norma (longitud) de un número complejo. Finalmente define una matriz como un arreglo rectangular de elementos y presenta conceptos como filas, columnas y elemento en la posición ij.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de segundo grado. Introduce los objetivos de aprendizaje, que incluyen identificar soluciones de ecuaciones, obtener ecuaciones equivalentes, y resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Explica conceptos como identidades, ecuaciones, soluciones, y ecuaciones equivalentes. Proporciona métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo pasos para eliminar denominadores y parentesis. Incluye ejemplos resueltos de problemas que involucran ecuaciones de primer grado.
El documento explica las funciones cuadráticas, incluyendo que se representan como f(x)=ax2+bx+c, con a≠0. Las funciones cuadráticas dibujan parábolas. El coeficiente a determina la concavidad, y los ceros de la función corresponden a las raíces de la ecuación cuadrática asociada.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
Un acercamiento a los determinantes e inversos de matricesJames Smith
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre los determinantes e inversos de matrices. Introduce los conceptos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, y explica cómo la resolución de sistemas lleva a las ideas de determinantes de matrices y la inversa de una matriz. Finalmente, compara las versiones matricial y no matricial de resolver sistemas lineales.
El documento describe el modelo de regresión lineal múltiple, incluyendo variables dependientes e independientes, el proceso de estimación de parámetros para minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, y los beneficios de trabajar con datos centrados para simplificar los cálculos.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
Este documento presenta el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo convertir cualquier problema de programación lineal a una forma estándar, incluyendo la adición de variables de holgura y exceso cuando sea necesario. También describe cómo representar los problemas de forma matricial y define soluciones básicas y básicas factibles. Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe diferentes métodos matemáticos como la inversión de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y mínimos cuadrados. Explica cómo calcular la inversa de una matriz y las propiedades de la inversión matricial. También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Finalmente, introduce el concepto de ajuste de curvas por mínimos cuadrados para modelar datos experimentales.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
El documento describe diferentes métodos para descomponer expresiones racionales en fracciones parciales. Estos incluyen: 1) descomposición con denominadores lineales, 2) con un factor lineal repetido, 3) con un factor cuadrático irreducible, y 4) con un factor cuadrático repetido. Se proveen ejemplos y pasos para cada método.
El documento describe diferentes métodos para descomponer expresiones racionales en fracciones parciales. Estos incluyen: 1) descomposición con denominadores lineales, 2) con un factor lineal repetido, 3) con un factor cuadrático irreducible, y 4) con un factor cuadrático repetido. Se proveen ejemplos y pasos para cada método.
El documento describe diferentes métodos para descomponer expresiones racionales en fracciones parciales. Estos incluyen: 1) descomposición con denominadores lineales, 2) con un factor lineal repetido, 3) con un factor cuadrático irreducible, y 4) con un factor cuadrático repetido. Se proveen ejemplos y pasos para cada método.
1) El documento introduce los conceptos de regresión lineal y no lineal para ajustar ecuaciones a datos experimentales. 2) Explica que la modelización matemática busca ecuaciones que describan el comportamiento de sistemas de forma empírica o teórica. 3) Finalmente, detalla los procedimientos de regresión lineal y no lineal por mínimos cuadrados para encontrar los parámetros óptimos que ajusten mejor las ecuaciones a los datos.
Este documento presenta el Modelo Lineal General (MLG), incluyendo su especificación, interpretación de los parámetros, y las hipótesis subyacentes. El MLG define una relación lineal y estocástica entre una variable endógena y variables explicativas. Los parámetros miden el efecto de cada variable explicativa sobre la variable endógena, manteniendo las demás constantes. El documento también cubre la representación matricial del MLG y ofrece ejemplos de su aplicación.
Este documento presenta la teoría de matrices, incluyendo notación matricial, operaciones elementales, eliminación gaussiana, y operaciones con matrices como suma, multiplicación y propiedades. Explica cómo usar matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, reduciendo las matrices a forma triangular superior mediante eliminación gaussiana.
