El resumen analiza un problema que pide hallar una raíz entera de un polinomio y factorizarlo. Se muestra que la raíz es -3 y que el polinomio se puede factorizar como (x + 3)(x + 2). También se concluye que el polinomio no tiene más raíces reales.
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Die ZiB sehen – wann ich will, wie ich will und wo ich will! Diesen Wunsch erfüllt die ORF TVthek (zumindest teilweise). Die ORF TVthek wird im November 5 Jahre alt. Aus diesem Anlass haben sich unsere Studierenden mit der Publikumssicht auf die TVthek beschäftigt.
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Unternehmen in Deutschland setzen angesichts des Fachkräftemangels immer stärker auf ausländische Spezialisten. Inzwischen sind in jedem sechsten Unternehmen (17 Prozent) Fach- und Führungskräfte aus dem Ausland beschäftigt, vor einem Jahr waren es erst 13 Prozent. Unter den Großunternehmen mit mehr als 500 Mitarbeitern arbeiten sogar in jedem zweiten Unternehmen (51 Prozent) Mitarbeiter einer anderen Nationalität. Jedes neunte Unternehmen (11 Prozent) plant aktuell, Fachkräfte im Ausland zu rekrutieren, unter den Großunternehmen sind es sogar rund zwei Drittel (64 Prozent). Das ist das Ergebnis einer repräsentativen Studie von Bitkom Research im Auftrag des Business-Netzwerks Linkedin, für die 1030 Personalverantwortliche in deutschen Unternehmen befragt wurden. Zuletzt hatte Linkedin 2013 eine solche Umfrage durchführen lassen.
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1. 3 2
1 Halla una raíz entera del polinomio P(x) = x + 3x + 2x + 6, y dividiendo por el método de Ruffini halla un
segundo factor del polinomio. ¿Tiene más raíces reales el polinomio P(x)?
Solución:
Las raíces enteras están entre: x 1; x 2; x 3; x 6
Se comprueba que x = 3 es la raíz entera buscada:
P(3) = 27 + 27 6 + 6 = 0.
El polinomio es divisible por: (x + 3). El cociente de la división por x + 3 será un nuevo factor de P(x).
1 3 2 6
3 3 0 6
1 0 2 0
2
El factor buscado, por lo tanto, es: x + 2. La factorización del polinomio dado es:
( x 3)( x 2).
2
2
El binomio x + 2 no se anula nunca, es siempre positivo, luego el polinomio dado no tiene otras raíces reales.
2 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprueba si los siguientes polinomios tienen el factor x 3:
a) 2 x 4 4 x 3 5 x 2 4 x 3
b) x 16 316
Solución:
a) El valor numérico del polinomio para x = 3 debe ser 0:
2 34 4 33 5 32 4 3 3 162 108 45 12 3 0
162 - 108 - 45 - 12 + 3 = 0
b) Sustituimos x por 3:
316 316 0
Los dos polinomios tienen como factor x 3.
3 2
3 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P(x) = x + 3x + 3x + 1 es divisible por x + 1, y
calcula con una división otro factor del polinomio.
Solución:
Calculamos el valor numérico para x = 1:
P(1) (1)3 3(1)2 3(1) 1 1 3 3 1 0
Luego, el polinomio es divisible por x + 1.
1 3 3 1
1 1 2 1
1 2 1 0
2
El cociente de la división es otro factor del polinomio: x + 2x + 1.
4 Halla un polinomio cuyas raíces sean x = 2, x = 2, x = 3 y x = 5.
Solución:
El polinomio buscado debe tener como factores (x + 2), (x 2), (x 3) y (x + 5).
Luego podemos considerar que es el producto de dichos binomios:
( x 2)( x 2)( x 3)( x 5) ( x 2 4)( x 2 2x 15) x 4 2x 3 15x 2 4x 2 8x 60 x 4 2x 3 19x 2 8x 60.
5 Halla las raíces enteras del siguiente polinomio:
2. x 4 x 3 7x 2 x 6
Solución:
Los divisores de 6 son:
x 1 x 2; x 3;
; x 6
Los valores numéricos para dichos números son:
P (1) = 1 1 7 + 1 + 6 = 0
P(1) = 1 + 1 7 1 + 6 = 0
P(2) = 16 8 28 + 2 + 6 = - 12
P(2) = 16 + 8 28 2 + 6 = 0
P(3) = 81 27 63 + 3 + 6 = 0
Por tanto las raíces son 1, 1, 2 y 3.
