El documento presenta dos demostraciones del teorema de Pitágoras realizadas por Henry Perigal en 1874. La primera demostración divide el cuadrado de la hipotenusa en cuatro partes iguales y muestra que cada parte es igual al cuadrado de uno de los catetos o a la mitad del cuadrado de la hipotenusa. La segunda demostración convierte dos cuadrados, uno dentro del otro, en un solo cuadrado para mostrar la equivalencia de las áreas.

2. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
SESIÓN Nº 18
CAPACIDAD:
Determina las relaciones métricas entre los elementos del
rectángulo.
Aplica el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas
geométricos
I. ACTIVIDADES DE INICIO:
El teorema de Pitágoras
Henry Perigal (1801-1898)
El británico Henry Perigal dedicó muchos años de su larga vida a la demostración
de teoremas geométricos utilizando la técnica de disección.
Ofrecemos dos de sus demostraciones del “teorema de los tres cuadrados”,
publicadas en The Messenger of Mathematics (1874).
Refiriéndose a la primera de ellas, Perigal se expresaba en los siguientes
términos:
(...) fue descubierta en 1830 pero impresa en 1835, con una demostración
euclidea de Mr. William Godward, para la distribución privada entre mis amigos.
Hasta la fecha no había sido publicada, que yo sepa, excepto como un diagrama
en mi tarjeta de visita.
La primera demostración “por traslación de las partes componentes”
Por el centro del cuadrado de la base [cateto mayor] se dibujan dos rectas: una de
ellas paralela a la hipotenusa, y la otra perpendicular a la hipotenusa. Por los
puntos medios de los cuatro lados del cuadrado de la hipotenusa se trazan cuatro
líneas paralelas a los lados [catetos] del triángulo, tal como se muestra en la figura.
Como una de las líneas que corta al cuadrado de la base por su centro es paralela a
la hipotenusa y está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado] y
como la otra línea, que corta a la anterior perpendicularmente, también está
comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado], entonces cada uno de los
cuatro segmentos es la mitad del lado del cuadrado de la hipotenusa, que queda
dividido, por tanto, en cuatro cuartos simétricos [que encierran un cuadrilátero].
Los lados del cuadrilátero I son paralelos a los lados correspondientes del cuadrilátero i; además, dos de los lados de
cada uno de dichos cuadriláteros son la mitad de la hipotenusa. Por tanto, los dos cuadriláteros (I e i) tienen el mismo
perímetro y la misma área.
De forma similar se puede probar que P y L, E y A, R y G son iguales y semejantes. Además, todos tienen el mismo
perímetro y la misma área.
El lado mayor de E es igual y paralelo al lado mayor de A, que es paralelo e igual a la perpendicular [cateto menor]
más el lado menor de I. Quitando el lado menor de I del lado mayor de E queda el lado del cuadrilátero H. Dicho
cuadrilátero, al ser rectangular y tener los cuatro lados iguales, es un cuadrado igual al cuadrado de la perpendicular
[cateto menor] del triángulo rectángulo.
Por consiguiente, las cinco componentes del cuadrado de la hipotenusa son iguales y semejantes a las partes
componentes del cuadrado de la base y al cuadrado de la perpendicular [cateto menor]. Lo que demuestra que el
cuadrado sobre la hipotenusa es equivalente a las áreas de los cuadrados sobre los catetos.
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3. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
La segunda demostración: dos cuadrados que se convierten en uno
Construcción.- Coloca los dos cuadrados, uno al lado del otro, con sus bases
sobre una misma línea recta (o uno sobre otro con dos lados verticales sobre una
misma recta, como en la figura).
Biseca la suma de sus bases y la diferencia de sus lados. Por estos dos puntos de
división dibuja dos perpendiculares que pasen por el centro [del cuadrado mayor]
y acaben en los lados del cuadrado mayor que, por tanto, queda dividido en
cuatro partes iguales.
Prolonga estas dos líneas la mitad de su longitud más allá de la base y el lado del
cuadrado próximo al cuadrado pequeño y dibuja [por lo extremos de las
prolongaciones] dos líneas más de la misma longitud y perpendiculares a ellas.
Así se forma otro cuadrado que contiene al cuadrado pequeño dentro de cuatro
cuadriláteros iguales y semejantes a los cuatro cuartos del cuadrado mayor. Por
tanto, el nuevo cuadrado es equivalente a los dos cuadrados dados.
