Este documento presenta 6 actividades relacionadas con conceptos geométricos como la proporción áurea, la división de segmentos, la construcción de rectángulos y espirales áureos, y la construcción de un pentágono regular utilizando la proporción áurea. Cada actividad incluye pasos detallados e instrucciones para realizar construcciones geométricas y comprobar propiedades matemáticas usando software como Geogebra.

1. LICEO DE NUEVA PALMIRA “Dr. Medulio Pérez Fontana”
MATEMÁTICA II - 3º FISICO MATEMÁTICAS ACTIVIDAD Nº 4
No.1: División de un segmento según la proporción áurea.
1) Dibuja un segmento AB y marca su punto medio como M.
2) Llama D al punto de intersección de la Circunferencia de centro B y radio BM
con la recta perpendicular al segmento que pasa por B.
3) Une con un segmento los puntos A y D y encuentra el punto E de este
segmento que está a la misma distancia del punto D que el punto B. Para ello
dibuja la circunferencia de centro D y radio DB.
4) El punto C de intersección del segmento AB con la circunferencia de centro A
y radio AE es el punto que define la sección áurea de AB. Compruébalo.
No.2: División de un segmento en media y extrema razón. Método de EUCLIDES (Buscar información
sobre EUCLIDES)
En el libro VI de los Elementos, Euclides propone el siguiente procedimiento para dividir un segmento
AB en media y extrema razón.
1) Dibuja un segmento vertical AB y construye el cuadrado ABDE
como muestra la figura.
2) Señala el punto medio del lado AE y llámalo M
3) Encuentra el punto G intersección de la circunferencia de centro
M y radio BM con la prolongación del lado AE.
4) Dibuja el cuadrado AGHC como se indica en la figura. El punto C
es el que produce la sección áurea del segmento AB.
Euclides observó que el rectángulo CBDF y el cuadrado AGHC son
figuras equivalentes, es decir, que tienen la misma área por lo que se
2 a b a
cumple que: ( a b ).b a y así demostró la relación:
a b
5) Comprueba que las superficies de los rectángulos AGHC y CBDF son iguales, definiendo previamente con la
herramienta polígono el rectángulo CBDF.
6) Modifica el segmento AB ¿Son equivalentes el cuadrado de lado AB y el rectángulo de base GR? ¿Por qué?
7) Comprueba que el segmento GE también está dividido según la razón áurea.
La demostración de que el segmento GE está dividido en media y extrema razón por el punto A, se
puede realizar de dos maneras:
a) utilizando el teorema de Pitágoras y considerando que AE =1, se obtiene que la longitud del segmento
GE es el número áureo
a b a GE AE
b) utilizando la relación: , y las propiedades de las proporciones se deduce que:
a b AE GA
Volviendo al Rectángulo áureo que mencioné al principio a los alumnos y que habían visto en Dibujo:
“Los geómetras griegos de la época clásica pensaban que el rectángulo mejor proporcionado es
aquel en el que, al separar un cuadrado, queda otro rectángulo semejante al inicial” al que llamaban
rectángulo áureo.
Se denomina rectángulo áureo o rectángulo de oro al rectángulo en que la base y
la altura están en proporción áurea. Si a y b son los lados, a/b =

