Riesgo

CURSO
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE
PROYECTOS DE INVERSIÓN PÚBLICA
ANÁLISIS DE RIESGO
SANTIAGO DE CHILE
CLAUDIA NERINA BOTTEON
claudia.botteon@ac-consultores.com.ar
cyatrape@yahoo.com.ar
Octubre- 2011

Análise de Risco
• Consideración del riesgo en la evaluación de proyectos.
• Riesgos asegurables.
•Evaluación determinística.
• Métodos que no consideran la probabilidad de
ocurrencia de cada evento: variables críticas, análisis de
sensibilidad y análisis de escenarios.
• Métodos que consideran la probabilidad
de ocurrencia de cada evento: método de
simulación de Monte Carlo.
• Uso de herramientas informáticas
para el análisis de riesgo.
• Anexo de herramientas estadísticas para análisis de
riesgo.
Prof. Claudia Nerina Botteon

RIESGO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS

¿Por qué se debe considerar el riesgo de un proyecto?
Hasta este momento, se ha supuesto que se conocen con certeza los valores futuros
de las variables relevantes.
Al momento de hacer la evaluación, suele existir desconocimiento sobre muchos
aspectos relacionados con el proyecto, como por ejemplo:
• La evolución de la economía local, nacional e internacional.
• Los tiempos y el monto a invertir en el proyecto.
• La obsolescencia de la tecnología.
• Las modificaciones en la moda.
• Los factores climáticos que afectan las cosechas.
• Los cambios en las regulaciones y/o en las políticas de la actividad.
• Etc.
Todo ello puede afectar el valor de los indicadores de rentabilidad.
Se hace necesario considerar el riesgo en la evaluación de proyectos.
EL RIESGO EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Proyecto
Costo de inversión
efectivo como %
del estimado
Demanda como % de
la demanda estimada
Puente Humber (UK) 175 % 25 %
Túnel del Canal de la
Mancha
80 % 18 %
Metro de Baltimore 60 % 40 %
Tyne and Wear Metro
(UK)
55 % 50 %
Metro de Portland (USA) 55 % 45 %
Metro de Bufallo (USA) 50 % 30 %
Metro de Miami 35 % 15 %
TGV Paris Nord 25 % 25 %
Fuente: Extraído de una diapositiva del profesor Eduardo Aldunate.

Proyecto Sobre-costo
Canal de Suez 1.900 %
Opera de Sydney 1.400 %
Concorde 1.100 %
Canal de Panamá 200 %
Puente de Brooklyn 100 %
Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg

Ferrovias
+45%
Puentes, túneles
+ 34 %
Rodovias
+20 %
ERRORES DE ESTIMACIÓN DE
INVERSIÓN
• EN 9 de cada 10 proyectos de
transporte se subestimaron los
costos (tamaño de la muestra: 258).
• Este fenómeno fue observado en 20
países de los 5 continentes.
• La diferencia es mayor en países en
desarrollo.
• Los errores de la estimación no se
redujeron con el paso de los años.
• No existe justificación técnica. Son
errores estratégicos.
Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg con base en el estudio”Economic
Appraisal of Large-ScaleTransport Infrastructure Investments” de Mette K. Skamris.

Proyecto
Tránsito actual como
% del proyectado
Metro de Calcutta 5 %
Túnel del Canal de La
Mancha
18 %
Metro de Miami 15 %
TGV Paris Nord 25 %
Puente Humber (UK) 25 %
Metro de Ciudad de
México
50 %
Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg

ERRORES DE ESTIMACIÓN DE
DEMANDA
• Modelos inadecuados.
• Falta de datos.
• Cambios de comportamiento.
• Cambios no previstos en factores
exógenos.
• Sesgo de los consultores.
• Sesgo del evaluador.
Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg con base en el estudio”Economic
Appraisal of Large-ScaleTransport Infrastructure Investments” de Mette K. Skamris.
Ferrovias
-39 %
Carreteras
+9 %

Variables que inciden en
los indicadores de
rentabilidad:
Ciertas o no aleatorias:
Su valor se conoce con certidumbre en
el momento de tomar la decisión
acerca de la conveniencia de la
ejecución del proyecto.
Aleatorias:
Su valor no es conocido con exactitud.
Son las que dan origen al riesgo
asociado a un proyecto.