II. CONCEPTOS PRELIMINARES
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO.-Es el pie de la DE UN SEGMENTO PARALELO A LA RECTA
perpendicular trazada del punto a dicha recta.
.P A B
pie L
…….: es la proyección ortogonal de AB
L DE UN SEGMENTO OBLICUO A LA RECTA
P’ A
P’: es el punto proyectado
L : es la recta de proyección C
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SEGMENTO: B
DE UN SEGMENTO PERPENDICULAR A LA RECTA
A L
D
….. : Es la proyección de AB
B
….. : Es la proyección de DC
L
……: es la proyección ortogonal de AB
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea el rectángulo ABC, recto en C. DONDE:
C
a y b : longitudes de los catetos BC y CA
c : longitud de la hipotenusa
h : altura relativa a la hipotenusa
a h b m : ………………………………………….
n : …………………………………………
B m H n A
---------------------------- c ---------------------------
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4. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa, en un triángulo rectángulo.
TEOREMA 1.- En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa
Sea el rectángulo ABC, recto en C. Se cumple:
C a2 m.c b2
DEMOSTRACIÓN
BHC ABC CHA ABC
a h b
B m H n A
-------------------------- c ----------------------------
TEOREMA 2 (TEOREMA DE PITÁGORAS).- En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de su hipotenusa
Sea el rectángulo ABC, recto en C. Se cumple:
C a2 b2 c2
DEMOSTRACIÓN
a h b Partimos de las expresiones demostradas en el teorema
1(sumando miembro a miembro).
B m H n A
------------------------ c ---------------------------
TEOREMA 3.- En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de
las proyecciones de los catetos sobre la misma.
Sea el rectángulo ABC, recto en C. Se cumple:
C h2 m.n
DEMOSTRACIÓN
a h b BHC CHA
B m H n A
------------------------ c ---------------------------
TEOREMA 4.- En todo triángulo rectángulo, el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su
altura relativa.
Sea el rectángulo ABC, recto en C. Se cumple:
C a.b h.c
DEMOSTRACIÓN
a h b Multiplicamos miembro a miembro las expresiones
del T1
Reemplazamos el T3
B m H n A
------------------------ c ---------------------------
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5. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
TEOREMA 5.- En todo triángulo rectángulo, la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa
del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa
Sea el rectángulo ABC, recto en C. Se cumple:
C
1 1 1
a h b
a2 b2 h2
B m H n A
------------------------------- c ---------------------------------
En una semicircunferencia: En circunferencias tangentes exteriores:
r R
h h² = m.n
x = 2 R.r
m n x
IV. APLICANDO LO APRENDIDO:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
01) Hallar “x” 05) Hallar “x”
B 2
4
x
3
A C
x
12 4
Rpta.:
02) Hallar “x”
Rpta.:
06) Hallar “x”
x
3 13 x 2
5
Rpta.:
2
Rpta.: 07) Hallar “x”
03) Hallar “x”
10
4
3
x
x
5
5
Rpta.: Rpta.:
04) Hallar “x” 08) Hallar “x”
x
5
4 x 4
1
6
4 Rpta.:
Rpta.:
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6. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
09) Hallar “x” 15) La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9,
calcular el radio de le rueda.
x 15
2x
Rpta.:
2 2
10) Si (AB) + (FG) = 8; calcular BF (las dos figuras son cuadrados)
B C 15
Rpta.:
16) Si ABCD es un cuadrado BE = 1 y FC = 9. calcular EF. F punto de
E F tangencia.
B E C
A D G
F
Rpta.:
11) Calcular “R” si AM = 3 y AB = 9 A D
Rpta.:
17) En la figura, se pide la proyección de AB sobre la recta “L”
B
R
M
17
A B A
18
Rpta.: 10
12) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura
BH y la bisectriz interior AQ , los cuales se cortan en “P”, L
calcular BP, si AP = 7 y PQ = 2
Rpta.:
Rpta.: 18) La hipotenusa de un triángulo rectángulo excede en 1 cm al
13) Calcular MN ; si R = 3r; r = 1 y AB = 6 cateto mayor; si el cateto menor mide 9cm, hallar el área de la
región limitada por otro triángulo rectángulo.
Rpta.:
19) Calcular “AP”, si AQ = 4
A P
Q
N
M
A B
O
B
Rpta.:
20) En la figura BM = MC = 4 y BN es mediana, calcular AB.
