Este documento presenta un problema sobre clasificar y analizar una cónica dada por la ecuación 5x2 + 5y2 + 2xy + 10x + 2y + 1 = 0. Se pide clasificar la cónica sin reducir la ecuación, determinar las ecuaciones reducidas de curvas no degeneradas y rectas de curvas degeneradas, y encontrar centros, puntos singulares, asintótas y otros elementos geométricos.

1. Para la siguiente cónica 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒚 𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎, se pide a)
Clasificarlas sin hallar la ecuación reducida, b) Dar las ecuaciones reducidas de las
no degeneradas y las rectas que forman las degeneradas y c) En los casos en que
exista, determinar: centros, puntos singulares, direcciones asintóticas, asíntotas,
ejes, vértices, focos, directrices y excentricidad.
Solución:
Datos del problema: 5𝑥2
+ 5𝑦2
+ 2𝑥𝑦 + 10𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
Esta ecuación es de la forma: 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0,
Donde A=5; B=2;C=5; D=10;E=2; F=1.
Caso a): aquí nos pide utilizar el discriminante: 𝐷 = 𝐵2
− 4𝐴𝐶, donde se tienen los
siguientes casos:{
𝑆𝑖 𝐷 = 𝐵2
− 4𝐴𝐶 < 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
𝑆𝑖 𝐷 = 𝐵2
− 4𝐴𝐶 = 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝑆𝑖 𝐷 = 𝐵2
− 4𝐴𝐶 > 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎
Aplicando el discriminante tenemos:
𝐷 = 𝐵2
− 4𝐴𝐶 → 𝐷 = (2)2
− 4(5)(5) = −96 < 0; Luego es una elipse
Caso b):
Caso c):