¿Qué es el riesgo desde el punto de vista de un
proyecto?
Es la variabilidad de su rentabilidad medida a través de
alguno de sus indicadores (VAN, TIR, etc..)
A mayor variabilidad mayor riesgo

¿Cómo puede medirse el riesgo?
MÉTODOS QUE PERMITEN “EXPLICITAR” EL RIESGO Y
TENERLO EN CUENTA EN LA DECISIÓN
Como ninguno de los métodos es perfecto
suelen utilizarse en forma complementaria
NO LO ELIMINAN, LO PONEN DE MANIFIESTO
NO SON PERFECTOS (usan información histórica)

EVALUACIÓN DETERMINÍSTICA

¿En qué consiste la evaluación determinística?
Considera: EL VALOR “ESPERADO” DE CADA VARIABLE
¿Qué resulta de esta evaluación?
Los INDICADORES DE RENTABILIDAD son
VALORES ESPERADOS
Ej.: precio del bien X está entre $ 40 y $ 50, pero su
valor más probable es $ 46.
En la evaluación se considera $ 46

Ejemplo sencillo
Flujo de beneficios y costos del proyecto
VAN esperado del proyecto = $ 8.750,30
Concepto Valores Unidades
Duración fase de inversión 1 año
Inversión total a valores sociales: 50.000 $
En momento 0 60%
En momento 1 40%
Duración fase de operación 3 años
Costos sociales fijos 12.000 $/año vencido
Costos sociales variables 2 $/unidad, vencido
Cantidad de unidades 9.000 unidades anuales
Precio social del bien generado 6 $/unidad, vencido
Tasa social de descuento 8% anual
Concepto 0 1 2 3 4
Costo social de la inversión -30.000 -20.000
Costo social fijo -12.000 -12.000 -12.000
Costo social de los insumos -18.000 -18.000 -18.000
Valor social de la producción 54.000 54.000 54.000
Beneficios netos -30.000 -20.000 24.000 24.000 24.000

¿Cuándo es poco recomendable el uso de
esta metodología?
- Aún de existir un único valor más probable, en muchos casos es
muy difícil poder estimarlo con un grado de exactitud adecuado.
- Aún cuando pueda estimarse correctamente el valor más
Probable, esto no implica que sea el que va a adoptar la variable en
cuestión.
- No necesariamente la variable va a tener un solo valor más probable.
Incluso podría ocurrir el caso de que todos los valores probables tuviesen la
misma probabilidad de ocurrencia.

¿Cuáles son los métodos que permiten incorporar
el riesgo más usados?
Complementarios entre sí
Según si incorporan o no
la probabilidad de
ocurrencia
No la incorporan:
•Determinación de las variables críticas
•Punto de nivelación
•Análisis de sensibilidad
•Análisis de escenarios
Sí la incorporan:
•Método de simulación de Monte Carlo
Claudia Nerina Botteon

MÉTODOS QUE NO CONSIDERAN LA
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

• Determinación de las variables críticas
• Punto de nivelación
• Análisis de sensibilidad
• Análisis de escenarios
¿Cuáles son los métodos que no consideran la
probabilidad de ocurrencia más usados?
NO CONSIDERAN PROBABILIDAD

Para cada una de las variables que inciden en el VAN
se estima:
• La elasticidad del VAN respecto de cada variable.
• La variabilidad de esa variable.
• El indicador de variable crítica.
Determinación de las variables críticas

La elasticidad del VAN respecto de la variable Y
Y
Y
VAN
VAN
E Y,VAN
Δ
Δ
=

EVAN,Y indica:
Cuán sensible es el VAN a los cambios en esa variable
3
Y
Y
VAN
VAN
E Y,VAN =
Δ
Δ
=
Si Y es la cantidad del bien
y se incrementa en un 1%,
el VAN lo hará en un 3%.

Cálculo: Elasticidad del VAN respecto de la inversión inicial
Inversión considerada en evaluación es de $ 50.000
VAN = $ 8.750,30
Si ocurriera un aumento del 10% de la inversión
Inversión aumenta a $ 55.000
Nuevo VAN = $ 3.898,45
54,5
000.50
000.50000.55
30,750.8
30,750.845,898.3
I
I
VAN
VAN
E Inversión,VAN −=
−
−
=
Δ
Δ
=

Elasticidad del VAN respecto de la inversión inicial
54,5
I
I
VAN
VAN
E Inversión,VAN −=
Δ
Δ
=
Es negativa, dado que la inversión es un costo: si
aumenta, el VAN disminuye.
Su valor indica que si la inversión total aumenta en un
1%, el VAN disminuye en un 5,54%.

