Este documento describe conceptos básicos de series y sucesiones numéricas. Explica que una serie es una secuencia de objetos ordenados y una sucesión es una secuencia de números ordenados con una relación entre ellos. También resume brevemente la historia del uso de series infinitas y sucesiones, y describe propiedades como convergencia, monotonía, y progresiones aritméticas y geométricas. El objetivo es distinguir entre diferentes tipos de sucesiones y aplicar fórmulas para calcular términos y sumas.

1. Series y Sucesiones.
Jorge Quijada
V- 27.187.763

2. Conceptos
Una serie puede ser cualquier secuencia de objetos que
hayamos ordenado siguiendo algún criterio.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados
términos, que se designan con una letra y un subíndice que se
corresponde con el lugar que ocupan.
Una serie numérica es una secuencia de números ordenados,
llamados términos, entre los cuales hay una relación que hay que
descubrir, para completar la serie.

3. Reseña. Tipos. Propiedades
El primer caso que registra el uso de una suma infinita de términos de una
sucesión, se remonta hasta la antigua Grecia, con Arquímedes, quien
probablemente usó este tipo de ideas para determinar el área encerrada
bajo el arco de una parábola.
Otras ideas relacionadas con el uso de series y sucesiones para la
representación de determinadas funciones se concibieron en India durante
el siglo XIV, época en que se destaca el trabajo de Madhava.
Gauss, en pocos segundos entregó su respuestas en el escritorio de la
maestra. La maestra sorprendida le preguntó a Gauss con lo había
conseguido en tan poco tiempo y el le explicó que para calcular la suma de
los números 1, 2, 3, … 100 no era necesario realizar suma por suma sino
que bastaba notar que la suma se podía agrupar en parejas de la siguiente
forma 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, … 50 + 51 = 101 y de
esta manera para realizar la suma total, al considerar las 50 parejas cuya
suma era 101, el resultado final se obtendría haciendo 50 x 101 = 5050.

4. Reseña. Tipos. Propiedades
1. Convergencia: convergente y divergente. Las sucesiones convergentes son
las sucesiones que tienen límite finito. Y las sucesiones divergentes son las
sucesiones que no tienen límite finito.
2. Monotonía: creciente y decreciente. Se dice que una sucesión es
estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior. Se dice que
una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Se
dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la
sucesión es menor que el anterior. Se dice que una sucesión es decreciente
si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
3. Alternada y Oscilante. Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan
los signos de sus términos. Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni
divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.
4. Acotada. Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e
inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los
términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la
sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos
entre k y K'.
5. Distancia al límite. Todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto
como queramos al valor límite.

5. Reseña. Tipos. Propiedades
Propiedades de las series.

6. Reseña. Tipos. Propiedades
Propiedades de las sucesiones.

7. Objetivos. Ordenes
Distinguir si una sucesión es una progresión aritmética o
geométrica. Conocer y aplicar las fórmulas derivadas de las
progresiones aritméticas y geométricas para obtener el término
general o la suma de los n primeros términos de la progresión, en
un contexto de resolución de problemas cotidiano.
Se dice que las matemáticas son la ciencia de los patrones.
Algunos son sencillos de reconocer, otros son más “truculentos”,
por decirlo de alguna manera. Cuando se trabaja con sucesiones
y series, se reconocen patrones, por eso es tan importante
hacerlo.

8. Características.

10. Ejemplos resueltos de series. Y de
sucesiones.