Este documento describe la sección áurea y sus propiedades matemáticas y geométricas. La sección áurea se refiere a la relación entre dos segmentos divididos de tal forma que la relación entre el segmento mayor y el menor es la misma que entre la suma total y el segmento mayor. Esta proporción se representa matemáticamente por el número de oro φ. El documento explica cómo construir figuras geométricas como triángulos y rectángulos con proporciones áureas usando regla y compás.

1. •
Secció àuria
•
Segment dividit en dos segments a i b de forma àuria: El segment sencer és al •
segment a com el segment a és al segment b
La raó àuria, secció àuria o divina proporció és la relació que guarden dos •
segments a i b (o per extensió, la que guarden dues quantitats a i b) si entre el
total i el segment major hi ha la mateixa relació que entre el segment major i el
segment menor, o, en altres paraules, si el tot és al segment major igual que el
major és al segment menor. Anomenant a al segment (o nombre) major i b al
menor, la formulació matemàtica de la definició es pot escriure com:
•
El quocient d'aquestes dues quantitats resulta ser un número irracional conegut com a
nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega Φ o φ (fi)
en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys freqüentment amb τ
(tau):
Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint considerades estèticament
agradables en la cultura d'occident, de manera que la proporció divina s'ha usat
freqüentment al llarg de la Història en l'art i el disseny. Òbviament, també s'ha usat la
inversa de la raó àuria Φ-1. A vegades s'utilitza la fi minúscula (φ) per aquest valor
quan s'utilitza la majúscula per l'anterior.
Però la raó àuria també és coneguda perquè la trobem a la natura, i és possiblement
el fet que aparegui en els llocs més insospitats, conjuntament amb una sèrie de
curioses propietats matemàtiques, el que ha fet que rebés la qualificació (metafòrica)
de "proporció divina".

2. Taula de continguts
Definicions i primeres propietats del nombre d'or
Com s'ha definit en l'encapçalament, dues quantitats a i b (amb a > b) estan en raó
àuria si la seva suma és a la quantitat major igual que la major és a la quantitat
menor, i.e.:
Equivalentment (per veure l'equivalència només cal multiplicar en creu i reordenar),
dues quantitats a i b estan en raó àuria si entre la major i la menor hi ha la mateixa
proporció que entre la menor i la seva diferència, i.e.:
De la primera equació (o també des de la segona), operant s'arriba a la següent
equació: , d'on s'obté:
On l'última igualtat s'efectua traient factor comú de b. Finalment, si es divideix a
banda i banda per b (que no és nul), s'obtenen els dos següents valors per a :
El nombre d'or només és el valor positiu ja que no té sentit de parlar d'una
quantitat negativa per a la raó entre dos segments.
Les primeres propietats del nombre d'or són dues:
• El nombre d'or és l'únic real positiu que està exactament una unitat per sota del
seu quadrat.
Demostració: Multiplicant la primera equació d'aquesta secció per a/b (o bé
per (a-b)/b la segona) s'obté:
, o bé, fent la substitució
, Q.E.D.

3. • El nombre d'or és l'únic real positiu que està una unitat per sobre del seu
invers.
Demostració: Com que Φ és diferent de zero, es pot dividir l'equació anterior
per Φ, de manera que
, Q.E.D.
Orígens
S'ha situat de vegades de l'origen de la proporció àuria a l'antiga civilització
babilònica, basant-se en la relació entre aquesta proporció i les estrelles de cinc
puntes trobades en tauletes de fang del 3200 a.C. Tanmateix, res indica que aquesta
civilització conegués la proporció àuria.
Raons molt properes a l'àuria s'han trobat en les posicions i proporcions de les
piràmides de Giza, de manera que sembla que els primers que usaren la raó àuria
foren els antics egipcis. El que no està tan clar és si les usaven conscientment per a
unes suposades qualitats estètiques de la raó o si la seva primera aparició és fruit
d'altres raons o l'atzar. De fet, són molts els que asseguren que els egipcis
desconeixien aquesta marevella matemàtica.
En la antiga Grècia es coneixien bé algunes propietats geomètriques de la raó àuria,
sobretot descobertes pels Pitagòrics, gràcies a la seva freqüent aparició en geometria;
tanmateix, no sembla cert però que en valoressin la seva vessant estètica. Malgrat
tot, en molts monuments, com en el Partenó, hom pot trobar-hi proporcions divines o
molt pròximes a ella. No s'ha provat que aquestes relacions fossin expressament
cercades, ja que en l'època de la construcció del Partenó poca gent coneixia aquesta
proporció; tot i que molts asseguren que no pot ser una qüestió d'atzar, cal anar molt
amb compte amb els textos que asseguren l'omnipresència de la secció àuria en
aquests edificis, ja que la numerologia, en diverses ocasions, s'ha tret relacions de la
màniga (com ara les que aparegueren sobre la gran piràmide d'Egipte al llibre The
Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It? de John Taylor (1859)).
En l'arquitectura romana també s'hi poden trobar raons àuries, però tampoc no s'ha
provat que fossin expressament emprades en els dissenys.
Raons àuries en geometria
Secció àuria d'un segment
Secció àuria del segment AB: S divideix AB de forma àuria, AS és el segment auri
d'AB