Variabilidad de la variable Y
• Rango de variación de la variable o recorrido, en
términos porcentuales
Existen varias formas de medir la variabilidad de una
variable aleatoria Y:
• Coeficiente de variación (CVY), definido como la
desviación estándar (σY) sobre la media (Y)

• Rango de variación de la variable o recorrido, en
términos porcentuales:
Ejemplo, si el precio esperado de Y es $ 100 y puede variar
entre $ 90 y $ 110, entonces:
El precio es $ 100 más/menos 10%
El rango de variación es del 10% del valor medio.

• El coeficiente de variación (CVY), definido como
la desviación estándar (σY) sobre la media (Y):
Yi son los valores que puede asumir la variable Y
Ai es la probabilidad de ocurrencia correspondiente al valor Yi
Y
CV Y
Y
σ
=
i
m
1i
i AYY ⋅= ∑=
i
2
m
1i
iY A)YY( ⋅−=σ ∑
=

• El coeficiente de variación
Si la variable Y se distribuye como normal
El 68,27% de los valores que asume Y están incluidos dentro
del intervalo: Media ± σ.
Si el CV = 0,2, el 68,27% de los valores de la variable cae en
el intervalo Media ± 20% sobre la Media.
Y
CV Y
Y
σ
=

Variable Elasticidad
Rango de
variación (%)
Indicador de
variable crítica Orden
Inversión social (I*) -5,545 0,01% -0,06% 5
Costos sociales fijos (CF*) -3,272 10,00% -32,72% 3
Costos sociales variables unitarios (cv*) -4,909 5,00% -24,54% 4
Precio social del bien (P*) 14,726 8,00% 117,81% 2
Cantidad de unidades (X) 9,817 15,00% 147,26% 1
Interpretación con respecto de la cantidad (X):
El indicador refleja el cambio porcentual máximo
del VAN debido a la variación de X.
Indicador = EVAN,Y · Medida de la variabilidad de Y

Indicador de variable crítica
(utilizando el Coeficiente de Variación)
Hay que conocer:
• la distribución de probabilidades de la variable o
• los parámetros que definen la distribución.

Xi Ai
8.000 0,1
8.500 0,2
9.000 0,4
9.500 0,2
10.000 0,1

Interpretación:
La variación del VAN debido a variaciones en X
será del 59,75% en el 68,27% de los casos.
Concepto Valor
Media 9.000
Desviación estándar 547,72
Coeficiente de variación (CV) 6,09%
Indicador de variable crítica 59,75%

Supóngase que existe la posibilidad de negociar los valores
de dos variables: tamaño del local y porcentaje de las
ventas a pagar a la empresa concedente.
Es preferible lograr una reducción del 1% en el porcentaje a
pagar (con el cual se logra un aumento del VAN en 20%),
que una reducción del 10% en el tamaño del local (con lo
cual se logra un aumento del VAN en 5%).
APLICACIÓN
La empresa concedente de una franquicia normalmente impone un
conjunto de condiciones: tamaño mínimo del local de ventas, la cantidad
de bienes en existencia, el porcentaje de comercialización, el porcentaje
del ingreso por ventas a cobrar, etc. Algunas condiciones pueden ser
negociables por el concesionario.
Variable Elasticidad
Rango de
variación
Indicador de
variable crítica
Tamaño del local -0,5 10% 0,05
Porcentaje a pagar (sobre el
ingreso por ventas)
- 20 1% 0,20

Para cada una de las variables se puede determinar su:
• Valor mínimo (en caso que incidan en forma positiva).
• Valor máximo (en caso que incidan en forma negativa).
Punto de nivelación de una variable

VAN = 0
Precio mínimo = $ 5,59
Cantidad mínima = 8.083
Suponen que el resto de las variables asumen sus
valores medios.

• Este análisis suele ser útil es cuando se está estudiando el proyecto a
nivel de idea o de perfil y no se ha hecho el estudio de mercado, por lo
cual no se dispone de estimaciones del precio de venta del bien a
producir.
Se calcula entonces el mínimo precio al cual debe venderse cada unidad
para que sea conveniente ejecutar el proyecto. Si el precio mínimo
resultante es indudablemente mayor que el esperado, se puede afirmar
que no es conveniente la ejecución del proyecto.
APLICACIÓN
• Este procedimiento se suele utilizar cuando el valor de una variable
importante para el proyecto es desconocido.
Por ejemplo, hace algunos años la Municipalidad de la Ciudad de Mendoza
se planteó la conveniencia de privatizar el servicio público de recolección
de residuos, y no se disponía de ninguna información sobre el precio que
podría cobrar una empresa para prestar el servicio. Entonces se estimó el
máximo canon mensual que haría de la privatización un buen negocio para
la Municipalidad.