Rpta.: B
14) En la figura, hallar DH , si AD = 3 y el diámetro DC = 4
M
B
A C
N
A D HO C Rpta.:
Rpta.:
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7. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
V. PARA REFORZAR EN CASA:
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
NIVEL I
01) Hallar “x” 08) Hallar “x”
5 12 x+8
x 20
x
13 60 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
a) 1 b) 2 c) d) 5 e)
10 13 09) Hallar “x”
02) Hallar “x” 7
5 x
6
x+9
3
x
a) 3 d) 6 c) 9 d) 11 c) 13 20
03) Hallar “x”
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
10) Las diagonales de un rombo mide 12cm y 16cm el lado del rombo
12 mide:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
11) Hallar “H”, si AP = 4, PC = 9
B
x
20
a) 11 d) 12 c) 12,8 d) 13 c) 14 H
04) Hallar “x”
9 10
x A P C
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
12) Calcular la altura del trapecio ABCD (BC // AD) circunscrito a una
3x
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11 circunferencia de centro “O”. Si OC = 15 y OD = 20
05) Hallar “x” a) 22 b) 25 c) 23 d) 26 e) 24
13) Calcular la altura BH del triángulo rectángulo ABC. Si AB = 6 y
BC = 8
x+6 B
x x+7
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9
06) Hallar “x”
A H C
3 a) 8,4 b) 4,8 c) 2,8 d) 2,4 e) 4,7
14) Si el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 10.
6
Hallar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma
circunferencia.
a) 15 6 b) 12 6 c) 32 d) 35 e) 36
AB
x 15) En la figura, PR 13 y RC . Calcular la medida del
6
a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 4 3 e) 5 3 perímetro del cuadrado ABCD
07) Hallar “x”
11 x
D C
R
x+5 P
A B
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25 a) 12 b) 16 c) 18 d) 24 e) 36
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8. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
NIVEL II
1. Una circunferencia es tangente a dos lados adyacentes de 5. En la figura, el radio de la semicircunferencia mide 8m y
un cuadrado y divide a cada uno de los otros dos lados en PB = 1m, calcular AM .
dos segmentos cuyas longitudes son 2m y 23m, calcular la
longitud en m del radio de la circunferencia.
a) 12 b) 15 c) 10 a) 10m P
d) 17 e) N.A. b) 9m
c) 12m M
2. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado tiene una longitud d) 8m
“L”. Se traza una circunferencia que pasa por los vértices e) N.A.
B y C, tangente al lado AD . Calcular la longitud del radio A C
de la circunferencia. O
a) 3L/5 b) 6L/5 c) 5L/6 6. En la figura, OA = PQ =12m y OP = 4m, calcular la longitud
d) 3L/4 e) N.A. EF .
a) 3m F
3. Se tiene un triángulo ABC donde se traza la mediana CM y b) 4m
la altura BH que se cortan en P. Si MP = 2PC = 2m y c) 2,5m E
AC = 2PB, calcular el valor de PB. d) 5m P Q
a) 5m b) 6m c) 3m e) N. A.
d) 2m e) N.A. B O A
4. En la figura, OM = a; AO = OC = R y 3a 2 R 2 16m2 , 7. En la figura, los radios de las circunferencias tangentes
miden r =5m; R = 13m, calcular BC si AB = 8m y CD = 10m.
calcular el valor de AM .
a) 9 3 1m
a) 6m
b) 4m B b) 9 2 1m r R
c) 3m M c) 6 3 1m
d) 2m
e) N.A. d) 8 3 1m A BC D
A O C e) NA
I. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 MATEMÁTICA CUARTO….ROJAS GASCO Gustavo
 MATEMÁTICA CUARTO….COVEÑAS NAQUICHE Manuel
 MATEMÁTICA CUARTO…. ROJAS PEÓMAPE Alfonso.
 MATEMÁTICA CUARTO…. Editorial SANTILLANA
 GEOMETERÍA…PROYECTO INGENIO – 2007
 GEOMETERÍA …COLECCIÓN RACSO – 2005
 GEOMETERÍA …ADUNI – 2005
 GEOMETERÍA...EDITORIAL SAN MARCOS -2007
EL CUERPO HUMANO NO ES MÁS QUE APARIENCIA Y ESCONDE NUESTRA REALIDAD,
LA REALIDAD ES EL ALMA
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9. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
SESIÓN Nº 19
CAPACIDAD:
Aplica correctamente los teoremas fundamentales de las
relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos.
