(i) El documento explica los conceptos básicos de series infinitas, incluyendo definiciones de convergencia, divergencia y tipos de convergencia. También introduce series de potencias y series de Taylor. (ii) Se proporcionan ejemplos de aplicación de series de Taylor para calcular integrales y límites. (iii) Finalmente, se explica que una función es analítica si puede representarse mediante una serie de potencias y que esta representación tiene ventajas para derivar, integrar y aproximar funciones.

1. SERIES
. .
CB
---
CÁLCULO II
Mirna Cuautle Aguilar

2. SERIES
( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−=+−++−+
1
1
11111
n
n

∑
∞
=
=++++
1 2
1
16
1
8
1
4
1
2
1
n
n

( )∑
∞
=
=++++
1
cos4cos43cos32cos2cos
n
nn πππππ 
∑
∞
=
−=++++
1
13210
n
n
∑
∞
=
=++++
1 10
3
10000
3
1000
3
100
3
10
3
n
n


3. SERIES
Si intentamos sumar los términos de una sucesión infinita
obtenemos una expresión de la forma la cual se
llama serie infinita, o sólo serie, y se representa con el símbolo
o
Definición: Dada una serie se denotará
mediante el símbolo a su n-ésima suma parcial:
{ }∞
=1nna
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++ naaaa 321
∑
∞
=1n
na
∑ na
⋅⋅⋅+++=∑
∞
=
321
1
aaaa
n
n
ns
∑=
+⋅⋅⋅++==
n
i
nin aaaas
1
21

4. ∑ na
Si la sucesión es convergente y si existe el como
un número real, entonces la serie se llama convergente y se
escribe o
El número s se denomina suma de la serie. Si es el otro caso, la serie
se llamará divergente.
Ejemplo: Un ejemplo importante de serie infinita es la serie
geométrica
Converge si y su suma es
Si , la serie geométrica diverge.
{ }ns ssn
n
=
∞→
lim
saaaa n =⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++ 321
sa
n
n =∑
∞
=1
0
1
1132
≠=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++ ∑
∞
=
−−
aararararara
n
nn
1≥r
1<r 1
11
1
<
−
=∑
∞
=
−
r
r
a
ar
n
n
Definición.

5. Una serie es llamada absolutamente convergente si la serie de
valores absolutos es convergente.
Definición.
Una serie se llama condicionalmente convergente si es
convergente pero no absolutamente convergente.
Teorema.
Si una serie es absolutamente convergente, entonces es
convergente.
∑ na
Definición.
∑ na
∑ na
∑ na

6. (i) Si , entonces la serie es absolutamente
convergente (y en consecuencia convergente).
(ii) Si , o bien entonces la serie
es divergente.
(iii) Si , la regla de comparación no es concluyente, es
decir, no se puede sacar conclusión alguna con respecto a la
convergencia o divergencia de .
Prueba de la razón.
1lim 1
<=+
∞→
L
a
a
n
n
n
1lim 1
>=+
∞→
L
a
a
n
n
n
∞=+
∞→
n
n
n a
a 1
lim
∑
∞
=1n
na
∑
∞
=1n
na
1lim 1
=+
∞→
n
n
n a
a
∑
∞
=1n
na

7. (i) Si , entonces la serie es absolutamente
convergente (y por lo tanto convergente).
(ii) Si , o bien entonces la serie
es divergente.
(iii) Si , la prueba de la raíz no es concluyente, es decir, no
se puede sacar conclusión alguna con respecto a la convergencia
o divergencia de .
Prueba de la raíz.
∑
∞
=1n
na
∑
∞
=1n
na
∑
∞
=1n
na
1lim <=
∞→
Lan
n
n
1lim >=
∞→
Lan
n
n
∞=
∞→
n
n
n
alim
1lim =
∞→
n
n
n
a

8. Una serie de potencias es aquella que tiene la forma
en donde x es una variable y los son constantes, llamadas
coeficientes de la serie. Para cada x, fija, la serie anterior es una serie
de constantes que podemos probar para ver si es convergente. Una
serie de potencias puede converger ante ciertos valores de x y
divergir ante otros. La suma de la serie es una función
Cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las que converge la
serie. Observará que se parece a un polinomio. La única diferencia
es que tiene una cantidad infinita de términos.
3
3
2
210
0
⋅⋅⋅++++=∑
∞
=
xcxcxccxc
n
n
n
nc
)( 3
3
2
210 ⋅⋅⋅++++= xcxcxccxf
f
f
Series de Potencias.