Análisis de sensibilidad
Efectos que producen sobre el VAN las variaciones en los
valores de las variables
Para elegir las variables con las cuales se hará el análisis de
sensibilidad es útil determinar previamente cuáles son las más
críticas para el proyecto.
Una de las variables muy utilizada en este tipo de análisis es la
tasa de descuento, debido principalmente a las dificultades en la
determinación de su valor.

Efectos que producen sobre el VAN las variaciones
en los valores de las variables
Es necesario elegir rangos de variación
“razonables” para cada variable, acordes con la
información disponible.
Si, como se supuso en el análisis de las variables críticas,
el coeficiente de variación de la cantidad (X) es igual a
0,0608, se sabe que el 68,27% de los casos estará entre
Media ± σ : 8.453 y 9.547 unidades.
Dado que esto no abarca la totalidad de los casos, a
continuación se realiza el análisis de sensibilidad para
cantidades entre 8.000 y 10.000 unidades anuales.

Efectos que producen sobre el VAN las variaciones en los
valores de las variables
Cantidad VAN
8.000 -794,50
8.200 1.114,46
8.400 3.023,42
8.600 4.932,38
8.800 6.841,34
9.000 8.750,30
9.200 10.659,26
9.400 12.568,22
9.600 14.477,19
9.800 16.386,15
10.000 18.295,11
PARA UNA VARIABLE (X)
Sensibilidad del VAN a la cantidad anual vendida
-1000
4000
9000
14000
19000
8000 8400 8800 9200 9600 10000
Cantidad anual vendida
VAN

Cantidad Precio de venta
5 5,5 6 6,5 7
8.000 -19.884,11 -10.339,30 -794,50 8.750,30 18.295,11
8.200 -18.452,39 -8.668,96 1.114,46 10.897,88 20.681,31
8.400 -17.020,67 -6.998,62 3.023,42 13.045,47 23.067,51
8.600 -15.588,95 -5.328,28 4.932,38 15.193,05 25.453,71
8.800 -14.157,23 -3.657,94 6.841,34 17.340,63 27.839,91
9.000 -12.725,50 -1.987,60 8.750,30 19.488,21 30.226,11
9.200 -11.293,78 -317,26 10.659,26 21.635,79 32.612,31
9.400 -9.862,06 1.353,08 12.568,22 23.783,37 34.998,51
9.600 -8.430,34 3.023,42 14.477,19 25.930,95 37.384,71
9.800 -6.998,62 4.693,76 16.386,15 28.078,53 39.770,92
10.000 -5.566,90 6.364,10 18.295,11 30.226,11 42.157,12
PARA DOS VARIABLES
Sensibilidad del VAN a la cantidad y al precio

Tasa de
descuento
VAN
5% 13.198,05
6% 11.653,10
7% 10.171,57
8% 8.750,30
9% 7.386,30
10% 6.076,77
11% 4.819,06
12% 3.610,67
13% 2.449,26
14% 1.332,60
15% 258,61
16% -774,70
17% -1.769,20
18% -2.726,65
Sensibilidad del VAN a la tasa de descuento
Sensibilidad del VAN a la tasa de descuento
-5.000
0
5.000
10.000
15.000
5% 7% 9% 11% 13% 15% 17%
Tasa de descuento
VAN
TIR =15,25%

Sensibilidad del VAN a la duración de la fase de inversión
Momento Situación base Nueva situación
0 60% 40%
1 40% 30%
2 30%
VAN = $ 8.750,30
TIR = 15,25%
VAN = $ 6.277,72
TIR = 12,48%
La disminución en el VAN es de un 28,26% en
relación con el originalmente calculado

APLICACIÓN
Si lo que se quiere es determinar la rentabilidad de un
proyecto que consiste en plantar trigo y se conocen los
niveles de producción de los últimos 6 años, los cuales
están directamente relacionados con los niveles de
lluvia, se puede calcular los VAN correspondientes a los
ingresos obtenidos con esas producciones.
Si bien el proyecto es “en
promedio” rentable, un nivel de
precipitaciones como el del año
2004 haría incurrir en una pérdida
Año VAN
2001 2500
2002 2600
2003 2700
2004 -100
2005 3500
2006 2800