Este documento presenta el modelo de regresión lineal múltiple, el cual permite predecir una variable dependiente en función de múltiples variables explicativas. Explica cómo estimar los parámetros del modelo usando el método de mínimos cuadrados ordinarios y cómo descomponer la variabilidad total de la variable dependiente en una parte explicada por el modelo y una parte residual no explicada. También cubre temas como las hipótesis del modelo, la varianza residual, y la diagnosis y validación del modelo de regresión.
Este documento presenta el modelo de regresión lineal múltiple, el cual permite predecir una variable dependiente en función de múltiples variables explicativas. Explica cómo estimar los parámetros del modelo usando el método de mínimos cuadrados ordinarios y cómo descomponer la variabilidad total de la variable dependiente en una parte explicada por el modelo y una parte no explicada. También discute conceptos como la varianza residual, la multicolinealidad y la selección de variables.
1. Los principales supuestos del modelo de regresión múltiple son que el valor esperado de los errores para cada observación es cero, la varianza de los errores es constante para cada observación, y no existe correlación entre los errores.
2. Los errores de especificación como omitir variables relevantes o incluir variables irrelevantes pueden causar sesgo en los estimadores.
3. Para evaluar la especificación del modelo y corregir posibles errores se pueden usar criterios de información como AIC y BIC o pruebas de significancia individual de los coeficient
El documento describe los principales conceptos de álgebra, incluyendo los axiomas de los números reales, operaciones básicas, ecuaciones y potenciación. Explica que los números reales forman un conjunto no vacío con operaciones de adición y multiplicación que satisfacen ciertos axiomas. También define intervalos, valor absoluto y distancia sobre la recta real.
Este documento explica los conceptos básicos de la programación lineal, incluyendo inecuaciones lineales, sistemas de inecuaciones lineales, y la estructura básica de un problema de programación lineal. Un problema de programación lineal consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. El documento también presenta un ejemplo de cómo aplicar estos conceptos para resolver un problema de optimización.
El documento describe el método Simplex, desarrollado por George Dantzig en 1947 para resolver problemas de programación lineal. El método Simplex utiliza un algoritmo iterativo para encontrar la solución óptima (máxima o mínima) de una función sometida a restricciones lineales. Primero convierte las restricciones en ecuaciones lineales mediante la introducción de variables de holgura. Luego, recorre los vértices del espacio factible de forma eficiente hasta encontrar el vértice óptimo. Se presenta un ejemplo para ilustrar los pasos
Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo transformar la matriz aumentada del sistema mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que permite obtener el vector solución. También presenta un ejemplo numérico resuelto paso a paso usando el método de Gauss-Jordan.
Antecedentes y desarrollo de la segunda guerra mundialaalcalar
La Segunda Guerra Mundial tuvo varias fases clave. Comenzó con la invasión de Polonia por parte de Alemania en 1939 y continuó con la expansión territorial de Alemania y la Unión Soviética en Europa del Este. Luego, las potencias del Eje ampliaron su control a gran parte de Europa Occidental y el norte de África, mientras que los Aliados resistieron con éxito en el Reino Unido y el norte de África.
La guerra tiene graves consecuencias sociales y económicas. Destruye infraestructuras y causa escasez de recursos, lo que a su vez genera pobreza, hambre y enfermedades. Además, la guerra provoca un gran sufrimiento humano al causar muertes y desplazamientos masivos de población.
La guerra fría y la descolonización presentaciónaalcalar
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo. El embargo se aplicaría gradualmente durante seis meses para el petróleo crudo y ocho meses para los productos refinados. Este paquete de sanciones requiere la aprobación unánime de los 27 estados miembros de la UE.