9. Por ejemplo, con para todo n, la serie de potencias se
transforma en la serie geométrica
que converge cuando y diverge cuando
De una manera más general, una serie de la forma
se llama serie de potencias en , o serie de potencias centrada
en o serie de potencias alrededor de .
Ejemplo. Consideremos la serie geométrica con y ,
tenemos entonces que
esta ecuación expresa a la función en forma de una
suma de una serie de potencias.
1=nc
1
1
1 32
0 x
xxxx
n
n
−
=⋅⋅⋅++++=∑
∞
=
11 <<− x 1≥x
)()()()( 3
3
2
210
0
⋅⋅⋅+−+−+−+=−∑
∞
=
axcaxcaxccaxc
n
n
n
x
xxxx
n
n
−
=⋅⋅⋅++++=∑
∞
= 1
1
1 32
0
)( ax −
a
1=a xr =
a
x
xf
−
=
1
1
)(

10. (i) La serie converge sólo cuando .
(ii) La serie converge para toda .
(iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge si
y diverge si .
∑
∞
=
−
0
)(
n
n
n axc
ax =
x
Rax <−
Rax >−
Teorema.
Para una serie de potencias dada hay sólo tres
posibilidades:

11. Teorema. Si la serie de potencias tiene el radio de
convergencia , la función definida por
Es derivable (y en consecuencia, continua) en el intervalo
y
Los radios de convergencia de las series de potencias en las
ecuaciones anteriores son R.
∑ − n
n axc )(
0>R f
)()()()()(
0
3
3
2
210 ∑
∞
=
−=⋅⋅⋅+−+−+−+=
n
n
n axcaxcaxcaxccxf
),( RaRa +−
)()(3)(2)(
1
12
321 ∑
∞
=
−
−=⋅⋅⋅+−+−+=′
n
n
n axncaxcaxccxf
1
)(
3
)(
2
)(
)()(
0
13
2
2
10 ∑∫
∞
=
+
+
−
+=⋅⋅⋅+
−
+
−
+−+=
n
n
n
n
ax
cC
ax
c
ax
caxcCdxxf

12. Teorema. Si tiene una representación (desarrollo) en forma de serie
de potencias en , esto es si
los coeficientes están expresados por la fórmula
Al sustituir esta fórmula de de nuevo en la serie, si tiene un
desarrollo en serie de potencias en , ha de ser de la forma
f
∑
∞
=
−=
0
)()(
n
n
n axcxf Rax <−
!
)()(
n
af
c
n
n =
nc f
⋅⋅⋅+−
′′′
+−
′′
+−
′
+=
−= ∑
∞
=
32
0
)(
)(
!3
)(
)(
!2
)(
)(
!1
)(
)(
)(
!
)(
)(
ax
af
ax
af
ax
af
af
ax
n
af
xf
n
n
n
a
a

13. La serie anterior se llama Serie de Taylor de la función en
( alrededor de o centrada en ). En el caso especial en que
la serie se transforma en
Este caso se da con frecuencia y se le nombra Serie de Maclaurin.
Ejemplo. Algunas funciones tienen una representación en serie de
Maclaurin, por ejemplo
para toda x
para toda x
para toda x
∑
∞
=
=⋅⋅⋅+++=
0
2
!!2!1
1
n
n
x
n
xxx
e
∑
∞
=
+
+
−=⋅⋅⋅+−+−=
0
12753
)!12(
)1(
!7!5!3 n
n
n
n
xxxx
xsenx
∑
∞
=
−=⋅⋅⋅+−+−=
0
2642
)!2(
)1(
!6!4!2
1cos
n
n
n
n
xxxx
x
f
aa
a
0=a
⋅⋅⋅+
′′′
+
′′
+
′
+== ∑
∞
=
32
0
)(
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0(
!
)0(
)( x
f
x
f
x
f
fx
n
f
xf
n
n
n

14. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de
potencias, los coeficientes de esa serie son necesariamente los
determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término
a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a
una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
sin(x) y aproximaciones de
Taylor centradas en 0, con
polinomios de grado 1, 3, 5,
7, 9, 11 y 13.

15. Evalúe ,
Usando el hecho de que , podemos
reemplazar por , tendremos
Integrando término a término
∑
∞
=
=⋅⋅⋅+++=
0
2
!!2!1
1
n
n
x
n
xxx
e
∫
−
dxe x2
( ) ( ) ...
!3!2!1
1
!
1
!
642
0
2
0
2
2
+−+−=
−
=
−
= ∑∑
∞
=
∞
=
− xxx
n
x
n
x
e
n
nn
n
n
x
( )
∫∫ 







+
−
++−+−=−
dx
n
xxxx
dxe
nn
x
...
!
1
...
!3!2!1
1
2642
2
( )
( )
...
!12
1
...
!37!25!13
12753
+
⋅+
−
++
⋅
−
⋅
+
⋅
−+=
+
nn
xxxx
xC
nn
Ejemplos de aplicación de las series de Taylor
∑
∞
=
=⋅⋅⋅+++=
0
2
!!2!1
1
n
n
x
n
xxx
e
2
x−x

16. Evalúe ,
Utilizando que
tendremos
Ejemplos de aplicación de las series de Taylor
20
1
lim
x
xex
x
−−
→
2
32
020
1
!3!2!1
1
lim
1
lim
x
x
xxx
x
xe
x
x
x
−−





⋅⋅⋅+++
=
−−
→→
∑
∞
=
=⋅⋅⋅+++=
0
2
!!2!1
1
n
n
x
n
xxx
e
2
1
!4!3!2
1
lim!4!3!2lim
2
02
432
0
=





⋅⋅⋅+++=
⋅⋅⋅+++
=
→→
xx
x
xxx
xx