diapositivas calculo

1. Matemáticas
Presentado por:
Nicole Fernanda Osorio
López
Grado: 11-2

2. Sucesiones de
números reales
Una sucesión es un conjunto infinito de números reales (a
los números que forman la sucesión se les llama términos)
Toda las sucesiones tienen un primer término. Cada
término tiene un siguiente.
A cada uno de estos números se le llama
término (primer término, segundo, etc.). De una
manera matemática una sucesión se suele
definir como una aplicación de N* en R, dada
por:

3. Por ejemplo, la sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras
que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de
sucesiones finitas (de longitud igual a 3).
Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números
positivos pares: 2, 4, 6, 8...

4. Clases de sucesiones
Sucesiones monótonas creciente
Se dice que una sucesión de números reales
es monótona creciente si cada término es menor o
igual que el siguiente. Es decir los términos van
aumentando su valor o, a lo sumo, son iguales.
Por lo tanto, su representación en el plano
cartesiano serán puntos que van subiendo.
a n £ a n+1

5. la sucesión no tiene términos iguales, se
dice que es una sucesión estrictamente
creciente.
a n < a n+1
Sucesiones monótonas decrecientes
Se dice que una sucesión de números
reales es monótona decreciente si cada
término es mayor o igual que el siguiente.
Es decir los términos van disminuyendo
su valor o, a lo sumo, son iguales.
Por lo tanto, su representación en el
plano cartesiano serán puntos que van
bajando.
a n ³ a n+1

6. la sucesión no tiene términos iguales, se dice que la
es una sucesión estrictamente decreciente.
a n > a n+1
Sucesiones monótonas
Se dice que una sucesión de números
reales es monótona si es monótona
creciente o si es monótona decreciente.

7. Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si
todos su términos son iguales. Una sucesión
constante es a la vez monótona
creciente y monótona decreciente.
a n = a n+1

8. Sucesiones acotadas
Se dice que una sucesión de números
reales está acotada si está acotada
superiormente e inferiormente. Es decir si
hay un número k menor que todos los
términos de la sucesión y otro K mayor
que todos los términos de la sucesión.
Es decir que todos los términos de la
sucesión están comprendidos entre k y K.
Por lo tanto, en su representación en el
plano cartesiano los puntos estarán entre
la recta y=k y la recta y=K.
k  a n  K

9. Sucesiones no acotadas
Se dice que una sucesión de números reales no está acotada si no lo
está superiormente o inferiormente, es decir cuando no está acotada
por alguno de los dos lados o por ambos a la vez.
Sucesiones acotadas inferiormente
Se dice que una sucesión de números reales esta acotada
inferiormente si hay un número k menor que todos los términos
de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión son
siempre mayores que k.
Por lo tanto, en su representación en el plano cartesiano los
puntos estarán por encima de la recta y=k.

10. Sucesiones acotadas
superiormente
Se dice que una sucesión de números reales
esta acotada superiormente si hay un número K mayor
que todos los términos de la sucesión. Es decir que
todos los términos de la sucesión son siempre menores
que K.
Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano
serán puntos que no sobrepasan un la recta y=K.

11. Sucesiones convergentes
Se dice que una sucesión de números reales
es convergente si sus términos se concentran alrededor
de un número real l que se llama límite de la sucesión.
Por lo tanto, su representación debe ser un cúmulo de
puntos alrededor del límite.
Sucesiones divergentes
Se dice que una sucesión de números
reales es divergente o que tiene límite
infinito si sus términos, en valor absoluto,
superan cualquier número real por grande
que sea. Por lo tanto, su representación
deben ser puntos que se alejan del origen
tanto como se quiera.

12. Sucesiones oscilantes
Son las sucesiones que no tienen límite, es decir que no
son convergentes ni divergentes.
Representación de sucesiones en el plano cartesiano
Las sucesiones se pueden representar
sobre un plano asignando un punto a
cada término, su abscisa es el lugar que
ocupa y su ordenada el valor de ese
término.

13. 1.- En la sucesión de los números pares
la observa la representación de todos
sus términos y de cada uno de ellos.
2. -Busca la representación de los
términos: 5º, 10º, 100º, 500º y 1236º
3.- Observa que los términos
representados están sobre una recta
(y=2x). Representa en tu cuaderno la
sucesión de los números pares

14. Representaremos en el plano cartesiano la
sucesión
La gráfica cartesiana de la
sucesión representa el conjunto
de parejas ordenadas

16. Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una
sucesión de números tales que
cada uno de ellos (salvo el primero)
es igual al anterior más un número
fijo llamado diferencia que se
representa por d.

17. Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
2 Si conocemos el valor que ocupa
cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
Ejemplo:
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.

18. Si se denomina progresión aritmética a aquella sucesión de números en la
que cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término
anterior.
Por lo tanto, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Progresión geométrica
Una progresión geométrica es
una sucesión en la que cada
término se obtiene
multiplicando al anterior una
cantidad fija r, llamada razón.

19. 1. Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n
2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier
otro término de la progresión.
an = ak · rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn-4
an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n

20. Ejemplo:
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.

21. Series
Se llama serie de números
reales a todo par ordenado
de sucesiones de números
reales ((an),( sn)) de manera
que se cumpla:
S1= a1
S n+1= Sn+ an+1

22. A partir de una sucesión de números
reales, se puede formar una nueva
sucesión sumando los términos
sucesivamente.
Series aritméticas
Como ejemplo de serie divergente,
consideremos la serie formada a partir de la
sucesión o progresión aritmética de
diferencia d . Se generan los términos de una
sucesión aritmética asociada a dicha serie de
la siguiente forma:

23. Series geométricas
La ecuación generadora de una sucesión o
progresión geométrica viene dada por:
donde r es la razón, es decir, el factor por el
cual se multiplica un término para generar
el posterior. Formemos ahora la serie
geométrica:

24. Limites
el concepto de límite es una noción
topológica que formaliza la noción
intuitiva de aproximación hacia un
punto concreto de una sucesión o
una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o
función se acercan a un
determinado valor.

25. Limite de una sucesión
El límite de una sucesión es
el valor al que tienden los
términos de la sucesión
cuando n toma valores muy
grandes.

26. se lee límite cuando n tiende a más
infinito de a sub n.
El número e es el límite
de la sucesión

27. El límite de la función f(x) en
el punto x0, es el valor al
que se acercan las imágenes
(las y) cuando los originales
(las x) se acercan al valor x0.
Es decir el valor al que
tienden las imágenes
cuando los originales
tienden a x0.
Limite de una función

28. Ejemplo:
Vamos a estudiar el límite de la
función f(x) = x2 en el punto
x0 = 2.
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda
o la derecha las imágenes se acercan a 4.

29. Tipos de limites
Límites Laterales
El límite lateral por la derecha
de una función y = f(x) en el
punto x = a es el valor al que
se aproxima f(x) cuando x se
aproxima al valor de a por
valores mayores que a..

30. Límites en el infinito
Una función f(x) tiene por límite +∞
cuando x → a, si fijado un número real
positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para
todos los valores próximos a a.

31. Limite menos infinito
Una función f(x) tiene por límite -∞
cuando x a, si fijado un número real
negativo K < 0 se verifica que f(x) <
k para todos los valores próximos a a.
Límites al infinito:
Hablamos de que un límite tiene al infinito cuando el
límite es un # o indeterminado y la variable tiende a
infinito +,- o las dos
lim f(x) = L
x→ infinito