El polinomio P(x) = 2x + 3x 8x + 3 es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los
3 2
6
correspondientes a las raíces x = 1 y x = 3. Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de
Ruffini el tercer factor.
Solución:
El enunciado nos da las raíces enteras 1 y 3, luego el polinomio es divisible por (x 1) y por (x + 3). Dividimos
por el primer factor, y el cociente resultante por (x + 3), como se indica en la siguiente disposición de los
coeficientes:
2 3 8 3
1 2 5 3
2 5 3 0
3 6 3
2 1 0
El último de los cocientes, 2x - 1, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P(x) = (x 1) (x + 3) (2x 1).
7 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio:
x 3 2x 2 5 x 6
Solución:
Los divisores de 6 son: x 1; x 2; x 3; x 6
Los valores numéricos para dichos números son:
P(1) = 1 + 2 5 6 = 8
P(1) = 1 + 2 + 5 6 = 0
P(2) = 8 + 8 10 6 = 0
P(2) = 8 + 8 +10 6 = 4
P(3) = 27 + 18 15 6 = 24
P(3) = 27 + 18 + 15 6 = 0
Las tres raíces del polinomio son: x = 1, x = 2 y x = 3.
El polinomio dado es igual al producto: (x + 1)(x 2)(x + 3).
8 Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:
a) x 2 2 x 15
b) x 3 3 x 2 x 3
Solución:
a) Los divisores de 15 son:
3. x 1; x 3; x 5; x 15
Se comprueba mentalmente que ni x =1 ni x = son raíces.
Para x = 3 se tiene: P(3) = 9 + 6 15 = 0, luego x = 3 es una raíz.
Si x = 3 se tiene: P(3) = 9 6 15= 12, no es raíz.
Para el valor 5: P(5) = 25 + 10 15 = 20, tampoco es raíz.
Si x = 5 se tiene: P(5) = 25 10 15 = 0, luego, x = 5 es la segunda de las raíces.
b) Los divisores de 3, el término independiente, son:
x 1 x 3
;
Mentalmente se comprueba que ningún número positivo puede ser raíz.
Si x = 1 el valor numérico es: P(1) = 1 + 3 1 + 3 = 4, luego no es raíz.
Cuando x = 3 se tiene: P(3) = 27 + 27 3 + 3 = 0, por lo tanto, x = 3 es una raíz.
El polinomio no tiene más raíces enteras que x = 3.
9 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio:
x 4 x 3 9x 2 9x
Solución:
El polinomio tiene x como factor común en sus términos, luego una de las raíces es x = 0:
x( x 3 x 2 9x 9)
Los divisores de 9, término independiente del paréntesis, son:
x 1 x 3; x 9
;
Los valores numéricos para dichos números son:
P(1) = 1 1 9·1 + 9 = 0
3 2
P(1) = 1 1 + 9 + 9 = 16
P(3) = 27 9 27 + 9 = 0
P(3) = 27 9 + 27 + 9 = 0
Las otras tres raíces del polinomio son:
x = 1, x = 3 y x = 3.
El polinomio dado es el producto: x (x 1) (x 3) (x + 3).
10 Escribe como potencias y productos notables las siguientes expresiones:
a) 16 x 4 24 x 2 9
b) x 2 y 2 6 xy 9
c) x 2 y 2 25
Solución:
a) Se trata del cuadrado de una diferencia:
4x
2 2
2 3 4 x 2 32 (4 x 2 3)2 .
b) Buscamos el cuadrado de una suma:
( xy )2 2 3 xy 32 ( xy 3)2
c) Nos dan la diferencia de cuadrados:
( xy )2 52 ( xy 5)( xy 5)
11 Escribe en forma de productos y potencias, utilizando los productos notables, las siguientes expresiones:
4. a) 4 x 2 ( x 2 4) 16( x 2 4)
x 4 16
b)
4 81
Solución:
El número 4 y (x 4) son factores comunes:
2
a)
4( x 2 4)( x 2 4) 4( x 2 4)2
Obtenemos una diferencia de cuadrados al cuadrado, luego:
4 ( x 2)( x 2) 4( x 2)2 ( x 2)2 .
2
b) Buscamos una diferencia de cuadrados:
2
x2 4 x 2 4 x 2 4
2
2 9 2 9 2 9
El último paréntesis es de nuevo una diferencia de cuadrados:
x 4 16 x 2 4 x 2 x 2 4 x
2 2
2 x 2
3 2 9
4 81 2 9 2
2 3 2 3
12 1 1
Escribe un polinomio cuyas raíces sean x = 2, x = 2, x = y x = , y que tenga el
2 3
coeficiente de mayor grado igual a 6.