VENTAJAS
El análisis de sensibilidad permite visualizar la forma en que
cada variable incide en el VAN del proyecto y se dispone de
más información sobre los probables resultados del proyecto.
Por ejemplo, si se sensibiliza el VAN respecto de la cantidad
producida anualmente y del precio de venta del bien, se
pueden identificar los rangos de combinaciones de valores de
esas variables que permiten obtener VAN positivos. Si se
piensa que esas combinaciones son razonables, puede
concluirse que la ejecución del proyecto es conveniente,
mientras que si no es así, se plantean dudas sobre su
conveniencia.

LIMITACIONES
• Pueden presentarse dificultades al definir los rangos dentro
de los cuales puede variar cada variable. Si previamente se
han determinado las variables críticas, esos rangos deberán
ser coherentes con el indicador de variabilidad de cada
variable.
• En algunos proyectos existen relaciones entre las variables
que influyen en los indicadores de rentabilidad. Por ejemplo,
la cantidad de agua disponible para riego afecta la
producción de uva, pero si se cosecha poca uva su precio
puede ser más alto. En estos casos, es necesario considerar
las posibles relaciones entre esas variables.

Análisis de escenarios
CONJUNTO DE SITUACIONES
POSIBLES
Combinan en forma coherente las
variables más críticas

• Escenario Optimista
• Escenario Pesimista
• Escenario Original (Promedio)
Escenario Cantidad Precio VAN
Optimista 9.400 6,20 17.054,28
Promedio 9.000 6,00 8.750,30
Pesimista 8.600 5,80 828,12

APLICACION
Este método suele ser muy útil cuando se plantea
originalmente un escenario, pero el evaluador no está
seguro sobre su certeza.
Unos años atrás se utilizó al evaluar el proyecto de
pasar el Casino de Mendoza, que estaba bajo la órbita
estatal, a manos de los empleados. En ese momento se
estaba instalando en la Provincia otro casino, con lo
cual el estatal pasaba a tener competencia, y no se
conocía en qué medida esto podría afectar sus ventas.
Se supusieron escenarios alternativos con relación al
porcentaje de disminución de las ventas.

MÉTODOS QUE CONSIDERAN LA
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

¿Por qué surgen los métodos que
consideran la probabilidad de ocurrencia?
Escenario VAN
Optimista 1000
Promedio 0
Pesimista -1000
Sino se conoce la PROBABILIDAD
DE OCURRENCIA es muy difícil
decidir.
CONSIDERAN PROBABILIDAD
Los métodos que no la consideran sólo agregan
información sobre resultados alternativos del
proyecto, pero no indican
CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA
DE CADA UNO DE ELLOS

Si todas las variables que influyen en el VAN son ciertas, el resultado es
único.
Si al menos una variable es aleatoria, existe una distribución de
probabilidades del VAN.
Distribución de probabilidades de una
variable no aleatoria
0
0,5
1
1,5
1200
Beneficio neto del año 1
Probabilidad
Distribución de probabilidades de una
variable aleatoria
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
800 1000 1200 1400 1600
Beneficio neto del año 1
Probabilidad
El BN del año 1 más probable en ambos es de $ 1.200, pero la segunda
propuesta es más riesgosa.
En la mayoría de los casos quien debe decidir sobre la ejecución de un proyecto
no es indiferente entre uno que le permite obtener un determinado VAN con
certeza y otro que tiene el mismo VAN esperado, pero sujeto a una cierta
distribución. Si tiene aversión al riesgo, preferirá el primer proyecto.