2. No. 3: Construcción del rectángulo Áureo
Dado un segmento AB hay que determinar un punto E de manera que
AE AB
, teniendo en cuenta que el punto E es exterior al segmento AB.
AB BE
1) Dibuja un cuadrado ABCD
2) Marca el punto medio del lado AB y llámalo M
3) Dibuja el segmento MC
4) Traza una circunferencia de centro M y radio el segmento MC.
5) Prolonga el lado AB y marca el punto de corte con la circunferencia que
acabas de dibujar llamándolo E.
6) Construye el rectángulo AEFD
7) Si usas Geogebra oculta algunos elementos para que la figura quede más clara y guarda la construcción con el
nombre de RECAUREO
AE AB 5 1
8) Mide los segmentos AE, AB y BE y comprueba que lo que significa que B divide al
AB BE 2
b a se
segmento AE según la proporción áurea. Por tanto, el rectángulo ADFE cumple que y el rectángulo
a ltu ra
es un rectángulo áureo.
No. 4: Propiedad Geométrica del rectángulo áureo
Los rectángulos áureos cumplen la siguiente propiedad: “Un
rectángulo áureo contiene infinitos rectángulos áureos”.
Observa que en el rectángulo áureo AEFD que acabas de construir
aparece un nuevo rectángulo, el BEFC y comprueba que sus
dimensiones también están en proporción áurea.
1) Recupera el archivo RECTAUREO y dibuja un cuadrado de lado CF
en el rectángulo BEFC.
2) Repite el procedimiento utilizado para construir el rectángulo áureo a
partir del cuadrado GHFC que acabas de dibujar.
3) Comprueba con la herramienta Pertenece que el punto E está en la circunferencia de centro M1 y radio M1G y
por tanto el rectángulo BEFC es áureo. De nuevo aparece otro rectángulo el BEHG. De la misma forma se
comprueba que también es áureo. Repitiendo este proceso se puede seguir construyendo rectángulos áureos cada
uno de ellos contenidos en el anterior. Guarda la construcción con el nombre AUREOS
No. 5: La Espiral basada en la sección áurea.
Recupera el archivo AUREOS y aumenta el rectángulo áureo
hasta ocupar toda la zona de trabajo.
Elimina las construcciones auxiliares y sigue construyendo nuevos
rectángulos áureos como indica la siguiente figura:
1) Dibuja la circunferencia de
centro B y radio AB
2) Define P como intersección de la
circunferencia anterior y la
diagonal BD del cuadrado.
3) Construye el arco AC seleccionando la herramienta ARCO y señalando
sucesivamente los puntos A, P y C
4) Oculta la circunferencia, la diagonal y el punto P y modifica el grosor del
arco para mejorar su aspecto.
5) Sigue construyendo arcos de circunferencias cuyos centros son vértices de los cuadrados correspondientes.

3. Ahora les propongo, para seguir investigando, tratar con
triángulos áureos, es decir triángulos isósceles de ángulos de 72° y otro
de 36°.
Al ir trazando las bisectrices de los
ángulos como muestra la figura se
obtienen triángulos semejantes al
primero y de esa manera pueden
mantener la relación 1,618, y
haciendo centro en los puntos
marcados como 1,2,3,4,5 se pueden trazar los arcos de circunferencia para ir
dibujando la espiral.
No. 6: PENTÁGONO REGULAR
El método exacto de construcción está basado en la propiedad de que la diagonal d
d L
de un pentágono regular y su lado L están en proporción áurea, es decir se cumple:
L d L
Los triángulos ABC y BDC son isósceles e iguales por tener los lados iguales, por lo tanto los ángulos en A, B y
C los llamaremos
El triángulo ABP es isósceles, los ángulos y son iguales porque: 2 por ser el ángulo suplementario
del ángulo BPC; 2 ya que abarca un arco correspondiente a dos lados del polígono, por lo tanto AB = AP
=L
Si AP=L, entonces PC= d-L
Los triángulos ABC y BPC son semejantes por tener los ángulos iguales y por
AC CB d L
la proporcionalidad de sus lados se cumple: , es decir:
AB CP L d L
Método exacto de construcción del pentágono regular conocido el lado
utilizado por ECULIDES y está basado en la proporción áurea.
1) Dibuja un segmento AB
2) Desde el extremo B levanta una
perpendicular que corta a la circunferencia de
centro B y radio BA en el punto S.
3) Con centro en M, punto medio del segmento
AB, y radio MS traza la circunferencia que corta
a la prolongación de AB en los puntos T y T’.
Según esta construcción los segmentos AT y
AB están en proporción áurea, por lo que AT es
la diagonal del pentágono. Por la misma razón
el segmento BT’ también representas ala
diagonal del pentágono.
4) Teniendo en cuenta que las longitudes AT y
BT’ coinciden con la diagonal del pentágono se

4. hallan los restantes vértices del polígono regular. Punto C: se obtiene como punto de corte de la circunferencia
de centro A y radio AT con la de centro B y radio AB. Punto D: es el punto de intersección de las
circunferencias de centros A y B y radios AT y BT’ respectivamente. Punto E: se obtiene como la intersección
de la circunferencia de centro A y radio AB con la de centro B y radio BT’.
5) Une A, B, C, D y E con la opción Polígono.
6) Comprueba que la construcción corresponde a un polígono regular, midiendo sus lados y sus ángulos.
7) Guarda la construcción como PENTAGONO