4. Donat un segment AB, es diu que el punt S constitueix secció àuria del segment AB
(o el divideix de forma àuria) si la part més gran és mitjana proporcional (o
geomètrica) entre el segment AB i la part petita. Si la part petita és SB, com en la
figura, matemàticament això és
Equivalentment això passa quan el segment sencer és a la part gran com la part gran
és a la petita, i.e.
L'equivalència entre les definicions es veu per exemple multiplicant en creu la segona
expressió.
També es veu l'equivalència entre aquestes definicions i la de capçalera: en efecte, si
AS mesura a i SB té una mesura b (i llavors AB té una mesura a + b) i tot plegat se
substitueix en la segona expressió, s'obté
La secció àuria del segment en una part gran i una de petita té a més la propietat
següent:
• La part petita és segment auri de la part gran, i.e.
o bé
Demostració: si (per ser AS el segment auri de AB),
restant a banda i banda s'obté que
Traient factor comú, i tenint en compte que
.
Llavors, , Q.E.D*.
Construcció de raons àuries amb regle i compàs
• Divisió àuria d'un segment donat. Una de les construccions més senzilles és
la següent:

5. Divisió de forma àuria d'un segment AB donat
•
1. Traceu BC, perpendicular a AB per B i de longitud la meitat de AB.
2. Amb centre a C, transporteu la distància CB sobre la hipotenusa CA.
S'obté així el punt D.
3. Amb centre a A, transporteu la distància AD sobre el segment AB. La
intersecció d'aquest arc amb el segment AB defineix el punt S buscat,
que constitueix secció àuria d'AB.
• Construcció del segment tal que el seu segment auri és el donat.
Aquesta és una de les construccions més famoses amb la raó àuria:
Construcció del segment AB a partir del seu segment auri AS.
•
1. Traceu SC, perpendicular a AS per S i de longitud igual a AS.
2. Trobeu el punt mig M del segment AS (per exemple amb la mediatriu).
3. Amb centre a M, traceu l'arc amb radi MC. La intersecció B d'aquest arc
amb la recta suport de AS defineix el segment cercat AB, el segment auri
del qual és AS.
Triangle d'or
Els triangles d'or són aquells triangles isòsceles els costats dels quals estan en raó
àuria. N'hi ha de dos tipus: els que , que són acutangles i els

6. que , que són obtusangles. Aquests últims sovint són també
anomenats triangles d'argent, però no tenen res a veure amb el nombre d'argent (que
no té res a veure amb φ, l'invers de Φ).
Triangles d'or
Els triangles d'or tenen dos angles de 72º i un de 36º; els triangles d'argent tenen dos
angles de 36º i un de 108º. Aquests són els mateixos angles que apareixen també en
el pentàgon regular i el pentacle, on no és sorprenent de retrobar els triangles d'or i la
raó àuria.
Demostració: En la figura de l'esquerra, es pot veure com el triangle ABD és
semblant al triangle BCA ja que els dos són isòsceles i tenen un angle en comú.
Així, els angles ABD i ACB són iguals. La raó de semblança és, per construcció
dels triangles 1/Φ. Llavors, el segment AD mesura 1/Φ.
Com que el nombre d'or verifica la igualtat
,
el segment DC mesura 1, de manera que el triangle BCD és isòsceles i els
angles DCB i DBC són iguals. Per tant, com que DCB i ACB són iguals, ABD i
DBC són iguals i DB marca la bisectriu de l'angle ABC. Atès que la suma dels
angles d'un triangle val 180°, els valors dels angles és de 36° pels més aguts
(la cinquena part d'un angle pla) i de 72º pels més oberts, (dues cinquenes
parts de l'angle pla o una cinquena part d'un angle complet).
Rectangle d'or