El documento resume los conceptos de nacionalismo e imperialismo entre 1850 y 1914. Explica que el nacionalismo surgió tras la Revolución Francesa y se manifestó en movimientos unificadores como los de Italia y Alemania. También describe la carrera imperialista de finales del siglo XIX y principios del XX, en la que potencias europeas se repartieron África y otras regiones.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá las importaciones marítimas de petróleo ruso a la UE y pondrá fin a las entregas a través de oleoductos dentro de seis meses. Esta medida forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE destinadas a aumentar la presión económica sobre el gobierno de Putin.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos de alta tecnología y a las exportaciones de bienes de lujo a Rusia. Además, se congelarán los activos de varios oligarcas rusos y se prohibirá el acceso de los bancos rusos a los mercados financieros de la UE.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá las importaciones marítimas de petróleo ruso a la UE y pondrá fin a las entregas a través de oleoductos dentro de seis meses. Esta medida forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE destinadas a aumentar la presión económica sobre Moscú y privar al Kremlin de fondos para financiar su guerra.
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo. El embargo prohibiría las importaciones de petróleo ruso por mar y por oleoducto, aunque se concederían exenciones temporales a Hungría y Eslovaquia. El objetivo es aumentar la presión económica sobre Rusia para que ponga fin a su invasión de Ucrania.
Revolución francesa acontecimientos más importantesaalcalar
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá la mayoría de las importaciones de petróleo ruso a la UE y se implementará de manera gradual durante los próximos seis meses. El embargo forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE contra Rusia destinado a aumentar la presión económica sobre el gobierno de Putin.
Este documento resume las opiniones de varios filósofos y teóricos sobre la naturaleza y características de la obligación jurídica. Kant considera que el deber jurídico no difiere esencialmente del deber moral. Kelsen sostiene que el deber jurídico es heterónomo, mientras que el deber moral es autónomo. Radbruch argumenta que el deber jurídico se distingue del moral en que es exigible y puede implicar una deuda.
Este documento define y clasifica los derechos subjetivos y facultades. Define los derechos subjetivos como la facultad de exigir determinado comportamiento de otra persona. Clasifica los derechos subjetivos como relativos u obligaciones individuales, o absolutos u obligaciones universales. También distingue entre derechos privados como derechos reales sobre cosas o derechos personales a exigir prestaciones, y derechos públicos como derechos de libertad o derechos políticos frente al estado.
El documento describe los diferentes tipos de efectos que pueden causar los hechos jurídicos, como crear, transmitir, modificar o extinguir derechos u obligaciones. Los hechos jurídicos pueden tener eficacia inmediata o diferida, la cual puede ser suspensiva o condicional dependiendo de si el acontecimiento futuro es cierto o incierto. También explica que los hechos jurídicos pueden ser compatibles o incompatibles, y la teoría francesa divide los hechos en ajurídicos y jurídicos en sentido
El documento define varios conceptos clave del derecho como sujeto, relación jurídica, objeto, supuesto jurídico, hecho jurídico y estructura de la norma. Explica que un sujeto es un centro de imputación de deberes y derechos, una relación jurídica es el vínculo entre personas respecto a bienes o intereses regulados por el derecho, y el objeto es la entidad material o inmaterial sobre la cual recae el interés implicado en la relación jurídica. Además, describe que un supuesto jurídico
El INFONAVIT es un organismo que administra los recursos del Fondo Nacional de la Vivienda para proporcionar créditos baratos a los trabajadores para la adquisición o mejoramiento de viviendas. Los trabajadores se convierten en derechohabientes del INFONAVIT cuando su empleador los inscribe en el IMSS. El INFONAVIT recibe aportaciones del 5% del salario de los trabajadores por parte de los empleadores para financiar sus créditos.
