1. 1 Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:
4x  y  15

 3 x  y  1
Solución:
Se despeja y en las dos ecuaciones:
y  15  4x

 y  1  3x
Se igualan los resultados:
14
15  4x  1  3x  4x  3x  1  15  7x  14  x   2
7
Se calcula y:
y  1  3·2  5
La solución es x = 2, y = 5.
2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
7x  2 y  4

 2x  3 y  1
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y la 2ª por 2 y sumando los resultados:
21x  6 y  12

 4x  6y  2
14
25x  14  x 
25
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y:
14 28 3 3 1
2  3y  1  3y  1   3y  y  
25 25 25 75 25
14 1
La solución es x = , y = .
25 25
3 Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:
3x  5 y  1


4 x  2 y  16

Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 5:

2. 6 x  10y  2

20 x  10y  80
Sumamos y obtenemos: 26x = 78
 x=3
Sustituimos en la 1ª ecuación el valor hallado:
9 + 5y = 1
 y = 2. Solución: (3, 2).
4 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
6x  5 y  28

 4 x  9 y  6
Solución:
Se despeja x en las dos ecuaciones:
 28  5 y
x 
 6
  6  9y
x 

 4
Se igualan los resultados:
28  5y 6  9y
  428  5y   6 6  9y   112  20y  36  54y  20y  54y  36  112 
6 4
74y  148  y  2
Se calcula x:
28  5·2
x 3
6
La solución es x = 3, y = 2.
5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2x
 3 y8


 9y
4 x  2  6

Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3 y la 2ª por 2:
2x  3y  24


8 x  9 y  12

Multiplicamos la 1ª ecuación por 3 para aplicar el método de reducción:

3. 6 x  9 y  72


8 x  9 y  12

Sumamos las dos ecuaciones: 14x = 84
 x=6
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
4y=8
 y = 4. Solución: (6, 4).
6 Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:
x  4 y  7

 x  y  8
Solución:
Se despeja x en las dos ecuaciones:
x  7  4 y

x  8  y
Se igualan los resultados:
15
7  4y  8  y  4y  y  8  7  5y  15  y   3
5
Se calcula x:
x  7  4·3  5
La solución es x = 5, y = 3.
7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
 2x  3 y  4

6x  5 y  40
Solución:
Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y sumando el resultado:
 6 x  9 y  12

 6 x  5 y  40
 14y  28  y  2
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula x:
2x  3·2  4  2x  10  x  5
La solución es x = 5, y = 2.
8 Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:
  3x  y  0

4x  2y  10
Solución:

4. Multiplicando la 1ª ecuación por 2 y sumando el resultado se obtiene:
 6 x  2 y  0

 4 x  3 y  10
 2x  10  x  5
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y:
35  y  0  y  35
La solución es x = 5, y = 35.
9 Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
 2x  y  5

 x  2 y  2
Solución:
Se despeja x en la segunda ecuación:
x  2y  2
Se sustituye en la primera y se resuelve la ecuación que resulta:
22y  2  y  5  4y  4  y  5  3y  9  y  3
Se calcula x:
x  23  2  4
La solución es x = 4, y = 3.
10 Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
5 x  y  15
10 x  3y  55

Solución:
Despejamos y en la 1ª ecuación: y = 5x  15
Sustituimos en la segunda: 10x + 3 (5x  15) = 55
Operamos y agrupamos términos: 25x = 100 x = 4
Sustituimos en y: y = 5. Solución: (x, y) = (4, 5).
11 Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:
2x  3 y  4

 xy7
Solución:
Multiplicando la 2ª ecuación por 3 y sumando el resultado se obtiene:

5.  2x  3 y  4

3 x  3y  21
5x  25  x5
Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y:
5y 7 y  2
La solución es x = 5, y = 2.
12 Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
3x  y  4

 xy0
Solución:
Se despeja y en la primera ecuación:
y  4  3x
Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación que resulta:
x  4  3x  0  x  3x  4  2x  4  x  2
Se calcula y:
y  4  3  2  2
La solución es x = 2, y = 2.
13 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x y
2  5  7


3x  2 y  10
Solución:
Multiplicamos por 10 la 1ª ecuación:
5x  2y  70


3x  2y  10


Sumamos las dos ecuaciones: 8x = 80 x = 10
Sustituyendo el valor hallado en la segunda ecuación:

30 2y = 10 y = 10. Solución: (10, 10).
14 Resuelve por el método que prefieras el siguiente sistema de ecuaciones:
 3x  y  5

5x  2y  3
Solución:
Se despeja y en la primera ecuación:
y  3x  5
Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación:

