trabajo de investigación. I.U.P Santiago Mariño. SERIES INFINITAS. definición. tipos de series. series convergentes. series geomètricas. ejemplos. análisis, comentarios y más...

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión San Cristóbal
Estado Táchira
SERIES INFINITAS(Investigación )
Autor:
Acevedo Gómez
Nuleima Gabriela
C.I 26.841.364
Carrera: Arq. lll
Sección:“B”
Matemáticas lll
Agosto,2017

2. 1. DEFINICIÓN
Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados,
mantienen un cierto vínculo entre sí. La noción, por su parte, se
vincula a aquello que carece de fin. Una serie infinita, porlo tanto, es
una seguidillade unidades que no tiene final. El concepto opuesto es
el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado
momento. Podemos comprender la noción de una serie infinita si
pensamos en ciertas series numéricas. Tomemos el caso de la serie
numérica compuesta por los números múltiplos de 2. Dicha serie es
una serie infinita ya que los números múltiplos de 2 son infinitos: 0,
2, 4, 6, 8, 10, 12…
Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie
numérica de los números positivos impares menores a 10, en este
sentido, es el conjunto que incluye los números 1, 3, 5, 7, y 9. Como
se puede advertir, se trata de una serie finita. En cambio, si
quisiéramos hacer referenciaa la serie de números impares,será de
una serie infinita: un conjunto con componentes infinitos.
Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo
tipo de series numéricas infinitas. Incluso es posible considerarseries
infinitas descendentes; por ejemplo, si mencionamos la serie
compuestapor los números menores al uno; 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6…
además de todo lo expuesto,no podemospasar por alto el hecho de
que son muchos y diversos los tipos de series infinitas que existen.
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción
de suma aplicada a los términos de una sucesión matemática.
Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

3. Lo que suele escribirse en formamás compactacon el símbolo
de sumatorio:
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de
un número finito n de términos sucesivos, y mediante un paso al
límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece
indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último
término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de
los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o
fórmula, o poralgún algoritmo.Al tener infinitos términos,esta noción
suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas
finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis
matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas.
Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza
de convergenciao no-convergencia de las series matemáticas, sin
realizar explícitamente los cálculos.
2. TIPOS DE SERIES.
2.1 SUMAS PARCIALES:
Para cualquier sucesión matemática de números
racionales, reales, complejos,funciones, etc., la serie asociadase
define como la suma formal ordenada:

4. La sucesiónde sumas parciales asociadaauna sucesión
está definida para cada K como la suma de la sucesión
desde hasta :
Muchas de las propiedades generales de las series suelen
enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.
2.2 CONVERGENCIA:
Pordefinición,la serie converge al límite L siysólo sila sucesión
de sumas parciales asociada converge a L.Esta definiciónsuele
escribirse como:
3. EJEMPLOS:
1. Una serie geométricaes aquella en la que cada término se obtiene
multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este
ejemplo, la razón r = 1/2:

5. En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |z| < 1, a:
2. La serie armónica es la serie:
La serie armónica es divergente.
3. Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de
signo:
4. Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular
fácilmente, ya que:
5. Una serie hipergeométricaes una serie de la forma:

6. 4. CONVERGENCIA DE SERIES
Una serie se dice que es convergente (o que converge) si
la sucesiónSN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite
de SN es infinito o no existe,se dice que la serie diverge.Cuando este
límite existe, se le llama suma de la serie.
Si todos los an son cero para n suficientemente grande,la serie
se puede identificar con una suma finita. El estudio de la
convergencia de series, se centra en las propiedades de las series
infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el
número periódico
Sn = 0.111111... tiene como representación decimal, la serie:
Dado que estas series siempre convergen en los números
reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de
series y los números decimales que representan. Por ejemplo,
0.111… y 1
/9; o bien 1=0,9999...