La Ley del Seguro Social tiene como objetivo garantizar el derecho a la salud, asistencia médica y servicios sociales para el bienestar de los mexicanos. El Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS) es el organismo encargado de administrar el Seguro Social. El IMSS ofrece prestaciones a través de dos regímenes: el Régimen Obligatorio para trabajadores y el Régimen Voluntario para aquellos que desean afiliarse de manera individual. El IMSS continúa siendo el mayor prestador de servicios de salud en Mé
Participación de los trabajadores en las utilidades PTUaalcalar
Este documento describe la participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (PTU) en México. Explica que la PTU es el derecho de los trabajadores a recibir parte de las ganancias de la empresa por su contribución al proceso productivo. Detalla los fundamentos legales de la PTU, sus objetivos, sujetos, base de cálculo, porcentaje, comisión mixta para el reparto y plazos.
Código Financiero - Código Fiscal Ciudad de Méxicoaalcalar
Este documento resume las disposiciones del Código Financiero del Distrito Federal relacionadas con el Impuesto sobre Nóminas. Explica que este impuesto grava las erogaciones por concepto de remuneraciones al trabajo personal subordinado a una tasa del 3%. También describe las excepciones a este impuesto y el momento en que debe pagarse.
Este documento describe los conceptos y metodologías relacionadas con el muestreo en una auditoría. Explica que el auditor no está obligado a examinar todas las transacciones, sino que puede obtener evidencia aplicando procedimientos a una muestra representativa. También cubre conceptos como universo, unidad de muestreo, error tolerable, riesgos de auditoría, y métodos de selección de muestras como aleatorio, estratificado e intervalos.
Metodología de investigación de mercadosaalcalar
El documento describe los principales pasos de la metodología de investigación de mercados. Estos incluyen determinar los objetivos e hipótesis de la investigación, realizar una investigación preliminar, seleccionar métodos de recolección de datos como encuestas cuantitativas y cualitativas, y analizar y presentar los resultados. El proceso de investigación de mercados es importante para definir problemas de negocio, comprender las necesidades de los clientes y tomar decisiones informadas.
4. Ejemplo de ilustración
• Y: Ingresos del supermercado
• X1: Habitantes del municipio del
supermercado
• X2: Superficie del supermercado (m2
)
( )21, XXfY =
5. Tabla de datos
Ingresos (Y) Habitantes (X1) Superficie (X2)
198 70 21
209 35 26
197 55 14
156 25 10
85 28 12
187 43 20
43 15 5
211 33 28
120 23 9
62 4 6
176 45 10
117 20 8
273 56 36
6. Modelo de regresión lineal
Ejemplo de ilustración
• Deseamos explicar los ingresos del supermercado
(Y), mediante la población del municipio (X1) y la
superficie del supermercado (X2).
• Si la relación existente entre las variables fuera de
tipo lineal utilizaríamos la siguiente expresión:
2211 iii xβxβαy ++=
7. Modelo de regresión lineal (II)
Ejemplo de ilustración
• Pero la relación entre las variables no es
necesariamente perfecta. Por ese motivo
añadimos un elemento aleatorio a cada
observación:
iiii εxβxβαy +++= 2211
ni ≤≤1donde
8. Modelo de regresión lineal (III)
Ejemplo de ilustración
iiii εxβxβαy +++= 2211
ni ≤≤1donde
Renta de los habitantes
Medio rural o urbano
...
Edad promedio de los habitantes
Variables que no hemos considerado
9. iiii εxβxβαy +++= 2211
Modelo de regresión lineal (IV)
Ejemplo de ilustración
• Es el término constante del modelo y es
desconocido.
• Son los coeficientes desconocidos de la
combinación lineal.
• Es el i-ésimo término de error (desconocido)
10. iiii εxβxβαy +++= 2211
Modelo de regresión lineal (V)
Ejemplo de ilustración
• Es el término constante del modelo y es
desconocido.
• Son los coeficientes desconocidos de la
combinación lineal.
• Es el i-ésimo término de error (desconocido)
11. Modelo de regresión lineal (VI)
Ejemplo de ilustración
iiii εxβxβαy +++= 2211
• Es el término constante del modelo y es
desconocido.
• Son los coeficientes desconocidos de la
combinación lineal.
