Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo numérico y manejo de errores. Explica la importancia de los métodos numéricos y definiciones clave como análisis numérico, número máquina, error absoluto y relativo. También describe las principales fuentes de errores en cálculos numéricos como el error de truncamiento y redondeo.

1. Calculo Numérico Y manejo de
Errores
Angélica García
19.673.675

2. Conceptos En Que Se Basan Los Métodos Numéricos,
Importancia De Utilizar Métodos Numéricos
Hoy en día, las computadoras y los métodos
numéricos proporcionan una alternativa para
cálculos complicados. Al usar la computadora
para obtener soluciones directamente, se pueden
aproximar los cálculos sin tener que recurrir a
suposiciones de simplificación o a técnicas
lentas. Un especialista en análisis numéricos se
interesa en la creación y comprensión de buenos
métodos que resuelvan problemas
numéricamente. Una característica importante
del estudio de los métodos es su valoración (es
decir, decidir cuál método es superior para una
tarea dada).
Definición de Análisis Numérico
Consiste en procedimientos que resuelven
problemas y realizan cálculos puramente
aritméticos, tomando en cuenta las
características especiales de los instrumentos
de cálculo (como calculadoras, computadoras)
que nos ayudan en la ejecución de las
instrucciones del algoritmo con el fin de
calcular o aproximar alguna cantidad o función,
para el estudio de errores en los cálculos"

3. Definición de Número Máquina
"Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de
base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa
que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de
menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se
relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras
digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada. Esto se comprenderá mejor en ejemplos prácticos.
Definición de Número Máquina Decimal
"Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.

4. Errores Absolutos y Relativos
Hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos que se
implementarán más adelante, suponiendo condiciones ideales para su implementación. En
otras palabras, no hemos tenido en cuenta que al realizar estos procedimientos de forma
numérica en una computadora se generan situaciones de error. Tales situaciones de error se
denominan errores numéricos y la presente sección se encarga un poco de su estudio y sus
efectos en los cálculos numéricos.
Definición de Error Absoluto
"El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por
ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor
calculado";debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error
absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se
incrementan juntos, sin reducirse.

5. Cota de Errores Absolutos y
Relativos
Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de
tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanto más
pequeñas sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta
de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b].
Entonces:
Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta, conociendo una cota inferior
del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se
estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera
entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como
una buena aproximación de la solución exacta P.

6. Fuentes Básicas de Errores
• Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para
comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en
que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro
de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en
la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante
que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar
un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una
serie).

7. Redondeo y Truncamiento
• Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los
resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos
clases fundamentalmente:errores de truncamiento, que resultan de
representar aproximadamente un procedimiento matemático
exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar
aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación
entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor
verdadero = valor aproximado + error,de donde se observa que el
error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor
aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La
deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que
los altos términos en la representación decimal completa no tienen
relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo
produce un error bajo en comparación con el truncamiento o
cortado. Para que obtengas información, esta es la
conexión: Aritmética de Punto Flotante

8. Fuentes Básicas de Errores
• Existen dos causas principales de errores en los
cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de
redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el
número limitado de dígitos con que se representan los
números en una PC (para comprender la naturaleza de
estos errores es necesario conocer las formas en que se
almacenan los números y como se llevan a cabo las
sumas y restas dentro de una PC). El Error de
Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas
en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor
es el medio más importante que se emplea para obtener
modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de
truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno
finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).