Una serie infinita es una sucesión de elementos que no tiene fin. Las series infinitas pueden ser numéricas, como los múltiplos de 2, o conceptuales, como los números impares. Algunos tipos importantes de series infinitas son la serie armónica, la serie geométrica y las series convergentes. Una figura clave en el estudio de series infinitas fue Leonhard Euler, quien investigó cómo representar funciones mediante series infinitas.

1. Series Infinitas
Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto vínculo
entre sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece de fin.
Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El
concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado
momento.
Podemos comprender la noción de serie infinita si pensamos en ciertas series numéricas.
Tomemos el caso de la serie numérica compuesta por los números múltiplos de 2. Dicha
serie es una serie infinita ya que los números múltiplos de 2 son infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10,
12…
Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie numérica de números positivos
impares menores a 10, en este sentido, es el conjunto que incluye los números 1, 3, 5, 7 y
9. Como se puede advertir, se trata de una serie finita. En cambio, si quisiéramos hacer
referencia a la serie de números impares, será una serie infinita: un conjunto con
componentes infinitos.
Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo tipo de series numéricas
infinitas. Incluso es posible considerar series infinitas descendentes: por ejemplo, si
mencionamos la serie compuesta por los números menores a 1: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6…
Además de todo lo expuesto, no podemos pasar por alto el hecho de que son muchos y
diversos los tipos de series infinitas que existen. No obstante, entre los más significativas
podemos destacar, por ejemplo, a los siguientes:
-Serie armónica.
-Serie geométrica. Bajo esta denominación se halla, por ejemplo, una serie de tipo infinito
que se caracteriza por el hecho de que cada término se obtiene a partir de lo que es la
multiplicación del término anterior por una constante determinada.
-Serie convergente. A la hora de poder determinar si una serie infinita es convergente o
no, se puede recurrir al uso de variadas herramientas. En concreto, entre las más
habituales están las p-series, que son sumatorias de funciones; el teorema de las series
geométricas, el criterio de comparación directa, el criterio de comparación por paso del
límite del cociente, el criterio de la integral de Cauchy, el criterio de d´Alembert y el
criterio de Leibniz, entre otras muchas.
Lo habitual es que, en el ámbito de las matemáticas, las series infinitas surjan a partir de
diferentes algoritmos, fórmulas o reglas. De este modo las series infinitas pueden servir
para la representación de funciones.

2. Una de las figuras más importantes en materia de series infinitas fue y es el matemático y
físico suizo Leonhard Euler (1707 – 1783), que está considerado el matemático más
importante del siglo XVIII. En el caso que nos ocupa hay que subrayar el hecho de que
optó por acometer una exhaustiva investigación en materia del desarrollo del cálculo y
eso fue lo que propició que estableciera la constante matemática como e, a la que
procedió a representar no sólo como una fracción continua sino también como un número
real o una serie infinita.
Si trata de sumar los términos de una sucesión infinita , obtiene una expresión de la
forma:
A1 + A2 + A3 + …+ An
que se denomina serie infinita, o sólo serie, y se denota con el símbolo:
∑an
Pero,¿tiene sentidohablarde sumade unacantidadinfinitade términos?Seríaimposible
encontrarla sumafinitade la serie.
1+2+3+4+5+…+n+…
porque si empiezaasumar lostérminos,obtiene sumasacumulativas1,3, 6, 10, 15, 21, . . . y
despuésdel n-ésimotérmino,llegaan(n+1) , lo cual se vuelve muygrande cuandonse
incrementa.Sinembargo,si empiezaporsumarlostérminosde laserie 1.
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+ ⋯ +
1
2 ∗
+ ⋯
Obtiene
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
, … , 1 − 1/2 𝑛
En la tablase puede verque cuandosuma más
y más términos,estassumas parcialesse vuelvenmásymás cercanasa 1. De hecho,al sumar
suficientestérminosde laserie esposible hacerque lassumasparcialesseantancercanasa 1
como se quiera.Poresoes razonable decirque lasumade esta serie infinitaesigual a1 y escribir
Se aplicauna ideasimilarparadeterminarsi unaserie general (1) tiene onotiene unasuma.
Considere lassumasparciales
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4= a1 + a2 + a3 + a4

3. Y, en general
Sn = a1 + a2 + a3 +… + an = ∑ 𝑎𝑖𝑛
𝑖=1
Estas sumasparcialesformanunanuevasucesión {Sn} , lacual puede tenerono tenerunlímite.Si
existe lim
𝑛→ ∞
𝑠𝑛 = 𝑠(comounnúmerofinito),después,comoenel ejemploanterior,se llamasuma
de la serie infinita∑ 𝑎𝑛.
Ejemplo:
Un ejemploimportantede unaserie infinitaeslaserie geométrica
a + ar + ar2
+ ar3
+ … + ar n-1
+ … = ∑ 𝑎𝑟 𝑛−1∞
𝑛=1
Cada términose obtiene apartirdel términoprecedenteyse multiplicaporlarazón común r. Si
r=1, enconsecuenciaSn=a + a + … + a =na ±∞Puestoque lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 noexiste,laserie
geométricadiverge enestecaso.
Si r ≠ 1
Sn = a + ar + ar2
+ … + ar n-1
rsn = ar + ar2 + … + arn-1 +arn
Y al restar estas ecuaciones obtiene:
Sn – rsn = a - arn
Sn =
𝑎 (1−𝑟 𝑛
)
1−𝑟
Si -1< r < 1, sabe por(11.1.9) que rn
0 cuandon ∞ ,de modoque
lim
𝑛→ ∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎 (1− 𝑟 𝑛
)
1 − 𝑟
=
𝑎
1 − 𝑟
−
𝑎
1 − 𝑟
= lim
𝑛→ ∞
𝑟 𝑛
=
𝑎
1 − 𝑟
Por esto, cuando |r| < 1la serie geométricaesconvergenteysusumaes a/(1-r).Si r ≤ -1 o bien,
r > 1 , la sucesión{rn
} esdivergente de acuerdocon(11.1.9) y de ese modo,segúnlaecuación3,
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 no existe. Porlotanto,la serie geométricadivergeenesoscasos.
La serie geométrica
∑ 𝑎𝑟 𝑛−1
∞
𝑛=1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯
Es convergente si |r| <1 y su suma es

4. ∑ 𝑎𝑟 𝑛−1
∞
𝑛=1
=
𝑎
1 − 𝑟
| 𝑟| < 1
Si r ≥ 1 , la serie geométricaesdivergente.
Ejemplo 2:
Encuentre lasuma de la serie ∑ 𝑥 𝑛∞
𝑛=0 Donde |x|< 1
Se observa que esta serie comienza con n=0 y por eso el primer término es x0 = 1.
∑ 𝑥 𝑛
= 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥3
∞
𝑛=1
+ 𝑥4
+ ⋯
Esta es una serie geométrica con a = 1 y r = x puesto que |r| = |x| < 1 converge, y de
acuerdo con (4) se tiene
∑ 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
=
1
1 − 𝑥