• Es el i-ésimo término de error (desconocido)
12. Modelo de regresión lineal (VII)
Ejemplo de ilustración
+×+×+=
+×+×+=
+×+×+=
1321
221
121
3656273
...
2635209
2170198
εββα
εββα
εββα
• Este sistema de ecuaciónes:
– Consta de 13 ecuaciones y 16 incógnitas.
– Tiene infinitas soluciones.
• Podemos asignar valores arbitrarios a cualesquiera tres
incógnitas y calcular las demás.
13. • Así lo haremos:
– Nuestro objetivo es que los valores de las
incógnitas sean lo más pequeños posible.
– Determinaremos cuáles son los valores más
adecuados de los coeficientes del modelo para
alcanzar este objetivo.
– Llamaremos residuos a los valores que toman las
incógnitas en la solución del sistema de
ecuaciones.
2211 b, βba, βα ===
Especificación del modelo
Ejemplo de ilustración
iε
iε
ii e=ε
14. • Dicho de otro modo:
– queremos encontrar valores concretos para las
incógnitas a los que llamaremos
– Estos valores concretos consiguen que los valores
de las incógnitas sean lo más pequeños
posible.
21 y βα, β
Especificación del modelo(II)
Ejemplo de ilustración
iεie
21 y ba, b
15. Especificación del modelo(III)
Ejemplo de ilustración
• Para minimizar los residuos de manera global
emplearemos la siguiente expresión:
• Es decir, debemos encontrar los valores de los
coeficientes que minimizan la suma de los cuadrados
de los residuos.
• A este criterio se le llama de los “mínimos
cuadrados”.
[ ]∑ 2
min ie
16. Especificación del modelo(IV)
Ejemplo de ilustración
( )
( )
( )
×−×−−
+×−×−−
+×−×−−
2
21
2
21
2
21
3656273
...
2635209
2170198
bba
bba
bba
Deseamos minimizar esta suma
( )
−−−∑=
n
i
iii xbxbayMin
1
2
2211
17. Especificación del modelo (V)
Ejemplo de ilustración
• Por tanto, la solución del sistema de
ecuaciones será la siguiente:
– Las incógnitas tomarán los
valores . Estos valores consiguen
que los valores de las icógnitas sean lo
más pequeños posible.
– Las incógnitas tomarán los valores
21 y βα, β
21 y ba, b
iεie
iε
2211 iiii xbxbaye −−−=
18. Modelo de ajuste lineal
Ejemplo de ilustración
• Después de calcular los valores de los parámetros
de la combinación lineal, podremos construir el
modelo de ajuste lineal:
• Los valores calculados para la variable
dependiente mediante el modelo de ajuste lineal
serán los llamados valores estimados.
2211
ˆ iii xbxbay ++=
19. Modelo de ajuste lineal (II)
Ejemplo de ilustración
• A la diferencia entre los valores observados
y los valores estimados para la variable
dependiente los llamamos residuos:
2211
ˆ iiiiii xbxbayyye −−−=−=
20. ¡Cuidado!
• Es muy importante distinguir los residuos de los errores:
– Los errores son cantidades desconocidas y aleatorias. Miden el
efecto de las variables que no hemos tomado en cuenta.
– Los residuos, por el contrario, son valores conocidos. Miden las
diferencias entre los valores observados y los valores estimados de
la variable dependiente.
( )2211 iiii xβxβαyε ++−=
( )2211 iiii xbxbaye ++−=
21. Estimación de los parámetros
Ejemplo de ilustración
• Recordemos:
– Queremos encontrar unos valores concretos
para las incógnitas .
– Estas estimaciones consiguen que los valores
concretos de las incógnitas -a los que
llamamos - sean lo más pequeños posible.