7. Rectangles d'or
Els rectangles d'or són aquells rectangles els costats dels quals guarden raó àuria.
La construcció d'un rectangle d'or amb compàs es pot fer fàcilment a partir d'un
quadrat mitjançant la segona construcció de l'apartat corresponent. Punxant al centre
d'un dels costats i obrint fins a un dels dos angles oposats, només cal baixar l'arc fins
a la prolongació del costat on s'ha punxat. Una de les propietats dels rectangles d'or
és que el rectangle resultant de l'eliminació del quadrat de costat b que el pot generar
(vegeu la figura), també és d'or. Aquesta propietat és deguda a que la raó àuria
compleix la propietat següent, ja vista en apartats anteriors:
.
El pentàgon i el pentalfa regulars
Pentacle en pentàgon regular
El pentàgon regular i les seves diagonals, que formen un pentalfa (o pentacle)
amaguen unes quantes propietats relacionades amb la raó àuria. Alguns creuen que
aquest podria ser un dels motius pels quals aquest símbol va ser l'escollit per
Pitàgores per a la germandat que creà i presidí: els pitagòrics.
Per tractar-se de pentàgons regulars, s'identifiquen deu angles de 108º, cinc en el
pentàgon exterior i cinc més en el format en l'interior. A partir d'aquests deu angles
s'en poden trobar cinc més també de 108º (per angles oposats pel vèrtex) i deu
angles de 72º (per angles suplementaris. D'aquesta manera, s'identifiquen cinc
triangles d'or, que són els que formen les puntes del pentacle. També s'hi identifiquen
quinze triangles d'argent (de dues mides diferents). Nombés hi ha doncs tres tipus
d'angles: de 36º, 72º (el doble de 36º) i 108º (el triple).
Pentalfa il·lustrant les raons àuries que s'hi amaguen

8. Pel què fa a longitud de segments, s'observa que només n'hi ha de quatre longituds
diferents, però totes en relació àuria amb alguna altra:
Demostració Per a demostrar cadascuna d'aquestes relacions, només cal
trobar un triangle d'or o d'argent format per costats amb les longituds
corresponents. Els triangles són efectivament d'or o d'argent perquè ho
corroboren els seus angles i la relació és àuria per definició de triangle d'or o
d'argent.
Espirals d'or
Hom pot construir, a partir d'una successió de rectangles d'or i quadrats (vegeu la
figura), una espiral tot traçant quarts de circumferència dins cada quadrat i tangents a
ell. Aquesta espiral s'aproxima a l'espiral d'or, una espiral logarítmica de centre la
intersecció de les dues diagonals indicades en la figura i d'equació polar:
Espiral d'or aproximada mitjançant arcs de Espiral d'or aproximada (verda) i vertadera
circumferència en una successió de (vermella) (el groc apareix allà on es
quadrats-rectangles d'or trepitgen ambdues corbes)
Espiral d'or aproximada mitjançant arcs de circumferència dins d'una successió de
triangles d'or
De la mateixa manera, es pot construir, a partir d'una successió de triangles d'or, una
espiral aproximada a la vertadera d'or triangular, també espiral logarítmica però ara
d'equació polar:

9. Angle d'or
Angle d'or Ψ
S'anomena angle d'or aquell angle obtingut mitjançant la partició d'un cercle (la
circumferència del qual té una longitud c) en dos sectors circulars, el més gran amb
un arc de longitud a i el menor, amb un arc de longitud b, de manera que
i prenent com a bo l'angle petit (el de longitud d'arc b).
Com que es tracta d'una partició del cercle, també es té que , i per tant,
(vegeu el paral·lelisme amb la secció àuria d'un segment).
• L'angle d'or mesura , o bé en radians,
.
Demostració: De l'equació , operant s'arriba a l'equació
, d'on, resolent, s'obté:
D'aquí, s'obtenen els dos següents valors per a :
Com que tant a com b són positius, es té que o que .
Substituint-ho en , i reordenant s'obté que:

10. , d'on s'obté la mesura angular de l'angle: o
.
El nombre d'or
Propietats
Puix que Φ resulta de la solució d'una equació polinòmica, forma part del conjunt dels
nombres algabraics. Pot ésser demostrat també que Φ és un nombre irracional o
incommensurable.
(vegeu les primeres 20000 xifres decimals del
nombre d'or)
Algunes expressions amb les potències de Φ:
•
•
•
•
Les potències de Φ també compleixen la següent propietat:
Demostració: La propietat anterior pot obtenir-se de multiplicar la
igualtat per .
Així, les potències naturals del nombre d'or compleixen la relació de recurrència
de Fibonacci,
Gràcies a aquesta propietat, es poden també escriure expressions on s'observa
la successió de Fibonacci:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

11. ,
Una altra propietat sorprenent relacionada amb la recurrència de Fibonacci és que el
quocient entre termes consecutius d'una successió definida amb aquesta recurrència,
entre aquestes, la successió de Fibonacci, tendeix al nombre d'or. En efecte, si
és una successió tal que , llavors:
Demostració: plantejant el límit,
De , multiplicant per x, s'arriba a:
, una equació quadràtica ja coneguda amb arrels i .
La primera arrel és la corresponent a la part creixent de la successió,
Q.E.D. La segona, és la corresponent a una hipotètica successió endarrera
(cercant el límit .
Com que , es pot representar Φ en forma de fracció contínua:
El fet que en aquesta fracció contínua només apareguin uns fa que el nombre Φ sigui
l'irracional més irracional (el que convergeix més lentament), cosa que fa que tingui
aplicacions interessants a la natura (veieu l'apartat "El nombre d'or a la natura").
Com que , Φ es pot representar també amb una iteració infinita d'arrels
quadrades:

12. El nombre d'or presenta també propietats interessants si s'utilitza com a base d'un
sistema de nombres (vegeu base d'or).
En trigonometria, el nombre d'or està molt relacionat amb els angles que apareixen
en un pentacle: (36º, 72º i 108º) i amb les seves meitats: 18º i 54º:
La demostració és a l'article Constants trigonomètriques exactes, angle de 36º.
El nombre d'or també apareix en expressions com
La raó àuria en les arts
El Vitruvi, de Leonardo da Vinci.
En 1509, Luca Pacioli publicà Divina Proportione, on tractava no només amb les
curiositats matemàtiques del nombre d'or, sinó també amb el seu ús en l'arquitectura.
Això va propiciar l'acceptació de la idea que molts artistes del Renaixement,
introduïen la raó àuria en els seus dissenys. Un bon exemple d'aquests mites és en les
pintures de Leonardo Da Vinci, on, de la mateixa manera que en el Partenó, hom pot
trobar-hi relacions àuries tot i que no hi ha proves fefaents que confirmin que fossin
introduïdes expressament pel mateix autor.
Ja en el segle XX, l'arquitecte suís Le Corbusier va publicar Le Modulor, on tractava,
entre d'altres amb la raó àuria en l'arquitectura i sobretot en l'urbanisme.

13. La raó àuria ha estat usada en construccions més recents com en escales, edificis i
d'altres, com per exemple en la mida estàndard de carnets i targetes de crèdit que
s'aproximen a rectangles d'or. Potser l'edifici més emblemàtic és la seu de l'ONU a
Nova York, un gran prisma amb una de les seves cares en forma de rectangle d'or.
La raó àuria també ha estat usada també en música, tant per la durada de les notes
(per exemple pel compositor hongarès Béla Bartók i el francès Olivier Messiaen), com
per l'organització de les parts d'una peça (per exemple en alguna obra del compositor
mexicà Silvestre Revueltas) o fins i tot en la relació entre les freqüències de noves
notes fora de les escales cromàtiques (per exemple en For Ann (rising), de James
Tenney).
Hi ha gent que creu que la raó àuria té propietats estètiques particulars. D'altres
argumenten que qualsevol proporció compresa entre 1,4 i 1,8 en té.
El nombre d'or en la natura
Curiosament, el nombre d'or el podem trobar també en la naturalesa, de vegades en
llocs insospitats:
• En cada rusc d'abelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles.
• En la disposició dels pètals de les flors (Anomenat Llei de Ludwig en botànica)
• En la relació entre els nervis del tall d'una fulla.
• En la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent
(les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el
nombre d'or), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes
a les altres (es creu que això és degut al fet que el nombre d'or és el nombre
irracional que triga més a convergir i, per tant, l'efecte que crea aquest angle
és precisament el d'evitar que mai les fulles se superposin completament).
• En la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de gira-sol
• En l'espiral dels cargols "nautilus", que són espirals d'or, logarítmiques.
• En les espirals d'una pinya.
• En els cristalls de Pirita dodecaèdrics (piritoedres), que formen pentàgons
perfectes (el pentàgon, com ja hem vist, guarda moltes relacions amb el
nombre auri).
Algunes d'aquestes aparicions poden arribar-se a explicar-se mitjançant les
successions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. D'altres
però, són aparicions més misterioses.
Q.E.D. = quod erat demostrandum ( como se quería demostrar)
CASTELLANO
Número áureo

14. Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas
por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al
segmento más corto b.
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón
dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la
letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que
fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción
entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras
geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de
las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón
áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido
importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos
casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
Contenido:
Definición
Números
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario 1,1001111000110111011...
Decimal 1,6180339887498948482...
Hexadecimal 1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua
Algebraico
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

15. Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos
segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:
Multiplicando ambos lados por x y reordenando:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las
dos soluciones de la ecuación son
La solución positiva es el valor del número áureo.
Historia del número áureo
Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción
en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo no
existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado
conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas.
También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil
obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para
que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben
tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los
elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas
razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan
descubierto el número áureo.[2]
El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c.
300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:
"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la
línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."
Euclides en Los Elementos.
Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de
dos números enteros, es decir es irracional.

16. Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin
embargo, a veces ese le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el
número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:
"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio
origen."
Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin
embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia
y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo
nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números
irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave
a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y
matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la
tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los
cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó
la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia,
con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía
a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la
tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al
icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.
En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione
(La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera
apropiado considerar divino al Número áureo:
1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de
Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con
la Trinidad.
3. La inconmesurabilidad; para Pacioli la inconmesurabilidad del número áureo, y
la inconmesurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la
omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de
la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al
dodecaedro.
En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de
figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral
basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del
Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en
términos grandiosos
“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la
división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos
comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

17. Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este
número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg
Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar
Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes
como éstas la sección dorada."
Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para
la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término
pudo ganar popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para
representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin
embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark
Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego
(Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a
sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo.
Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The
Curves of Live, de Sir Theodore Cook.
El número áureo en las Matemáticas
Propiedades y representaciones
Ángulo de oro
Propiedades algebraicas
• Φ es el único número real positivo tal que:
La expresión anterior es fácil de comprobar:
• Φ posee además las siguientes propiedades:

18. • Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de
potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera
sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: Φn = Φn − 1 + Φn − 2, cualquiera sea n un número real. Este caso
es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias
anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma a1un + k − 1 + a2un + k − 2 + ... + akun,
donde ai es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual
a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k = 2, a1 = 1 y a2 = 1.
Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
Φn = Φn − 2 + 2Φn − 3 + Φn − 4. Aquí k = 4, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2 y a4 = 1.
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula
recurrente de orden 6:
Φn = Φn − 3 + 3Φn − 4 + 3Φn − 5 + Φn − 6
En general:
.
En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el
elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es un
número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias
negativas de Φ, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de Φ
corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos
sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay
un parentesco.
• El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y la
sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el
«emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:

19. .
Representación mediante fracciones continuas
La expresión mediante fracciones continuas es:
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la
más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta.
Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable
mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante
racionales posible.[3]
Representación mediante ecuaciones algebraicas [editar]
El número áureo y la sección áurea son soluciones de las siguientes
ecuaciones:
Representación trigonométrica
Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia
entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras
relaciones similares en el pentagrama.
En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el
número de la Bestia:

20. Lo que puede combinarse en la expresión:
Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los
grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen
para unidades diferentes.
Representación mediante raíces anidadas
Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan
Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical
Monthly, 1917.
El teorema general dice:
La expresión (donde ai = a), es
igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea,
Relación con la serie de Fibonacci
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de
Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila
siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar
que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de
Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo:
; ; y , lo que se acerca considerablemente al
número áureo. Entonces se tiene que:
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, sin
embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el
matemático inglés Robert Simson.
A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet
redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y
por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el

21. enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números
anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
El número áureo en la geometría
El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos
regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o
aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.
El rectángulo áureo de Euclides
Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo
BEFC es asimismo áureo.
El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del
número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su
construcción.>
Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto
resultando evidente que
de donde, finalmente

22. Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último
es asimismo un rectángulo áureo.
En el pentagrama
Pentagrama que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul
y verde, verde y morado.
El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los
pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro
segmento en una razón áurea.
El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco
obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se
conocen como los triángulos áureos.
Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del
pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el
infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a
su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de
una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera
de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que
aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.
El teorema de Ptolomeo y el pentágono

23. Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono
regular.
Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el
cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este
teorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las
diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que
b2 = a2 + ab lo que implica:
Relación con los sólidos platónicos
El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el
icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número
áureo. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse en
coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0,
±1)
Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también se
pueden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ,
0, ±1/φ)
Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un
dodecaedro.
Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden
expresar también en términos del número áureo:
Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas
de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y
con los centros de las caras de un dodecaedro:
El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como
del icosaedro.
El número áureo en la Naturaleza

24. Concha de nautilus en espiral logarítmica
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los
números de Fibonacci:
• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202,
1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de
conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse
(suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a
reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la
fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un
problema matemático puramente independiente de que sean conejos los
involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12
individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez
dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de
1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a
conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer
comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos
términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al
número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente.
Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según
demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de
1912.[4]
• La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la
botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
• La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las
ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando
como unidad la rama superior).
• La distancia entre las espirales de una Piña.
• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de
cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres
espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La
primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo
entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una
misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de
Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen

25. este tipo de espiral de crecimiento.[5] [6] Se debe entender que en toda
consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más
matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante
que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite
matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula
elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande
que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas
matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas
orgánicamente.[7]
• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas
alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia
entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo
constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276
726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de
137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se
considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones
horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la
iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las
estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este
hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado
matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con
tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea,
con una pequeña desviación respecto al valor teórico.
• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales
de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos
como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la
sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión
tiende al número áureo.
• Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras
son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro
irregular no involucran el número áureo.
El número áureo en el ser humano
• La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y
aproximada, así vemos que:
o La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
o La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del
codo a los dedos.
o La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
o La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la
primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la
tercera, si dividimos todo es Φ.
o La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
o Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-
pupilar
o Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de
los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus
dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

26. El número áureo en el Arte
Hombre de Vitruvio
Leonardo da Vinci
• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto
de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible
únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al
triángulo rectángulo , donde 1 representa
proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la
altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o
hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido
defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver
referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae,
libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción
de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra
arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la
práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás
investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores
intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo
se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque

27. se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de
interés geométrico.[8] No obstante, en base a mediciones no es posible elegir
entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a
14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres
de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide
perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo.
Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230
metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia
real que debería existir entre ambas posibilidades.
• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas
(s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la
Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar
las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata
de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí
por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para
caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un
cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos
cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados
"estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea,
expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o
reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y
dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico
elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado
menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.[9] Posteriormente
Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el
frontón del Partenón en un rectángulo de módulo . Por medio de cuatro
diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales.
Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.[10]
Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se
tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El
templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente
a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos
rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se
vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas
hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería
como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente
más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción
compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido
inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores,en ambos
lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos
de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61
segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que
constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo
de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta
forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que
cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea
todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.[11]
• En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el
matemático rumano Matila Ghyka.

28. • En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se
relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y
personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da
Vinci, entre otros.
• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de
Leonardo da Vinci.
• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de
Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores
probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente,
basándose en equilibrios de masas sonoras).
• En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión
desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8,
5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre,
Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de
este número fi (1,618) en la naturaleza.
• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera
temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el
número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las
galaxias y en la concha del nautilus.
• Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas
obras se basan en esta sucesión.
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max
Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección
áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi
(Φ).
El número áureo en el misticismo
En la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y el
horizontal es el número áureo. Así mismo, el palo horizontal divide al vertical en
secciones áureas.
La composición áurea es un método de división ideal de un rectángulo para
componer una imagen basándose en puntos que unen a los lados entre sí. Esta
división es tomada como apoyo compositivo, en la mayor parte de las obras, por los
grandes maestros de la pintura.
Estas direcciones y puntos sirven para organizar armónicamente las formas que
compondrán la imagen, tomando en cuenta las direcciones y puntos generados por el
cruce de estas líneas imaginarias.