Solución:
1 1
El polinomio pedido debe tener como factores (x + 2), (x 2), (x ) y (x + ).
2 3
El producto de los cuatro factores da un polinomio con dichas raíces cuyo coeficiente de mayor grado es uno.
Multiplicando por 6 obtenemos el polinomio pedido:
1 1 1 1
6( x 2)( x 2) x x 6( x 2 4) x 2 x 6 x 4 x 3 25 x 2 4 x 4
2 3 6 6
13 El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de
polinomios:
1 2 1 4 0
1 1 3 2 6
1 3 2 6 6
3 3 0 6
1 0 2 0
Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, y
escribe
P(x) x 4 2x3 x2 4x
como un producto de tres binomios más un número.
Solución:
Para la primera división:
5. D( x) x 4 2x3 x2 4x C( x) x3 3x2 2x 6
, d(x) = x - 1, y R(x) = 6.
Se debe verificar:
D(x) = C(x)d(x) + R(x)
Operamos:
( x3 3x2 2x 6)( x 1) 6 x 4 3x3 2x2 6x x3 3x2 2x 6 6 x 4 2x3 x2 4x D( x)
Luego, es correcta.
Para la segunda división debe verificarse:
C1( x) x2 2
C(x) = C1(x)(x + 3) + R(x), con y R(x) = 0.
Operamos:
( x2 2)( x 3) 0 x3 3x2 2x 6 C( x)
.
También son correctos los resultados.
( x2 2)
Sustituyendo la expresión C(x) = (x + 3) de esta última división en la primera, obtenemos el resultado
pedido:
( x2 2)
D(x) = (x + 3)(x -1) + 6.
14 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprobar si los polinomios:
P ( x ) 3 x 2 8 x 5 y Q( x ) 2 x 3 5 x 2 5 x 6
tienen como factor x + 2, y, en caso afirmativo, calcular con una división otro factor del polinomio.
Solución:
Calculamos los valores numéricos para x = 2:
P(2) 3( 2)2 8( 2) 5 12 16 5 9
Q(2) 2(2)3 5(2)2 5(2) 6 16 20 10 6 0
Luego x + 2 no es un factor de P(x), y sí lo es de Q(x).
2 5 5 6
2 4 2 6
2 1 3 0
2
El cociente de la división anterior, 2x + x + 3, es otro factor del polinomio Q(x).
15 Dados los polinomios:
P ( x ) x 4 4 x 2 y Q( x ) x 3 x 2 x 1
justifica que no tienen ningún factor común.
Solución:
Factorizamos los polinomios dados.
2
El polinomio P(x) tiene x como factor común, y, después, resulta una diferencia de cuadrados:
P( x ) x 2 ( x 2 4) x 2 ( x 2)( x 2).
Las raíces enteras de Q(x) están entre:
x 1
Se comprueba que x = 1 es una raíz: Q(1) = 1 1 + 1 1 = 0.
Dividimos para hallar el segundo factor:
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
Entonces, C(x) = x + 1 y Q(x) = (x 1) (x + 1). El último factor carece de raíces reales.
2 2
Las expresiones halladas para P(x) y Q(x) muestran que no tienen ningún factor común a ambos.
6. 16 x x
2
2
Escribe el resultado de y y 2 xy como uno de los productos notables.
2 2
Solución:
Desarrollamos los cuadrados:
x2 x2 x2
xy y 2 xy y 2 2xy 2 2y 2 2xy
4 4 4
Ponemos 2 como factor común y buscamos el cuadrado de un binomio:
x2 x 2 x x
2
2 xy y 2 2 2 y y 2 2 y
4 2
2
2
17 Saca factores comunes en las siguientes expresiones:
a) 4 x 3 6 x 2 y 8 x 2 z
b) ax ay 2bx 2by
c) x 2 ( x 2) x 2
Solución:
Factores comunes: 2yx . Por tanto, 4x 6x y + 8x z = 2x (2x 3y + 4z)
2 3 2 2 2
a)
b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos: a (x y) + 2b (x y)
Como el paréntesis es común, resulta: (a + 2b) (x y)
El factor (x 2) es común: (x 2) (x + 1).