21 y βα, β
iε
ie
21 y ba, b
( )
−−−∑=
n
i
iii xbxbayMin
1
2
2211
22. Estimación de los parámetros (II)
Ejemplo de ilustración
( )
0
ˆ 2
=
∂
−∂∑
a
yy ii
( )
0
ˆ
1
2
=
∂
−∂∑
b
yy ii
( )
0
ˆ
2
2
=
∂
−∂∑
b
yy ii
∑∑∑ =++ iii yxbxbna 2211
∑∑∑∑ =++ iiiiii yxxxbxbxa 1212
2
111
∑∑∑∑ =++ iiiiii yxxbxxbxa 2
2
222112
Ecuaciones normales
(3 ecuaciones, 3 incógnitas)
23. Estimación de los parámetros (III)
Ejemplo de ilustración
=
∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
ii
ii
i
iii
iii
ii
yx
yx
y
b
b
a
xxxx
xxxx
xxn
i
i
2
1
2
1
2
212
21
2
1
21
2
1
=
∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
−
ii
ii
i
iii
iii
ii
yx
yx
y
xxxx
xxxx
xxn
b
b
a
i
i
2
1
1
2
212
21
2
1
21
2
1
2
1
• Empleando matrices:
26. Modelo de regresión lineal
Caso general
• Cuando tenemos más de dos variables
explicativas:
• Empleando matrices:
( ),...,ni
εxβxβxβαy iikkiii
1con
...2211
=
+++++=
εXXX1Y k21 +++++= kβββα ...21
27. ( )
=
nk
k
k
n
x
x
x
...
2
1
1,
kX
Modelo de regresión lineal (II)
Caso general
( )
=
n
n
y
y
y
...
2
1
1,
Y
( )
=
1
21
11
1, ...
n
n
x
x
x
1X
( )
=
n
n
ε
ε
ε
...
2
1
1,
ε
( )
=
1
...
1
1
1,n
1
28. Modelo de regresión lineal (III)
Caso general
• Podemos expresar el modelo de regresión
lineal de un modo más sencillo:
εXβY += Modelo de regresión lineal
n ecuaciones
n+k+1 incógnitas
29. Modelo de regresión lineal (IV)
Caso general
( )
=
+
nknn
k
k
kn
xxx
xxx
xxx
...1
...............
...1
...1
21
22221
11211
1,
X
( )
=
n
n
ε
ε
ε
...
2
1
1,
ε
( )
=
n
n
y
y
y
...
2
1
1,
Y
( )
=
+
k
k
β
β
α
...
1
1,1
β
30. kk bβb, βba, βα ==== ,...,2211
– Nuestro objetivo es conseguir que los valores de
las incógnitas sean lo más pequeños posible.
– Buscaremos los valores de los coeficientes del
modelo que resulten los más adecuados de cara a
cumplir con el objetivo planteado.
– A los valores que en la solución del sistema de
ecuaciones toman las inógnitas los
llamaremos residuos.
Especificación del modelo
Caso general
iε
iε
ii e=ε
31. • Expresado de otro modo:
– Deseamos encontrar un vector , que es un
valor concreto del vector .
– Este vector concreto consigue que los valores
de las incógnitas sean lo más pequeños
posible.
Especificación del modelo (II)
Caso general
ie
B
β
B
iε
32. Esepecificación del modelo (III)
Caso general
• Por lo tanto, la solución del sistema de
ecuaciones será la siguiente:
– El vector tomará el valor . Este valor
del vector consigue que el valor del
vector sea mínimo.
– El vector tomará el valor
β B
ε
e
ε XBYe −=
β
33. Especificación del modelo (IV)
Caso general
• Para minimizar los residuos de manera global
emplearemos la siguiente expresión:
• Es decir, tenemos que encontrar los valores de los
coeficientes del modelo que hacen mínima la suma de
los cuadrados de los residuos.
• A este criterio se le da el nombre de “criterio de los
mínimos cuadrados”.
