Este documento contiene varios problemas relacionados con el cálculo diferencial e integral. En la Parte I, se encuentra la ecuación de la recta tangente a una función dada en un punto. En la Parte II, se encuentran las ecuaciones de la recta tangente y la curva normal a otra función. En la Parte III, se calcula la razón de cambio instantánea de una función. Finalmente, la Parte IV resuelve problemas relacionados con costos marginales y medios, y la Parte V calcula elasticidades puntuales de la demanda.

1. 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 − 𝒚𝟏 = −
𝟏
𝒎
(𝒙 − 𝒙𝟏)

2. Parte I: Determine la ecuación de la recta tangente de la siguiente función en el punto
indicado .
a) 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 , 𝑃(0,1)
Solución:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏
𝒇,(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝑚 = 𝑓,(𝑥)
𝒇,(𝟎) = 𝟐(𝟎) − 𝟏
𝒇,
(𝟎) = −𝟏
𝑚 = −1
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 − 𝟏 = −𝟏(𝒙 − 𝟎)
𝒚 − 𝟏 = −𝒙
𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
Ecuación de la recta
tangente

3. PARTE II Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y la curva normal, a la curva dada
en el punto especificado.
e) La ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥 que es paralela a la recta
con ecuación: 4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
m = −
𝑎
𝑏
𝑚 = 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥 + 𝑥
𝑦,
(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
𝑦,
(𝑥) =
1
𝑥
+ 1
Encontramos la pendiente Derivamos la función. 𝑚 = 𝑓,(𝑥)
2 =
1
𝑥
+ 1
2 − 1 =
1
𝑥
1 =
1
𝑥
𝑥 = 1
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
m = −
4
−2

4. Sustituimos x=1 en la función original
f(𝑥) = ln 𝑥 + 𝑥
f(1) = ln 1 + 1
f(1) = 1
Punto de tangencia 1,1
Ecuación de la recta tangente
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
𝑚 = 2, 𝑥1 = 1, 𝑦1 = 1
𝑦 − 1 = 2 𝑥 − 1
𝑦 − 1 = 2𝑥 − 2
0 = 2𝑥 − y − 2 + 1
Ecuación de la recta normal
𝑚𝑛 = −
1
2
𝑦 − 𝑦1 = −
1
𝑚
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 1 = −
1
2
𝑥 − 1
𝑦 − 1 = −
1
2
𝑥 +
1
2
𝑦 = −
1
2
𝑥 +
1
2
+ 1
Sustituimos
0 = 2𝑥 − y − 1

5. PARTE III Para cada función, determine la razón media de cambio entre los valores
de la variable que se indican.
c) Para la función 𝑝 = 0.0015𝑞3 + 0.05𝑞2 + 5
encuentre la razón instantánea de cambio cuando 𝑞 =10
Derivamos p
𝑝′(𝑞) = 0.0015(3)𝑞2
+ 0.05 2 𝑞
𝑑𝑝
𝑑𝑞
=
𝑑
𝑑𝑞
0.0015𝑞3 + 0.05𝑞2 + 5
𝑝′(𝑞) = 0.0045𝑞2 + 0.1𝑞
Para q = 10 se tiene:
𝑝′(10) = 0.0045 10 2 + 0.1(10)
𝑝′ 10 = 1.45
Razón instantánea de cambio
Solución:

6. PARTE IV: Resolver los siguientes problemas
2) Para la función de costo 𝐶 𝑥 = 8𝑥 + 4𝑥𝑒−3𝑥. Determine:
a) al producir 3 unidades ¿Cuál es el costo medio por unidad?
b) el costo marginal
c) ¿Cuál es el costo aproximado de producir la unidad número 4?
Solución:
a) ത
C(x) =
𝐶(𝑥)
𝑥
ത
C(x) =
8𝑥 + 4𝑥𝑒−3𝑥
𝑥
ത
C x =
8𝑥
𝑥
+
4𝑥𝑒−3𝑥
𝑥
ത
C x = 8 + 4𝑒−3𝑥
ത
C x = 8 + 4𝑒−3𝑥
ത
C 3 = 8 + 4𝑒−3(3)
ത
C 3 = $ 8.0005
Costo medio por unidad al
producir 3 unidades

7. b) Costo marginal
𝐶 𝑥 = 8𝑥 + 4𝑥𝑒−3𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝐶 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
8𝑥 + 4𝑥𝑒−3𝑥
𝐶,
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
8𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
4𝑥𝑒−3𝑥
𝐶,
𝑥 = 8 + 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 𝑒−3𝑥
+ 4𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑒−3𝑥
𝐶, 𝑥 = 8 + 4(1) 𝑒−3𝑥 + 4𝑥 𝑒−3𝑥 (−3)
𝐶, 𝑥 = 8 + 4𝑒−3𝑥 − 12𝑥𝑒−3𝑥

8. c) ¿Cuál es el costo aproximado de producir la unidad número 4?
𝐶, 𝑥 = 8 + 4𝑒−3𝑥 − 12𝑥𝑒−3𝑥
𝐶, 3 = 8 + 4𝑒−3(3) − 12(3)𝑒−3(3)
𝐶, 3 = 8 + 4𝑒−3(3) − 12(3)𝑒−3(3)
𝐶,
3 = $ 7.9961
costo aproximado de
producir la unidad
número 4

9. PARTE V Para cada ecuación de demanda, encuentre la elasticidad puntual en los valores
indicados, y escriba si es una demanda elástica, inelástica o unitaria.
e) 𝑓 𝑝 = 200 ln 150 − 𝑝 , 𝑝 = 20
Solución:
𝐸𝑃𝐷 =
𝑝
𝑞
𝑓´(𝑝)
𝑓 𝑝 = 200 ln 150 − 𝑝
𝑓` 𝑝 = 200
𝑑
𝑑𝑝
ln 150 − 𝑝
𝑓` 𝑝 = 200
1
150 − 𝑝
(−1)
𝑓` 𝑝 = −200
1
150 − 𝑝
𝑓` 𝑝 = −
200
150 − 𝑝
𝐸𝑃𝐷 =
𝑝
200 ln 150 − 𝑝
−
200
150 − 𝑝
𝐸𝑃𝐷 = −
20
200 ln 150 − 20
200
150 − 20
𝐸𝑃𝐷 = −
20
ln 130
1
130
𝐸𝑃𝐷 = −0.03
La demanda es inelástica