Modelo de simulación Monte Carlo
¿Cuáles es el método que considera la
probabilidad de ocurrencia más usados?
Requieren de los
resultados de los métodos
que no consideran la
probabilidad

¿Qué ventaja tiene el método de simulación
con el modelo MONTE CARLO?
Permite obtener una distribución probabilística del
VAN, a través de la selección aleatoria de valores
de las distintas variables que en él inciden, acorde
con la distribución de probabilidades de cada una.
Se puede trabajar con muchas variables aleatorias

Modelo MONTE CARLO
Pasos a seguir:
• Definir variable dependiente: VAN.
• Identificar variables independientes: precio del bien, etc.
• Definir las interrelaciones existentes entre variables.
• Clasificar las variables en ciertas y aleatorias.
• Identificar la distribución de probabilidades de los valores
de cada variable: normal, uniforme, triangular, etc. (en base
a la información disponible y/o a la experiencia).
• Generar k números aleatorios para cada una de las
variables aleatorias a partir de su respectiva distribución de
probabilidades.
• Calcular el conjunto de VAN

UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DEL VAN
• VAN Esperado
• Desviación estándar
• Coeficiente de variación
• Tabla de frecuencias
• Histograma
• Cantidad de VAN superiores e inferiores a determinado valor
¿Qué permite lograr su aplicación?
Modelo MONTECARLO
m
VAN
VANe
m
1i
i∑=
=
∑=
−⋅
−
=σ
m
1i
2
iVAN )VANeVAN(
)1m(
1
VANe
CV VAN
VAN
σ
=
,
,
donde los VANi son los m valores del VAN obtenidos.

Cantidades
anuales
Valor social
de la
producción
Costos
sociales
anuales
Beneficios netos
sociales anuales
VAN*
X P* .
X
(1)
cv* .
X + CF*
(2) (1) – (2)
8.835,55 53.013,33 29.671,11 23.342,22 7.180,70
8.300,18 49.801,07 28.600,36 21.200,71 2.070,64
9.133,79 54.802,72 30.267,57 24.535,15 10.027,27
9.699,16 58.194,96 31.398,32 26.796,64 15.423,65
9.656,37 57.938,22 31.312,74 26.625,48 15.015,22
9.949,28 59.695,71 31.898,57 27.797,14 17.811,04
7.803,99 46.823,93 27.607,98 19.215,96 -2.665,39
8.871,73 53.230,39 29.743,46 23.486,93 7.526,02
... ... ... ... ...
Una variable aleatoria: cantidad anual vendida
Distribución normal con los mismos parámetros utilizados
en la determinación de variables críticas:
72,547;000.9Y =σ=
Se generaron 300 números aleatorios. Se presentan los primeros 8 valores obtenidos.
Modelo MONTECARLO

Concepto Valores
Porcentaje del
total de casos
Valor medio del VAN* 9.065,19
Desviación estándar 5.384,73
Coeficiente de variación 0,59
VAN* negativos 16 5,33%
VAN* inferiores a $ 3.000 41 13,67%
VAN* inferiores a $ 5.000 71 23,67%
VAN Frecuencia
-6.000 0
-3.000 3
0 13
3.000 25
6.000 49
9.000 53
12.000 68
15.000 44
18.000 31
21.000 11
24.000 3
y mayor... 0
Histograma
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-6000 -3000 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 21000 24000 y
mayor...
VAN
Frecuencia
Modelo MONTECARLO

Cantidades
anuales
Precio social
Valor social
de la
producción
Costos
sociales
anuales
Beneficios
netos
sociales
anuales
VAN*
X P
P* .
X
(1)
cv* .
X + CF*
(2) (1) – (2)
8.835,55 6,23 55.062,00 29.671,11 25.390,89 12.069,24
8.300,18 5,94 49.285,87 28.600,36 20.685,51 841,27
9.133,79 5,51 50.336,95 30.267,57 20.069,38 -628,94
9.699,16 6,64 64.419,82 31.398,32 33.021,50 30.277,42
9.656,37 6,22 60.044,50 31.312,74 28.731,76 20.041,24
9.949,28 6,49 64.549,02 31.898,57 32.650,45 29.392,02
7.803,99 6,01 46.902,30 27.607,98 19.294,32 -2.478,38
8.871,73 6,37 56.504,51 29.743,46 26.761,04 15.338,71
... ... ... ... ... ...
Dos variables aleatorias: cantidad y precio social
Distribución normal:
72,547;000.9Y =σ=
Se generaron 300 números aleatorios. Se presentan los primeros 8 valores obtenidos.
3,0;6P =σ=
Modelo MONTECARLO

Histograma
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-6000
-3000 0 3000 6000 9000
12000
15000
18000
21000
24000
y mayor...
VAN
Frecuencia
VAN Frecuencia
-6.000 13
-3.000 11
0 22
3.000 27
6.000 36
9.000 39
12.000 46
15.000 31
18.000 30
21.000 23
24.000 14
y mayor... 8
Concepto Valores
Porcentaje del
total de casos
Valor medio del VAN 8.915,18
Desviación estándar 8.505,23
Coeficiente de variación 0,9540
VAN negativos 46 15,33%
VAN inferiores a 3.000 73 24,33%
VAN inferiores a 5.000 99 33,00%
Modelo MONTECARLO