[ ] [ ]
( ) ( )[ ]XBY'XBY
ee'
−−=
==∑
min
minmin 2
ie
34. Modelo de ajuste lineal
Caso general
• Cuando tenemos más de dos variables
explicativas:
• Empleando matrices:
( )1con
...ˆ 2211
,...,ni
xbxbxbay ikkiii
=
++++=
k21 XXX1Y kbbba ++++= ...ˆ
21
35. Modelo de ajuste lineal (II)
Caso general
• Podemos expresar el modelo de ajuste lineal
de una forma más sencilla:
XBY =ˆ Modelo de ajuste lineal
36. Modelo de ajuste lineal (III)
Caso general
( )
=
n
n
y
y
y
ˆ
...
ˆ
ˆ
ˆ 2
1
1,
Y
( )
=
+
k
k
b
b
a
...
1
1,1
B
( )
=
+
nknn
k
k
kn
xxx
xxx
xxx
...1
...............
...1
...1
21
22221
11211
1,
X
37. Modelo de ajuste lineal (IV)
Caso general
• El valor estimado de la variable dependiente
para un individuo será el siguiente:
• Con:
( ) BXXY ii
'ˆ =
=
ik
i
i
x
x
x
...
1
2
1
i
X
38. Estimación de los parámetros
Caso general
• Recordemos:
– Queremos encontrar un vector de valores
concretos para el vector .
– Este vector debe ser tal que minimice
globalmente los residuos.
β
B
B
[ ] [ ] [ ]XB)(YXB)'(Yee' −−==∑ minminmin 2
ie
39. Estimación de los parámetros (II)
Caso general
XBX'YX'
B
22
2
+−=
∂
∂∑ ie
XBX'B'YX'B'YY' +−=∑ 22
ie
• Teniendo en cuenta que:
• Derivando respecto a B:
40. Estimación de los parámetros (III)
Caso general
YX'XBX' =
( ) YX'XX'B
1−
=
• Igualando la derivada a cero:
• Si la matriz es no singular:XX'
41. Estimación de los parámetros (IV)
Caso general
• ¿La solución que se ha encontrado consigue
minimizar la SCR?
• Supongamos que es otra solución. Entonces:
( ) ( ) ( )BBXeBXXBXBYBXYe
~~~~ −+=−+−=−=
( )[ ] ( )[ ]BBXeBBXee'e
' ~~~~ −+−+=
( ) ( ) ( ) ( )BBXX''BBeX''BBBBXe'ee'e'e
~~~~~~ −−+−+−+=
( ) ( ) ( )BBXX''BBeX''BBee'e'e
~~~
2~~ −−+−+=
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) 2~~~~~~~ BBXee'BBX'BBXee'BBXX''BBee'e'e −+=−−+=−−+=
ee'e'e ≥~~
B
~
43. Modelo de ajuste
Datos centrados
• Cuando las variables explicativas toman sus
respectivos valores promedio el valor estimado para
la variable dependiente es su media:
• Es decir, el hiperplano del modelo de ajuste pasa por
la media de las variables.
( ) YXY =ˆ
kk xbxbxbay ++++= ...2211
44. Modelo de ajuste (II)
Datos centrados
• Por lo tanto podemos escribir el modelo de ajuste
lineal de otro modo:
• O empleando matrices:
( ) ( ) ( )
( )1con
...222111
,...,ni
exxbxxbxxbyy ikikkiii
=
+−++−+−=−
eBXY +=
~~
45. Modelo de ajuste (III)
Datos centrados
• Con:
( )
−−−
−−−
−−−
=
knknn
kk
kk
kn
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
...
............
...
...
~
2211
2222121
1212111
,
X
( )
=
n
n
e
e
e
...
2
1
1,
e
( )
−
−
−
=
yy
yy
yy
n
n ...
~ 2
1
1,
Y
( )
=
k
k
b
b
b
...
2
1
1,
B
46. Estimación de los parámetros
Datos centrados
• Recordemos:
– Para encontrar el vector debemos minimizar de
manera global los residuos.