2
c)
18 Factoriza el polinomio P(x) = 2x5 2x4 34x3 30x2, hallando sus raíces enteras.
Solución:
2
El polinomio tiene 2 y x como factores comunes, entonces:
P( x ) 2x 2 ( x 3 x 2 17x 15).
Una de las raíces enteras es x = 0, y las otras posibles están entre:
x 1 x 3; x 5; x 15
;
Los valores numéricos del paréntesis, Q(x), para dichos valores son:
Q(1) = 1 1 17 15 = 32
Q(1) = 1 1 + 17 15 = 0
Q(3) = 27 9 51 15 = 48
Q(3) = 27 9 + 51 15 = 0
Q(5) = 125 25 - 85 15 = 0
Luego las tres raíces de Q(x) son:
x = 1, x = 3 y x = 5.
El polinomio se escribe como producto de factores de la forma:
P( x ) 2x 2 ( x 1)( x 3)( x 5)
19 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P(x) = x4 2x3 + x2 2x es divisible por x 2, y
calcula con una división otro factor del polinomio.
Solución:
Calculamos el valor numérico para x = 2:
7. P(2) 24 2 23 22 2 2 16 16 4 4 0
Luego, el polinomio es divisible por x 2.
1 2 1 2 0
2 2 0 2 0
1 0 1 0 0
3
El cociente de la división es otro factor del polinomio: x + x.
20 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios
P ( x ) x 4 3 x 3 4 x 2 y Q( x ) x 4 3 x 2 2 x
y calcula un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo de los mismos.
Solución:
3 9 16 4
P(x) tiene x2 como factor común: P ( x ) x 2 ( x 2 3 x 4) y las raíces del paréntesis son x
2 1
Es decir, P( x ) x 2 ( x 4)( x 1).
Q(x) tiene x como factor común o x = 0 como raíz entera: Q(x) = x (x 3x 2)
3
Las otras raíces enteras de Q(x) están entre los números: 1, 2
Comprobamos que x = 1 y x = 2 lo son: Q(1) = 1 (1 + 3 2) = 0, Q(2) = 2 (8 6 2) = 0.
Dividimos el polinomio del paréntesis por (x + 1) y (x 2) por el método de Ruffini sucesivamente, y el cociente
resultante nos dará el tercer factor:
1 0 3 2
1 1 1 2
1 1 2 0
2 2 2
1 1 0
Entonces, el último cociente, (x + 1), es el tercer factor de x 3x 2.
3
Es decir, Q( x ) x( x 1) ( x 2).
2
Las reglas de la divisibilidad nos dan:
m.c.d.P( x ),Q( x ) x( x 4)( x 1), m.c.m.P( x ),Q( x ) x 2 ( x 4)( x 1)2 ( x 2).
21 Halla una raíz entera del polinomio P(x) = 2x2 x 6, y dividiendo por el método de Ruffini halla un segundo
factor del polinomio. Aplica lo anterior para factorizar el polinomio Q(x) = 6x 3x 18x.
3 2
Solución:
Las raíces enteras están entre:
x 1 x 2; x 3; x 6
;
Se comprueba que x = 2 es la raíz entera buscada: P(2) = 8 2 6 = 0.
El polinomio es divisible por: (x 2). El cociente de la división por x 2 será un nuevo factor de P(x).
2 1 6
2 4 6
2 3 0
El factor buscado, por lo tanto, es: 2x + 3.
El polinomio Q(x) tiene como factores comunes el número 3 y x:
Q( x ) 3x(2x 2 x 6)
El paréntesis es el polinomio anterior, del que ya conocemos sus factores, luego:
Q( x ) 3x( x 2)(2x 3)
8. 22 Saca factores comunes, y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de
productos y potencias:
a) 3 x 2 ( x y ) y 2 (3 x 3y )
b) 4 x 6 9 x 2
Solución:
a) El paréntesis (x + y) y el número 3 son factores comunes:
3( x y ) x 2 y 2
( )
Obtenemos una diferencia de cuadrados, luego:
3(x + y)(x + y)(x - y) 3( x y )2 ( x y )
2
b) Ponemos x como factor común:
x 2 (4 x 4 9)
Buscamos una diferencia de cuadrados en el paréntesis:
x 2 (2x 2 )2 32 x 2 2x 2 3 2x 2 3
23 Saca factores comunes en las siguientes expresiones:
a) a bc 2b ab(c 2)
b) a 2 b2 2a 3 b 2ab3
c) x 4 x 2 abx 2 ab
Solución:
a) Factor común: b a [bc + 2b + ab (c + 2)] = ab [c + 2 + a (c + 2)] = ab (c + 2) (a + 1)
b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos:
a2 b2
(1 2ab) + (1 2ab)
Como el paréntesis es común, resulta: (a + b ) (1 2ab)
2 2
2
c) Sacamos x en los dos primeros sumandos, y ab en los dos últimos:
x 2 ( x 2 1) ab( x 2 1) ( x 2 ab)( x 2 1)
24 Escribe las siguientes expresiones como productos notables:
a) x 6 12 x 3 36
1 4
b) x 8 x 2 64
4
c) x 6 y 4 x 4 y 6
Solución:
a) Buscamos el cuadrado de una suma:
( x 3 )2 2 6x 3 62 ( x 3 6)2
b) Ajustamos, ahora, el cuadrado de una diferencia:
9. 2 2
x2 x2 x2
28 82 8
2 2 2
.