Resuelve ejercicios y problemas sobre triángulos oblicuángulos,
aplicando las relaciones métricas
I. ACTIVIDADES DE INICIO:
Debido a la forma muy variada que presenta el relieve de un terreno en la corteza terrestre. Muchas veces es un
problema realizar la medición de dicho terreno, ya que se encuentran en lugares inaccesibles. Por lo cual con el
transcurrir del tiempo se ha ido encontrando diferentes tipos de soluciones, tal es asi dando muy buenos resultados
para el avance técnico y científico como la Topografía, la Ingeniería Civil, la Arquitectura, etc.
Por ejemplo: Los egipcios sabían como trazar figuras geométricas y perpendiculares en el terreno, usando solamente
una cuerda.
B
A
Trenzando la cuerda y haciendo centro en A. se traza un arco, luego cambiando de posición y haciendo centro en
B se traza otro arco hasta que se intersecten los dos arcos en P y P’ y al unir los extremos de las intersecciones se
habrá formado la perpendicular como se indica en la figura.
P’
A B
P’
II. CONCEPTOS PRELIMINARES
RECUERDO
La clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos, son:
Si sus ángulos son agudos (grafícalo) Si uno de sus ángulos es obtuso Si uno de sus ángulos es recto
(grafícalo) (grafícalo)
A los dos primeros triángulos se llaman triángulos oblicuángulos
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10. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
COMO RECONOCER UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO:
En todo triángulo obtusángulo se cumplen las siguientes propiedades
1º PROPIEDAD 2º PROPIEDAD
En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se
opone a un ángulo agudo, siempre es menor que la suma de los opone a un ángulo obtuso, siempre es mayor que la suma de
cuadrados de los otros dos. los cuadrados de los otros dos.
Si 90º a2 b2 c2 Si 90º a2 b2 c2
b
a b a
c c
Determinar si los triángulos siguientes son acutángulos u obtusángulos
1). ABC; AB = 3; BC = 5; AC = 6 2). MNP; MN = 5;NP = 7; MP = 8 3). RST; RS = 6;ST = 8; RT = 10
PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO
En el triángulo es importante conocer la proyección de - En el triángulo obtusángulo: En el triángulo
un lado sobre otro, para ello siempre se traza una obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado
altura. sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se
- En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo, debe prolongar este último.
la proyección de un lado sobre otro esta contenido en
este último.
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11. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO:
TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1 TEOREMA 2
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un “En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo
obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el
ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los
doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre
otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la aquel”
proyección del otro sobre aquel”.
Si α > 90º
Si: α < 90º
Ejemplo de aplicación
Los lados de un triángulo ABC miden AB = 6; BC = 4; AC = 3
Calcular
a). La proyección de BC sobre AB d). La proyección de AB sobre AC
b). La proyección de AC sobre AB
e). La proyección de AC sobre BC
c). La proyección de BC sobre AC
TEOREMA DE LA MEDIANA (DE APOLONIO)
“En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales B
a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la
mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana”.
c a
Así en la figura:
x
2
Dado el ABC : 2 2 2 b A M C
2x a c b b
BM mediana 2
2 2
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA
En todo triángulo, se cumple lo siguiente:
C
Si “x” es la proyección de la mediana CM , entonces
a b
B P M A
x
c
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12. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
OTROS TEOREMAS
Teorema de la bisectriz interior a b c
Teorema de Herón: Si p
Dado el ABC: 2
B
BD bisectriz interior
b a 2
x2 ac mn
h h p(p - a)(p - b)(p - c)
c a c
x
c
a c bc ab
A D C ; m n
m n n m a c a c Teorema de Stewart
b x².c = a²m + b2n – c.m.n
Teorema de la bisectriz exterior
b x a
Dado el ∆ABC:
B BD bisectriz exterior m n
c
c
x
a Teorema de Euler
b b
A C n D m²+n² = a² + b² + c²+d² + 4x²
m m n
a x c
c m
2
x mn ac a n d
IV. APLICANDO LO APRENDIDO
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
01) Hallar “x” 04) Hallar “x”
x
7
6
12 6
x 10
5
Rpta.:
05) Hallar “x”
Rpta.:
2
02) Hallar “x”
x
3
6 5
Rpta.:
3
06) Hallar “x”
6
4 x 6
Rpta.:
03) Hallar “x” x
10
Rpta.:
07) Hallar “x”
5
x
10
7
2 4
x 5
Rpta.: Rpta.:
Página 7

13. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
08) Hallar “x” 13) Según el gráfico AB = 13, BC = 15 y AC = 14. Calcular “MN” (M,
N, L son puntos de tangencia)
x B
3 2 N
M
A L C
2 3 Rpta.:
Rpta.: 14) Calcular MN. Si ABCD es un trapecio AB = 13, BC = 6, CD = 15,
09) Hallar “x” AD = 20, BM = MC; AN = ND.