B
[ ] [ ] [ ]B)XY(B)'XY(ee'
~~~~
minminmin 2
−−==∑ ie
47. Estimación de los parámetros (II)
Datos centrados
BX'XY'X
B
~~
2
~~
2
2
+−=
∂
∂∑ ie
BX'XB'Y'XB'Y'Y
~~~~
2
~~2
+−=∑ ie
• Teniendo en cuenta que:
• Dervando respecto a B:
48. • Igualando a cero la derivada anterior:
• Si la matriz es no singular:
Estimación de los parámetros (III)
Datos centrados
Y'XBX'X
~~~~
=
( ) Y'XX'XB
1 ~~~~ −
=
X'X
~~
49. Modelo de ajuste lineal
Datos centrados
• Si trabajamos con datos centrados:
• y:
( ) Y'XX'XB
~~~~ 1−
=
BXY
~ˆ~
=
50. Modelo de ajuste lineal (II)
Datos centrados
• Con:
( )
−
−
−
=
yy
yy
yy
n
n
ˆ
...
ˆ
ˆ
ˆ~ 2
1
1,
Y
( )
=
k
k
b
b
b
...
2
1
1,
B
( )
−−−
−−−
−−−
=
knknn
kk
kk
kn
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
...
............
...
...
~
2211
2222121
1212111
,
X
51. Modelo de ajuste lineal (III)
Datos centrados
• Para obtener el término constante utilizaremos la
siguiente expresión:
• Por lo tanto:
kk xbxbxbay ++++= ...2211
kk xbxbxbya −−−−= ...2211
52. Datos centrados
• Trabajar con datos centrados supone una
gran ventaja:
– Con datos originales, la dimensión de es
(k+1, k+1).
– Con datos centrados, la dimensión de es
(k,k).
• Por lo tanto, el cálculo de la matriz inversa
es más sencillo en el caso de la matriz .
XX'
X'X
~~
X'X
~~
54. Matriz de varianzas y covarianzas
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
−−−−−
−−−−−
−−−−−
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
n
xx
n
xxxx
n
xxxx
n
xxxx
n
xx
n
xxxx
n
xxxx
n
xxxx
n
xx
n
i
kik
n
i
ikik
n
i
ikik
n
i
kiki
n
i
i
n
i
ii
n
i
kiki
n
i
ii
n
i
i
1
2
1
22
1
11
1
22
1
2
22
1
1122
1
11
1
2211
1
2
11
...
............
...
...
XXV
55. Matriz de varianzas y covarianzas
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
kkk
k
k
VarCovCov
CovVarCov
CovCovVar
XX,XX,X
X,XXX,X
X,XX,XX
V
111
XX
...
............
...
...
21
2212
2
56. Matriz de varianzas y covarianzas
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
−−−−−
−−−−−
−−−−−
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
n
i
kik
n
i
ikik
n
i
ikik
n
i
kiki
n
i
i
n
i
ii
n
i
kiki
n
i
ii
n
i
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
1
2
1
22
1
11
1
22
1
2
22
1
1122
1
11
1
2211
1
2
11
...
............
...
...
~~
X'X
XXVX'X n=
~~
57. Modelo de ajuste lineal
Matriz de varianzas y covarianzas
( ) ( ) ( ) XYXXXYXX VVVVY'XX'XB
111 ~~~~ −−−
=== nn
XYXX VVB
1−
=
58. Modelo de ajuste
Datos centrados
( ) ( )
( )
( ) YY1XY
1X'XX'X1
YX'XX'X1XB1XY
1
1
==
=
==
−
−
'
1ˆ
tantoloPor
''
demostrarpuedesecomoPero,
'
1
'
1ˆ
n
nn
59. BIBLIOGRAFÍA
CHOU, Ya Lun Análisis Estadístico, México, Interamericana,
1972.
TARO, Yamane Estadística. México, Harper y Row 1974.