El documento presenta una introducción al análisis numérico, incluyendo conceptos clave como métodos numéricos, importancia de utilizar métodos numéricos, definición de análisis numérico, números de máquina decimales, errores absolutos y relativos, fuentes básicas de errores, errores en sumas y restas, estabilidad e inestabilidad numérica, y condicionamiento. El análisis numérico se ocupa de algoritmos para resolver problemas matemáticos complejos mediante cálculos numéricos en una comput

1. ANALISIS NUMERICOS
Conceptos En Que Se Basan Los Métodos Numéricos, Importancia De
Utilizar Métodos Numéricos:
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas
numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y
científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos,
escribir programas y resolverlos en una computadora y usar
correctamente el software existente para dichos métodos y no solo
aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que
también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los
principios científicos básicos.
Éstos métodos son adecuados para la solución de problemas comunes
de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras
electrónicas. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para
resolver procedimientos matemáticos en:
• Cálculo de derivadas
• Integrales
• cuaciones diferenciales
• Operaciones con matrices
• Interpolaciones
• Ajuste de curvas
• Polinomios

2. Definición de Análisis Numérico
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se
encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas
simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos
del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los
ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números
binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo
el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos
matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en
algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos
empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto
de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas
pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números
que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un
poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que
va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en
determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos
alejando de la solución del problema.
Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de
la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos
como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en
ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que
dista mucho del empleado por la matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico
como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o
"analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales,
métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a
ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos .

3. Números de Máquinas Decimales
Marvin Minsky define de los números que se van a calcular más o menos como
lo hizo allá por 1936 Alan Turing, como "una secuencia de dígitos interpretada
como fracciones decimales" entre 0 y 1:
"Un número computable [es] aquél para el que hay una máquina de
Turing que, dado n en su cinta inicial, termina con el n-ésimo digito de
ese número [codificado en esa cinta]." (Minsky 1967:159)
Las claves de esta definición son: (1) se especifica n al principio, y (2) el
cálculo tiene un número finito de pasos para cualquier n, después del cual
la máquina produce el resultado deseado y termina.
Una forma diferente de decir (2) podría ser que la máquina escribe
sucesivamente todos los dígitos en la cinta y para con el n-ésimo dígito, y
esta definición enfatiza la observación de Minsky: (3) utilizando
una Máquina de Turing se da una definición finita de lo que es
potencialmente una cadena infinita de dígitos decimales.
Aun así, esta no es la definición formal y moderna, que únicamente requiere
que el resultadeo sea preciso dado cualquier grado de precisión. La
definición informal está sujeta a un problema de redondeo mientras que la
moderna no.
Definición formal
Un número real a es computable si se puede dar una aproximación de él
mediante una función computable de la siguiente forma: dado
cualquier número entero , la función produce un número entero k tal
que:
Hay dos definiciones similares que son equivalentes:
 Existe una función computable que, dado cualquier márgen de
error , produce un número racional r tal que

4.  Existe una secuencia computable de números racionales que
convergen en tal que para cada i.
Existe aún otra definición de números computables mediante cortaduras
de Dedekind. Una cortadura de Dadekind computable es una función
computable que, proporcionado un número racional como entrada,
devuelve ó , y cumplen las siguientes
condiciones:
Un ejemplo puede ser un programa D que define la raíz
cúbica de 3. Asumiendo se define:
Definición de Número Máquina Decimal
"Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente
forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes)
tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.

5. Errores Absolutos y Relativos
Error Absoluto
Error que se determina al dividir el error absoluto entre el valor
verdadero. Se puede expresar en porcentaje, partes por mil o partes
por millón.
Error Relativo
Errores que afectan la precisión de una medición. Ocasiona que los
datos se distribuyan más o menos con simetrías alrededor de un
valor promedio. (Se refleja por su grado de precisión).
Cota de Errores Absolutos y Relativos
Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error
absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende
encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanto más pequeñas sean esas
cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución
exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³
m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces:
Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución
exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas
veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se estima en
función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño,
se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es
grande, entonces Pn no se considera como una buena aproximación de la
solución exacta P.

6. Fuentes Básicas de Errores
En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número
exacta y el obtenido por aproximación se define como:
El Error de Truncamiento
El Error de Redondeo
Error = Valor real -valor estimado
En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que
denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.
Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el
cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor :
Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero
Errores De Una Suma Y Una Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en
la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de
la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso.
El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos
interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones
aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas
usuales.
Estabilidad e Inestabilidad
En el subcampo matemático del análisis numérico, la estabilidad numérica es
una propiedad de los algoritmos numéricos. Describe cómo los errores en los
datos de entrada se propagan a través del algoritmo. En un método estable, los
errores debidos a las aproximaciones se atenúan a medida que la computación
procede. En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se

7. magnifica conforme el cálculo procede. Métodos inestables generan
rápidamente basura y son inútiles para el procesamiento numérico.
La estabilidad numérica de un método junto con el número
condición (en:condition number) define cuán buen resultado podemos obtener
usando métodos aproximados para calcular cierto problema matemático.
Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para
indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños
cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado
si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las
respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de
condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los
errores relativos".
Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un
número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un
número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se
establece otro tipo de número de condición; el número condicionado
proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.
De:
Mauricio varela