B M C
6
x
A N D
2 1 Rpta.:
Rpta.: 15) Calcular BD si, AB = 6, AC = 7, BC = 8; “BD” es bisectriz
10) Hallar “x” interior.
B
8
3
x
A D C
Rpta.:
16) Calcular BD, si AB = 6, AD = 3, DC = 9, BC = 10
10 B
Rpta.:
11) Hallar “x”
10
2 33
A D C
Rpta.:
17) Calcular la medida del lado de un rombo ABCD si AM = 9,
X MD = 13, siendo “M” punto medio de BC.
16
Rpta.:
12) En la figura AT = PB = BC = 6. Calcular “AC” (P y T son puntos Rpta.:
de tangencia) 18) Los lados de un triángulo miden 13, 14, 15 ¿Cuánto mide la
T altura relativa al lado medio?
A
Rpta.:
19) En un triángulo ABC; AB = 3, BC = 5, AC = 6. Calcular la
C longitud de la proyección de AB sobre AC
Rpta.:
P
20) En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 97 , C = 6. Se traza la
medianaBM . Calcular la longitud de la proyección de AM
sobre BM .
Rpta.:
B
Rpta.:
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14. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
V. PARA REFORZAR EN CASA.
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
01) Hallar “x” 07) Hallar “x”
6
6 3
x 13
12
x
10
a) 61 b) 80 c) 30 d) 5 e) 191
11 2 8 4 5 3 1
a) b) c) d) e)
02) BM es mediana del triángulo ABC, hallar “x” 3 5 4 2 2
B 08) Hallar “x”
13
5 6
7
A h M C
x
a) 1,2 b) 3,2 c) 4,6 d) 4,5 e) 4,8
03) Hallar “x” 4
x
a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 9
13 09) En un triángulo ACD, AC = 7; CD = 3; AD = 5. Calcular la longitud
10
de la proyección de AD
a) 2,5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 6,5
x x 10) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 7; 5 y 10
respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado
a) 5 b) 21 c) 48 d) 27 e) 23 medio sobre el lado mayor.
04) Hallar “x”
a) 3,8 b) 6,2 c) 4,5 d) 6 e) 5
11) En un triángulo ABC; AB = 7, BC = 5, AC = 3. Calcular la longitud de
12 la proyección de BC . Sobre AC .
16 11 a) 2,2 b) 3 c) 2 d) 1,5 e) 2,5
x 12) En un triángulo isósceles ABC. AB = 3, AC = 6. Calcular la
longitud de la proyección de AB sobre BC
a) 0,75 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 1,2
a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 8
05) Hallar “x” 13) En un triángulo ABC, AB = 10, BC = 6, la proyección de AB sobre
AC es el triple que la proyección de BC sobre AC , calcular
x
la medida de AC
a) 6 2 b) 10 c) 12 d) 8 2 e) 9 2
8
7 14) Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6. calcular la longitud de la
mediana relativa al lado menor
13 53 57
a) 3,5 b) 2,5 c) 1,5 d) 4,5 e) 6,5 a) b) 4 c) 5 d) e) 30
2 2
06) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 8; 9 y 5 metros
15) E n un triángulo PQR; PQ = 13, QR = 5, PR = 16. calcular la
respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado
medio sobre el lado menor. longitud de la proyección de la mediana QM sobre PR
a) 1m b) 0,8m c) 1,2m d) 0,5m e) 2m a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 6 e) 5,5
LO QUE EN LA JUVENTUD SE APRENDE, TODA LA VIDA DURA
Página 9

15. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
SESIÓN Nº 20
CAPACIDAD:
Identifica las posiciones relativas de dos circunferencias
Aplica los teoremas sobre las relaciones métricas en la
circunferencia en la resolución de problemas geométricos.
I. ACTIVIDADES DE INICIO:
TYCHO
Tycho (o Tyge) Brahe nació el 14 de diciembre de 1546 en Knudstrup,
Escania; hoy Suecia pero entonces perteneciente a Dinamarca. Hijo del
gobernador del castillo de Helsingborg, fue, apadrinado por su tío Joergen. El
tío Joergen era un gran terrateniente y vicealmirante que había pedido a su
hermano que cuando tuviera un hijo quería apadrinarlo y adoptarlo hasta el
punto de considerar como hijo suyo. El gobernador le prometió a su hermano
que así sería pero un incidente vino a postergar la promesa. La madre de
Brahe dio luz a gemelos, pero uno de ellos murió, de modo que como era de
esperar, la situación cambió, y no fue hasta que Brahe tuvo un hermano
cuando pasó a ser adoptado por su influyente y acaudalado tío.