c) Se trata de una diferencia de potencias con exponentes pares:
( x 3 y 2 )2 ( x 2 y 3 )2 ( x 3 y 2 x 2 y 3 )( x 3 y 2 x 2 y 3 )
25 Utilizando los productos notables, factoriza los polinomios:
P ( x ) x 4 4 x 3 4 x 2 y Q( x ) x 5 16 x
y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos.
Solución:
2
El polinomio P(x) tiene x como factor común:
P( x ) x 2 ( x 2 4x 4).
Observamos en el paréntesis el desarrollo del cuadrado de una diferencia:
P( x ) x 2 ( x 2)2
Ponemos x como factor común en el segundo polinomio:
Q( x ) x( x 4 16).
Observamos en el paréntesis una diferencia de cuadrados:
Q( x ) x( x 2 4)( x 2 4) x( x 2 4)( x 2)( x 2)
donde de nuevo hemos aplicado que la diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad, y obtenemos:
m.c.d.P( x ),Q( x ) x( x 2) x 2 2x, m.c.m.P( x ),Q( x ) x 2 ( x 2)2 ( x 2)( x 2 4)
26 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios P(x) = x3 2x2 + 2x 4 y
3 2
Q(x) = x + 3x + 2x + 6, y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos.
Solución:
Las raíces enteras de P(x) están entre los números: 1, 2, 4
.
Comprobamos que solamente x = 2 lo es: P(2) = 8 8 + 4 4 = 0.
Dividimos por (x 2) para hallar el segundo factor:
1 2 2 4
2 2 0 4
1 0 2 0
Entonces, C(x) = x + 2 y P(x) = (x 2) (x + 2). El cociente no tiene raíces reales.
2 2
Las raíces enteras de Q(x) están entre los números: 1 2, 3, 6.
,
Comprobamos que x = 3 lo es: P(3) = 27 + 27 6 + 6 = 0.
Dividimos por (x + 3) para hallar un segundo factor:
1 3 2 6
3 3 0 6
1 0 2 0
2 2
Entonces, C(x) = x + 2 y Q(x) = (x + 3) (x + 2). El cociente no tiene raíces reales.
Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad entre números, y obtenemos:
m.c.d P( x ),Q( x ) ( x 2 2), m.c.m P( x ),Q( x ) ( x 2)( x 3)( x 2 2)
27 Transforma la expresión algebraica x3 5x2 x + 5 en otra con x y 5 como factores comunes de parte de
sus términos. ¿Puede escribirse como producto de dos factores? ¿Y de tres?
Solución:
10. Sacamos x como factor común en los términos 1º y 3º, y (5) en los términos 2º y 4º:
x 3 5x 2 x 5 x( x 2 1) 5( x 2 1)
Como producto de dos factores:
x 3 5x 2 x 5 ( x 5)( x 2 1)
Poniendo el paréntesis como factor común.
Y de tres: (x 5) (x + 1) (x 1). Descomponiendo la diferencia de cuadrados en el producto de una suma por una
diferencia.
28 Saca factores comunes y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de
productos y potencias:
a) 4 x 2 y 12 xy 9y
b) 2 x 3 y 2 8 x 2 y 8 x
Solución:
2
a) Los tres sumandos tienen y como factor común: y (4x + 12x + 9)
Buscamos el cuadrado de un binomio en el paréntesis:
y (2x )2 2 3 2x 32 y (2x 3)2
.
b) Los factores comunes, ahora, son 2 y x: 2x (x y 4xy + 4)
2 2
El paréntesis es el cuadrado de una diferencia:
2x ( xy )2 2 2xy 22 2x( xy 2)2