Modelo MONTECARLO
APLICACIONES
En la evaluación de un proyecto hidroeléctrico en la Provincia de Mendoza, en
el cual uno de los problemas era estimar la serie de caudales futuros del río,
puesto que se trataba de una variable fundamental en la determinación de la
cantidad de energía producida. Se conocían los caudales mensuales históricos
desde principios del siglo XX.
En primer lugar se hizo una evaluación determinística del proyecto utilizando los
caudales medios para cada uno de los meses del año.
Sin embargo, la variabilidad de esos caudales mensuales podía hacer cambiar
significativamente el VAN.
A partir de la serie histórica de caudales, se generaron series de caudales
hipotéticos para un horizonte de 50 años, coincidente con la duración de la fase
de operación del proyecto.
Luego se calculó el VAN del proyecto para cada una de las series.
Para la gran mayoría de las series el proyecto resultó aceptable.

Modelo MONTECARLO
APLICACIONES
En la determinación de las provisiones presupuestarias para enfrentar pasivos
contingentes.
En la concesión de ciertos proyectos viales se puede optar por garantizar un
nivel de ingreso mínimo (volumen de tráfico x peaje).
Las simulaciones de Monte Carlo se aplican para determinar la demanda futura
de las diferentes autopistas, de manera de poder estimar los pagos que se
deberán hacer por efecto de la Garantía de Ingreso Mínimo.
Sobre la base de información histórica se generan números aleatorios
concerniente a los ingresos anuales y se identifican los casos en que hay un
desvío negativo respecto de lo garantizado.
Ese desvío anual constituye el pago que el estado debe hacer al concesionario.
La media de esos desvíos constituyen el valor esperado de la provisión anual y
sirve de base para armar el presupuesto.

ANEXO DE HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS
NECESARIAS PARA ANÁLISIS DE RIESGO

ESTADÍSTICA
RECOPILACIÓN Y
SISMATIZACIÓN/ORDENAMIENTO
DE DATOS
TRATAMIENTO DE DATOS
Muestreo
Distribución de frecuencias
Histograma
Medidas o indicadores
Si existen fallas en el proceso, las conclusiones serán erradas
HERRAMIENTAS ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Trata de resumir las observaciones en 3 ó 4 números que muestren con
claridad la manera de comportarse del grupo.
Esos números son las ESTADÍSTICAS.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIDAS DE DISPERSION

Describen el comportamiento de la variable en la zona central de la
distribución.
En este grupo están la media (valor promedio) y las medidas de posición
(mediana, modo, cuartiles, etc.).
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Indican en qué forma están diseminados los datos a lo largo del recorrido
de la variable.
Pertenecen a este grupo la dispersión, la varianza y el coeficiente de
variación.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

MEDIA ARITMÉTICA
Si se disponen los valores de todas las variables.
∑=
⋅=
n
1i
iX
n
1
X
∑=
⋅⋅=
n
1i
ii fX
n
1
X
Si se disponen las frecuencias (fi) correspondiente a cada valor.
CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN,
el cual no es necesariamente la mitad.

Media = 672 / 210 = 3,2
Xi fi Xi . fi
1 9 9
2 60 120
3 70 210
4 34 136
5 25 125
6 12 72
Suma 210 672
MEDIA ARITMÉTICA

Una de las limitaciones de la media es que se ve afectada por
valores extremos: valores muy altos tienden a aumentarla
mientras que valores muy bajos tienden a bajarla, lo que implica
que puede dejar de ser representativa de la población.
La media de todas
las notas de una
persona, si es que
tiene todos 6, es 6.
La media de todas las notas de
una persona, si es que tiene la
mitad de ellas igual a 2 y la
otra igual a 10, también es 6.
MEDIA ARITMÉTICA

Es el valor ubicado de manera tal que:
- el 50% de los valores resultan menores que él y;
- el 50% restante mayores que él.
Rendimiento
físico
Edad
MEDIANA

Principales propiedades
- Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la
variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en,
pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.
- No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa
que la media aritmética cuando la población es bastante
heterogénea.
Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información
sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos
salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que
pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin
embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente
que gana más dinero que él, como que gana menos.
MEDIANA