En 1559 fue enviado a la Universidad de Copenhague para iniciar su
educación. Estudió primeramente Derecho y Filosofía como correspondía a su
condición nobiliaria y como procedía para acceder a sus futuros cargos
estatales. Todo iba bien hasta que un suceso vino a cambiarle su orientación.
Tycho Brahe
El 21 de agosto de 1560 Tycho Brahe observó un eclipse de Sol que le dejó
completamente admirado. El muchacho, que no había cumplido los catorce años, acababa de sentir que los sucesos
astronómicos le habían despertado un tremendo interés. Adquirió libros sobre Astronomía y leyó apasionadamente a
Tolomeo. No obstante, los estudios había que continuarlos y dos años más tarde fue enviado por su tío a estudiar a la
Universidad de Leipzig.
II. CONCEPTOS PRELIMINARES
1). CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- Son aquellas en las
cuales; cada punto de una es exterior de la otra. 3). CIRCUNFERECIAS TANGENTES INTERIORES.- Son aquellas
que tienen un punto común (punto de tangencia) y los
demás puntos de una de ellas son interiores de la otra.
R r
O ------------------------------O’
d
R
O -----O’------- d R r
d R r d r
2). CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Son
aquellas que tienen un punto común (punto de tangencia)
y los demás puntos de una de ellas son exteriores de la 4). CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- Son aquellas cuando una
otra. de ellas se encuentra en el interior de la otra.
R r d
O ------------------------O’ O --- O’ d R r
d r
R
d R r
Página 10

16. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
5). CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Dos circunferencias son 7). CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- si dichas
secantes cuando tienen dos puntos comunes. circunferencias se intersectan y sus tangentes también se
intersectan en el mismo punto formando un ángulo recto.
Las tangentres al intersectarse pasan por los centros de las
circunferencias.
R
O -------------------- O’
D r
(R r) d (R r) R r
O ---------------------------- O’
6). CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS.- Son aquellas que d
tiene el mismo centro.
R
d2 R2 r2
O
r d 0
III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.
En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se cumple que: 3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE
el producto de las partes de la primera cuerda es igual al producto de Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una secante
las partes de la segunda. a una misma circunferencia, se cumple que: “la tangente al
cuadrado es igual a la secante por su parte externa”.
Si AB y CD se cortan en P determinan los segmentos:
En la figura PA es la tangente y PC la secante
En AB : AP = a; PB = b A D
En CD : CP = c; PD = d a d
Si: PA = T; PC = a; PB = b
P
Luego a.b = c.d . c b Luego
T2 = a.b .
C B
2. TEOREMA DE LOS SECANTES
Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una misma
circunferencia se cumple que: “la primera secante por su parte
externa es igual a la segunda, también por su parte externa”. A
T
En la figura se trazan:
Se han trazado desde P, las secantes PA y PC P
b
PA = a ; PB = b
C B
PC = d ; PD = c. a
Luego a.b = c.d .
A a
B
b
P
c
C D
d
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17. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
IV. APLICANDO LO APRENDIDO
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
01) AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar “CP” 08) Hallar “x”
C x
B
4
P
A
5
D Rpta.:
Rpta.: 09) Hallar “x”
02) EF = 6, AB = 4, hallar AE 12
F
x
E 7
A
B
Rpta.:
Rpta.:
10) En la figura, calcular “CT”, si AD = 4; CB = 9, “O” es centro y “T”
03) Calcular “OD”si (AD)(DB) = 200 “O” es centro.
A es punto de tangencia
C
D
15 B D T
O
A O B
Rpta.: Rpta.:
04) La distancia mínima entre dos circunferencias exteriores es 8 y 11) En la figura RS es una tangente, RU y RZ , son secantes, hallar
la máxima es 20. calcular la distancia entre sus centros.