6. 5x  243x  5  3  5x  6x  3  10  11x * 13  x 
13
11
Se calcula y:
13 39 55 16
y  3 5   
11 11 11 11
13 16
La solución es x = , y = .
11 11
15 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2x  1  5 y  3

 2x  y  1  x
Solución:
Quitando paréntesis:
2x  2  5y = 3
4x  3y = 1  x
Agrupando los términos:
2x  5y  5
3x  y  1
Despejando y de la segunda ecuación:
2x  5y  5
y  1  3x
Sustituyendo en la primera:
10
2x  5 1  3 x   5   2x+15x = 5+5  13x = 10 x=
13
Se calcula y:
10 17
y  1 3   y
13 13
10 17
La solución es x = ,y= .
13 13
16 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
  x  3  3y  4

4x  3  y  2y  12
Solución:
Quitando paréntesis:
  x  3  3y  4

4x  12  y  2y  12
Agrupando los términos:

7.   x  3y  1

4x  3y  24
Multiplicando por 1 la 1ª ecuación y sumando:
 x  3y  1

4 x  3 y  24
 23
5 x  23  x 
5
Se calcula y:
23 23 28 28
 3y  1  3y  1   3y  y
5 5 5 15
23 28
La solución es x = ,y= .
5 15
17 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 3x  6

5 x  4 y  14

 3
Solución:
Quitando denominadores:
 3x  6

15x  4y  42
Despejando x de la primera ecuación:
6
x 2
3
Sustituyendo en la 2ª ecuación:
15  2  4y  42  4y  12  y  3
La solución es x = 2, y = 3.
18 Aplica la regla de reducción para transformar el siguiente sistema en otro equivalente:
 x  5 y  6

 x  3 y  18
Solución:
Cambiando la segunda ecuación por la suma de las dos:
 x  5y  6

 8y  24
19 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

8.  y
 2x  1  3
 3x
  y  10
2
Solución:
Quitando paréntesis y denominadores:
 6x  6  y

3x  2y  20
Como y está despejada en la primera ecuación, se sustituye en la segunda:
32
3x  26x  6  20  3x  12x  20  12  15x  32  x 
15
Se calcula y:
32 102 34
y  6 6 y  
15 15 5
32 34
La solución es x = ,y= .
15 5
20 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x
 4  y  2
 2x 2 y
  4
3 5
Solución:
Quitando denominadores:
 x  4y  8

10x  6y  60
Despejando x de la primera ecuación:
 x  8  4y

10x  6y  60
Sustituyendo en la 2ª:
10 8  4y   6y  60  40y  6y  60  80  34y  140  y 
140 70

34 17
Se calcula x:
70 144
x  8  4  x
17 17
144 70
La solución es x = ,y= .
17 17
21 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

9. x  1 y  1
   1
 3 2
 4x  2y  3

Solución:
Quitando denominadores:
2x  2  3y  3  6

 4 x  2y  3
Agrupando los términos:
2x  3y  11

 4 x  2y  3
Multiplicando por 2 la 1ª ecuación y sumando:
 4 x  6 y  22

 4 x  2y  3
25
8 y  25  y 
8
Se calcula x:
25 25 13 13
4x  2   3  4x  3   4x  x
8 4 4 16
13 25
La solución es x =  ,y= .
16 8
22 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 3x  5  4 y  8

 x  15  2x  2y  2
Solución:
Quitando paréntesis:
 3x  15  4y  8

 x  15  2x  2y  4
Agrupando los términos:
 3x  4y  23

 3x  2y  19
Sumando:

10.  3 x  4 y  23

 3 x  2y  19
 2y  4  y  2
Se calcula x:
3x  4  2  23  3x  15  x  5
La solución es x = 5, y = 2.
23 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 y  3 x  8

y  5x   y  3
Solución:
Agrupando los términos:
  3x  y  8

 5x  2y  3
Despejando y de la primera ecuación:
 y  8  3x

 5x  2y  3
Sustituyendo en la 2ª y resolviendo:
5x  23x  8  3  5x  6x  3  16  x  13
Se calcula y:
y  3  13  8  y  31
La solución es x = 13, y = 31.
24 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 4x 2
 3 y 3


 5x y
 2  4  11

Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3 y la 2ª por 4 para eliminar los denominadores:
4 x  3 y  2


10x  y  44

Multiplicamos la segunda por 3 para aplicar el método de reducción:
4 x  3 y  2


 30x  3y  132

Sumamos las ecuaciones: 26x = 130
 x = 5.

11. Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
20 2
y   y = 6. Solución: (5, 6).
3 3
25 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2y x 1
  
 5 3 15
15x  15y  2

Solución:
Quitamos paréntesis:
 6y  5x  1

15x  15y  2
Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:
 15x  18y  3

 15x  15y  2
5
3y  5  y 
3
Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x:
5 27 9
15x  15   2  15 x  2  25  x  
3 15 5
5 9
La solución es x = ,y= .
3 5
26 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3x  4 y  2x  4

 2x  2  3 y
Solución:
Agrupando los términos:
x  4y  4

2x  3 y  2
Despejando x en la 1ª ecuación:
x  4  4y

2 x  3 y  2
Sustituyendo en la 2ª se calcula y:
24y  4  3y  2  8y  3y  2  8  5y  10  y  2
Se halla x:
x  4   2  4  4

12. La solución es x = 4, y = 2.
27 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 5x  2y  2

4x  20  2y
Solución:
Agrupando términos:
5x  2y  2

4x  2y  20
Sumando las dos ecuaciones:
5 x  2y  2

4 x  2y  20
9 x  18  x  2
Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula y:
4  2  2y  20  2y  20  8  2y  12  y  6
La solución es x = 2, y = 6.
28 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x  3y  2  4

5x  1  2y  6
Solución:
Quitando paréntesis:
 x  3y  6  4

5x  5  2y  6
Agrupando los términos:
 x  3y  10

5x  2y  1
Despejando x de la primera ecuación:
 x  10  3y

5x  2y  1
Sustituyendo en la segunda:
510  3y   2y  1  15y  2y  1  50  17y  51  y  3
Se calcula x:
x  10  3·3  x  1
La solución es x = 1, y = 3.
29 Justifica que los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes:

13.  4 x  10y  2
a) 
 2 x  6y  2
 4 x  10y  2
b) 
 4 x  12y  4
 4 x  10y  2
c) 
 2y  6
Solución:
En el sistema b) se ha multiplicado la segunda ecuación por 2, luego es equivalente al primero. En el sistema c) la
segunda ecuación se ha obtenido sumando las dos del sistema b), luego es equivalente al b), y, por lo tanto,
también al sistema a).
30 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x y
 2  3  11


x y
3  5  7

Solución:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 6 y la 2ª por 15 para eliminar los denominadores:
3 x  2y  66


5 x  3 y  105

Multiplicamos en el último sistema la 1ª ecuación por 5 y la 2ª por 3:
15x  10y  330


15x  9y  315

Aplicamos método de reducción. Restamos las ecuaciones: y = 15.
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación:
x
 5  11  x = 12. Solución: (12, 15).
2
31 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2x  18  4x  3y  4

  12x  y  9  4
Solución:
Quitando paréntesis:
 2x  18  4x  12y  4

  12x  12y  9  4
Agrupando los términos:

14.   6x  12y  22

 12x  12y  5
Sumando:
  6 x  12y  22

 12x  12y  5
 17
 18x  17  x 
18
Se calcula y:
17 204 294 294 49
 12·  12y  5  12y  5   2y  y 
18 18 18 16 36
17 49
La solución es x  ,y   .
18 36
32 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x y
3  2 2
 2x y
  1
3 2
Solución:
Quitando denominadores:
2x  3 y  12

 4x  3y  6
Sumando:
2x  3 y  12

 4x  3y  6
6 x  18  x  3
Se calcula y:
2·3  3y  12  3y  6  y  2
La solución es x = 3, y = 2.
33 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x2 y
 
 3 5
7x  4 y  14

Solución:
Quitando denominadores:

15. 5x  10  3y

7x  4y  14
Agrupando los términos:
5x  3y  10

7x  4y  14
Multiplicando por 4 la 1ª ecuación y la 2ª por 3 y sumando:
20x  12y  40

 21x  12y  42
41x  82  x  2
Se calcula y:
5   2  3y  10  3y  0  y  0
La solución es x = 2, y = 0.
34 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 5x y
 3 2 8
  3x 3 y
   6
 2 4
Solución:
Quitando denominadores:
 10x  3y  48

 6x  3y  12
Multiplicando por 1 la 2ª ecuación y sumando:
10x  3 y  48

 6 x  3 y  12
60 15
16x  60  x  x
16 4
Se calcula y:
15 90 42 42 7
6  3y  12  3y  12   3y  y 
4 4 4 4 6
15 7
La solución es x = ,y=  .
4 6
35 Resuelve, si es posible, y comenta los siguientes sistemas:

16. 2 x  3 y  1

a)  3 x  5 y  1
5 x  8 y  0

2 x  3 y  1

b)  3 x  5 y  1
 x  2y  2

Solución:
a) Hallamos x e y con las dos primeras ecuaciones.
Multiplicamos para aplicar el método de reducción:
6 x  9 y  3


6 x  10y  2

Restamos las ecuaciones anteriores: y = 5. Sustituyendo en la 1ª: 2x  15 = 1
 x=8
Comprobamos si la pareja de números (8, 5) verifica la tercera ecuación: 5 · 8  8 · 5 = 0, luego, sí es
solución.
b) Las dos primeras ecuaciones son las mismas. La solución de ambas, (8, 5), ahora, no verifica la tercera
ecuación, por
lo tanto, el sistema dado no tiene solución.
36 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 5x  3
 2  2x  21  y
 2x 1
  2y   x
 3 3
Solución:
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
5x  3  6x  6  6y

 2x  6 y  1  3 x
Agrupando los términos:
11x  6y  9

  x  6y  1
Sumando:
11x  6 y  9

  x  6y  1
10x  10  x  1
Se calcula y:
2 1
 1  6y  1  y  
6 3

17. 1
3
La solución es x = 1, y = .
37 Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones
sea:
2x  5y  1
Solución:
Hay muchas soluciones para el enunciado.
Por ejemplo:
Sistema compatible:
2x  5 y  1

 x  y  3
Sistema incompatible:
 2x  5 y  1

2x  5y  4
38 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2(x  3)  2(x  y)  x

 x 2y  5x
2(  y) 
 2 5
Solución:
Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:
2x  6  2x  2y  x


5x  10y  2y  5x

Agrupamos los distintos términos:
 x  2y  6
 (*)
10 x  8y  0
Multiplicamos la 1ª ecuación por 4, y restamos:
4 x  8 y  24


10x  8 y  0

6x = 24
 x=4
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):
4 + 2y = 6
 y = 5. Solución: (4, 5).
39 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

18. x  y x  y
 2  3 5
 xy
 y3
 7
Solución:
Quitando denominadores en las ecuaciones:
3x  3y  2x  2y  30

 x  y  7y  21
Agrupando los términos:
5x  5y  30

 x  7y  21
Dividiendo por 5 la 1ª ecuación y sumando:
 x  y  6

 x  7 y  21
15
8 y  15  y 
8
Se calcula x:
15 15 63
x 6 x 6 
8 8 8
63 15
La solución es x = ,y= .
8 8
40 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3x  2  5y  1  9

 4x  5  3y  5

 2
Solución:
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
3x  6  5y  5  9

 8x  5  3y  10
Agrupando los términos:
3x  5y  8

8x  3y  5
Multiplicando por 3 la 1ª ecuación y la 2ª por 5 y sumando:

19.  9 x  15y  24

 40x  15y  25
1
31x  1  x 
31
Se calcula y:
1 3 245 245 49
3·  5y  8  5y  8   5y  y 
31 31 31 155 31
1 49
La solución es x = ,y= .
31 31
41 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
32  x   4y  2  0

 3x  2 y  1  1

 4 2
Solución:
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
6  3x  4y  8  0

 3x  4y  2  4
Agrupando los términos:
 3x  4y  14

 3x  4y  2
Sumando:
 3 x  4 y  14

 3x  4y  2
0  12
Como resulta una igualdad falsa, el sistema no tiene solución.
42 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3(x  6)  2y  3(2x  y)  8

 x  6y
2x   y2
 3
Solución:
Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:

20. 3x  18  2y  6x  3y  8


6x  x  6y  3y  6

Agrupamos los distintos términos:
3 x  y  26
 (*)
5 x  3 y  6
Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y restamos:
 9x  3y  78


5x  3y  6

14x = 84
x = 6
Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):
18 + y = 26
 y = 8. Solución: (6, 8).
43 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x3
 5
 y
2x  3 y  x  9

Solución:
Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones:
 x  3  5y

2x  3y   x  9
Agrupando los términos:
 x  5y  3

3x  6y  9
Multiplicando por 3 la primera ecuación y sumando:
 3 x  15y  9

 3x  6y  9
9 y  18  y  2
Se calcula x:
x  5  2  3  x  3  10  7
La solución es x = 7, y = 2.
44 Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones
sea:
xy5
Solución:
Hay muchas soluciones para el enunciado.
Por ejemplo:
Sistema compatible:

21. x  y  3

x  y  5
Sistema incompatible:
x  y  5

x  y  2