Principales inconvenientes
No se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media
aritmética.
MEDIANA

Es el valor de la variable que presenta la frecuencia
absoluta máxima.
En el caso de los las edades de los empleados de una
empresa el intervalo 36-38.
Frecuencia absoluta
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
24-26
26-28
28-30
30-32
32-34
34-36
36-38
38-40
40-42
42-44
44-46
46-48
48-50
50-52
52-54
54-56
56-58
Edad (en años)
Númerodeempleados
MODO, MODA O VALOR MODAL

Comparación entre la media, mediana y modo
Modo < Media < Mediana
Edades
Rendimiento
físico
Mo Me Mn

Modo > Media > Mediana
Edades
Ingresos
Mn Me Mo

Modo = Media = Mediana
Empleados
Edades
Mo = Me =Mn

Muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un
número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de
la MEDIA.
Dan una idea de la forma en que se encuentran diseminados los datos a lo
largo del recorrido (o rango de variación) de la variable.
Cuanto mayor es el valor de esa medida, mayor es la variabilidad.
Cuanto menor, más similares son los valores de la variable a la MEDIA.

Valores de la
variable X
Frecuencia
20 0
50 1
70 3
90 1
110 0
Valores de la
variable Y
Frecuencia
0 0
30 0,5
50 1,5
70 2
90 1,5
110 0,5
130 0
Las medidas de tendencia central deben acompañarse de otras que
muestren la dispersión de los valores: X está menos diseminada que Y.
Las dos distribuciones tienen la misma media (70), la misma
mediana (70) y el mismo modo (70), sin embargo, los datos
están diseminados en forma diferente.

Variable X
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
20 50 70 90 110
Variable Y
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 30 50 70 90 110 130
Las medidas de
dispersión de la
variable X son
mayores que las de
Y.

Si X toma n valores: x1, x2, …, xn, la media resulta ser igual a:
n
x....xx
x n21 +++
=
Se pueden calcular los desvíos de cada valor que asume la
variable respecto de la media:
)xx();....;xx();xx( n21 −−−
La varianza si se conocen los valores de todas las variables es:
∑=
−⋅=
−++−+−
=σ
n
1i
2
i
2
n
2
2
2
12
)xx(
n
1
n
)xx(....)xx()xx(
VARIANZA Y DISPERSIÓN

La fórmula de la varianza si se conocen las frecuencias de cada uno
de los valores es la siguiente:
i
n
1i
2
i
2
f)xx(
n
1
⋅−⋅=σ ∑=
La dispersión es igual a la raíz cuadrada de la varianza:
2
σ=σ
VARIANZA Y DISPERSIÓN

Empleados
Edades
Me – disp Me Me + disp
Si se toma una muestra de 100 valores de la variable, aproximadamente el 69
asumirían valores iguales a los comprendidos en el rango
(media –dispersión) y (media +dispersión).
La zona sombreada
representa el 68,27% de
la superficie total de la
curva.
DISTRIBUCIÓN NORMAL

Es el cociente entre la dispersión y la media
x
CV
σ
=
Se usa para eliminar el problema de escala en la comparación de dos
distribuciones de frecuencias diferentes.
Distribución
A
Distribución
B
media 20 200
dispersión 4 40
CV 0,2 0,2
COEFICIENTE DE VARIACIÓN

FERRA, Coloma y BOTTEON, Claudia, Evaluación privada de proyectos, (Mendoza,
Facultad de Ciencias Económicas-Universidad Nacional de Cuyo, 2007).
FONTAINE, Ernesto, Evaluación social de proyectos, 12a. ed. (México, Alfaomega,
1999).
GABRIELLI, Adolfo, Evaluación privada de proyectos (La Paz, Bolivia, 1990),
mimeografiado.
JANSSON MOLINA, Axel, Formulación y evaluación de proyectos de inversión
(Santiago de Chile, Universidad Tecnológica Metropolitana, 2000).
RODRIGUEZ, J., Análisis de riesgo en proyectos de perforación exploratoria.
Técnicas de simulación. Método de Monte Carlo (Mendoza, 1981), mimeografiado.
SAPAG CHAIN, Nassir y SAPAG CHAIN, Reinaldo, Preparación y evaluación de
proyectos, 4ª. ed. (Santiago, Mc Graw Hill, 2000).
PRINCIPAL BIBLIOGRAFÍA

Riesgo

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