“RU”
Rpta.: S
05) AQ = 2; PQ = 4; calcular “r” 6
P 5
U R
A B
Q
r
Z
Rpta.: Rpta.:
06) Hallar “x” 12) Del gráfico AM = MC. Calcular “BQ” siendo AP = 4, PB = 5 y QC = 3
M B
x
N
8
P
Q
2
A C
M
Rpta.: Rpta.:
07) Hallar “x”, AB = 2, BC = 8, DC = 16 13) En la figura, hallar “x”
8
5
A
16
B
C 6
x
x
D E
Rpta.:
Rpta.:
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18. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
14) En la figura mostrada BC = 2, CD = 1, DE = 3. Hallar AB 18) Calcular “r”, si PQ = 1, QR = 4 y OR = 6
E
D
B
C r
O
A
P R
Q
Rpta.:
15) Calcular ”AB” si: BC = 5, CD = 15
D Rpta.:
A B C 19) Calcular “r”
10
4
Rpta.:
16) En la figura mostrada, calcular “EB”, si AM = ME = ED = 3 y r
CM = 2
C
Rpta.:
A M B 20) Calcular “AB”, si BC = 3, CD = 5, DE = 4
E A B
C
D D
Rpta.:
17) Si “Q” es punto de tangencia MN = 9, MH = 16, 5 EP = PH , calcular
E
“PQ”
Rpta.:
M H
N
Q
E
P
Rpta.:
V. PROBLEMAS PARA LA CASA
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
01) Calcular “AB”, si AP = x, PB = x + 4, CP = x + 2, 03) En la figura PB = 5, BC = 3 PB , hallar “PA”
PD = x + 1 A
A D
P
P B
C C
B
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
02) En la figura mostrada hallar el radio “r” si: DC = 7, PC = 12, 04) Si P, Q, S; son puntos de tangencia. Calcular “PS”
PA = 2
C
P Q S
D
6 4
P B
A O 16
r
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
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19. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
05) De la figura el radio “R” 11) En la figura calcular “PT”, si BC = 2 y AB = 1
6 T
P
3
A
B
C
a) 4,5 b) 6,5 c) 5,5 d) 7,5 e) 9,5 a) 5 b) 2 c) 4 d) 3 e) 1
06) En la figura PB 2AB ; si BQ = 3, hallar “BC” 12) En la figura mostrada, hallar “BC”, si CE = 4, ED = 2, al
A Q triángulo ACD es equilátero y “A” es punto de tangencia.
B
B
C
C E
P
a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8
07) Una cuerda de 24 de longitud se encuentra a 5 del centro A D
de una circunferencia. Calcular el diámetro de dicha a) 6 b) 9 c) 8 d) 12 e) 5
circunferencia.
13) Si AT = 4 y BR = 2. calcular “TB” (T punto de tangencia)
A
a) 17 b) 40 c) 32 d) 26 e) 24
08) Calcular “CD”, si AD = 9, DB = 4 P
C
T
A O D B B Q
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
R
09) Una cuerda mide 6 y su flecha correspondiente mide 1.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
¿Cuántos mide el radio de la circunferencia?
14) En una circunferencia de centro “O” y de radio 6. dos
cuerdas AB y CD se cortan en I, si AI = 5 y OI = 4. Hallar IB
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
10) En la figura PM = 12, PA = 8. Hallar AB
M
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15) Se tiene una circunferencia de centro “O” cuyo radio mide
P
15. se traza la cuerda AB y sobre ella se elige un punto
“M” tal que AM x MB = 200. Calcular “OM”
A a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10
B
a) 14 b) 12 c) 8 d) 9 e) 10
MISELANEA SOBRE RELACIONES MÉTRICAS
NIVEL I
1. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos 3. En un rectángulo ABCD: AB = 6 cm BC = 8 cm, calcular la longitud
sobre la hipotenusa están en la relación 2:1. El cateto de la proyección del lado BC sobre la diagonal AC .
mayor mide 4 6 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
a) 5,4 b) 6,4 c) 5 d) 6 e) 3,6
a) 10 cm b) 12 cm c) 9 cm d) 11 cm e) 13 cm
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10cm y 4. Sobre el lado BC de un rectángulo ABCD se toma un
uno de los catetos mide 8 cm. ¿Cuánto mide la punto P tal que el ángulo APD es recto. SI BP = 3, PC = 12.
proyección del cateto menor sobre la hipotenusa? Hallar el perímetro de dicho rectángulo.
a) 6,4 b) 2,8 c) 3 d) 3,6 e) 5 a) 40 b) 44 c) 42 d) 46 e) 38
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20. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden a y b, si: 9. En la figura PQR es un triángulo equilátero y ABCD es un
1 1 1 cuadrado si PC = 10. Hallar el área del cuadrado.
Q
a2 b2 144
Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
B C
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
6. En la figura ABCD es un cuadrado. Hallar “x”.
B C
P A D R
7 300
a) 2 2 b) 17 c) 400 3 d) e) 1
x 4 7 7 2 3
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB = 8, BC = 6; se
traza la mediana CM ; calcular la longitud de la
A D proyección de CM sobre AC .
a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6 a) 1,2 b) 3,4 c) 5 d) 6,8 e) 7,9
7. SI ABCD es un cuadrado, hallar RH. 11. Las bases de un trapecio isósceles miden 2 y 8 m
respectivamente, y cada lado no paralelo mide 6 m.
B Q C
Hallar la longitud de una de las diagonales.
4 a) 26 b) 8 c) 7 d) 2 13 e) 6
P 12. En el interior de un cuadrado ABCD se toma un punto P,
H tal que la mediana del ángulo APD = 90, AP = 4, PD = 3.
Calcular la longitud de la proyección de BP sobre AP .
A D
R a) 1 b) 2 c) 3 d) 0,5 e) 2
13. Los lados de un triángulo miden 7,6 y 97 . Calcular la
a) 3,6 b) 4 c) 4,8 d) 5,2 e) NA longitud de la mediana relativa al menor lado.
8. En la figura AB = 3, BC = 4, AD = 7, hallar “x”. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
H
14. Se tiene un cuadrado abad sobre CD y AD se toman
x
los puntos P y Q respectivamente tal que AP = 8, PQ = 4,
B C AQ = 6. Una de las diagonales del cuadrado mide:
a) 7 2 b) 9 c) 8,5 d) 8 2 e) 9 2
A D 15. Las bases de un trapecio miden 2 y 12 metros
respectivamente. Hallar la altura del trapecio.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2
2 3 2 3 a) 5 b) 4 c) 4,8 d) 5,2 e) 5,6
NIVEL II
01. En el triángulo ABC hallar BC sabiendo que: BE = 3, AE = 4, 03. Si ABCD es un cuadrado y AB = 4. Calcular QC.
BP = 2 y ME = PN. B B C
N
R Q
M P
E
A C
A D
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 a) 2 5 b) 5 c) 5 d) 2 5 e) 3 5
02. Calcular el radio R de la circunferencia de centro “O” 5 5
AD = DO ED = 4 y CD = 8 C 04. En la figura mostrada BP = 7, BQ = 13 y QC = 2, hallar PA.
E D B
A B
0
P Q
A T C
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Página 15

21. I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
05. Siendo que AB y EF son tangentes tales que BC = ED siendo 10. Una circunferencia tiene 10 cm de radio. Se traza una
AB = 7. Hallar EF. cuerda AB sobre la cual se ubica un punto “M” de modo que
los segmentos determinados sobre dicha cuerda miden 5 y
12 cm.
A Calcular la distancia del punto “M” al centro de la
F
circunferencia.
a) 10 b) 2 10 c) 5 d) 2 5 e) 4 5
B C D E 11. Si AB = 3, BC = EF = 9 y AD = 2. Calcular FG
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 C
06. Si AD = 4 y CB = 9 calcular CT (T punto de tangencia)
E F
C B
T
A D
D G
A 0 B a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 12. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2 5, la
07. Calcular BC si AB = 3 y CD = 4 circunferencia inscrita determina en el lado AD el punto “P”.
A
Si BP interseca a la circunferencia en el punto “R”.
Calcular BR.
a) 0,25 b) 0,5 c) 1 d) 1,5 e) 2
B 13. PQ = QR, SR = 1, hallar US
P
Q
D U
R R
a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4 S
08. Si PB = 18, AB = 12, PC = 9 Calcular PD
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
A P 14. Si AB y AC son diámetros DE = 3 BC = 4 AO = OC = R. Hallar
B “R”. D
C E
R
D A 0 B C
R R
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 a) 3 b) 2 c) 4,5 d) 5,5 e) 6
9. Calcular BC si BF = 3, EF = 9 y ED = 16.
15. Si “O” es centro OB = diámetro y OB = 6. Calcula PT.
B C A
F
E T
A P
D
0 B
a) 19 b) 25 c) 26 d) 28 e) 34 a)2 b)1 c)2,5 d)4,5 e)NA
SI ERES JOVEN Y TIENES DE SOBRA AMIGOS Y DE
TUS RIQUEZAS NO TE MUESTRAS AVARO,
NO CUENTES CUANTOS AMIGOS TIENES; ESPERA A
SER VIEJO Y POBRE
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