El documento presenta ejercicios de álgebra que involucran la factorización y simplificación de fracciones algebraicas. Los ejercicios resuelven fracciones mediante la identificación de factores comunes y la descomposición de polinomios en factores.

1. 1 Descompón en factores y simplifica la siguiente fracción:
2x 2  5 x  2
x3  4x
Solución:
Las posibles raíces enteras son  1,  2.
Se comprueba que x = 2 lo es, y dividimos utilizando el método de Ruffini:
2 5 2
2 4 2
2 1 0
C(x) = 2x  1 es el segundo factor del numerador. Es decir:
2x 2  5x  2  ( x  2)(2x  1)
El denominador se descompone sacando factor común, y desarrollando la diferencia de cuadrados:
x 3  4x  x( x 2  4)  x( x  2)( x  2)
Sustituyendo en la fracción:
( x  2)(2x  1) 2x  1
 2
x( x  2)( x  2) x  2x
.
2 Simplifica las siguientes expresiones:
24 x 3 y 2 z
a)
30 xy 8 z 4
18( x 2  2)( x  1)
b)
6 x 3  12 x
Solución:
a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta:
24 x 3 y 2 z 4x 2

30 xy 8 z 4 5y 6 z3
b) Sacando factor común en el denominador, resulta:
18( x 2  2)( x  1) 3( x  1)

6 x( x 2  2) x
3 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
x2  4 x 2
,
x2  4x  4 x 2

2. Solución:
Simplificamos la primera fracción. En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados,
y en el denominador el cuadrado de una suma:
 x  2 x  2 x 2

 x  2 2 x2
Luego, son dos fracciones equivalentes.
NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz.
4 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
x3  x2 1
,
x4  x2 x 1
Solución:
Simplificamos sacando factor común, y factorizando la diferencia de cuadrados:
x3  x2 x 2  x  1 x 1 1
 2 2  
x x x  x  1  x  1 x  1 x  1
4 2
Por lo tanto, son equivalentes.
NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz.
5 Descompón en factores y simplifica la siguiente fracción:
x 4  3x 3  4 x
x 4  4x3  4x2
Solución:
El numerador admite la raíz entera x = 0, es decir: x (x 3x + 4) , y las otras están entre:
3 2
1  2,  4
,
Se comprueba que x = 1 y x = 2 lo son. Dividimos utilizando el método de Ruffini por los factores
correspondientes a dichas raíces:
1 3 0 4
-1 1 4 4
1 4 4 0
2 2 4
1 2 0
El cociente C(x) = x  2 es el factor que faltaba del numerador, resultando: x (x + 1) (x  2) .
2
El denominador se descompone sacando factor común, y utilizando los productos notables:
x 4  4x 3  4x 2  x 2 ( x 2  4x  4)  x 2 ( x  2)2

3. Sustituyendo en la fracción:
x( x  1)( x  2)2 x  1 1
  1
x 2 ( x  2)2 x x
6 x 3
Calcula la fracción equivalente a cuyo denominador sea 3 x 2  8 x  3.
x 3
Solución:
El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando (x + 3) por un factor, P(x). Es decir, (x + 3) está como factor
en x + 8x  3. Dividiendo por el método de Ruffini, obtenemos el factor P(x):
2
3 8 3
-3 9 3
3 1 0
El cociente es el factor buscado, es decir, P(x) = 3x  1, y la fracción pedida es:
( x  3)( 3x  1) 3x 2  10x  3

( x  3)( 3x  1) 3x 2  8x  3
7 Simplifica las siguientes fracciones:
x 3  2x 2
a)
x6  4x 4
18 x 3  9 x 2
b)
6 x 2  12 x 3
Solución:
a) Factorizamos sacando factor común y desarrollando la diferencia de cuadrados del denominador:
x 3  2x 2 x 2  x  2 1
 4 
x 6  4 x 4 x  x  2  x  2  x 2  x  2 
b) Sacamos factor común en el numerador y en el denominador:
18 x 3  9 x 2 9 x  2x  1 3  2x  1
2
3
  
6 x  12x
2 3
6 x 1  2x  2  2x  1
2
2
8 Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
x 2 x x 2
, ,
x 2  2x x2  4 x 2  2x
Solución:
Factorizamos los denominadores: x  2x = x (x  2), x  4 = (x + 2) (x  2), x + 2x = x (x + 2)
2 2 2
El denominador común es: x (x + 2) (x  2) = x  4x, y las fracciones equivalentes a las dadas, respectivamente,
3
son:

4. ( x  2)2 x2 ( x  2)2
, ,
x 3  4x x  4x
3
x3  4x
9 Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
x 3 x 1
,
x3  1 x  2x 2  2x  3
3
Solución:
Las posibles raíces enteras del denominador de la primera son  1
Se comprueba que solamente x = 1 lo es. Dividimos utilizando el método de Ruffini:
1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
2
El cociente C(x) = x +x + 1, que no tiene raíces reales, es el factor buscado, resultando:
x 3  1  ( x  1)( x 2  x  1)
El denominador de la segunda fracción tiene como posibles raíces enteras  1, 3
.
Solamente x = 3 lo es: 3  2·3  2 · 3  3 = 27  18  6  3= 0. Dividimos:
3 3
1 2 2 3
3 3 3 3
1 1 1 0
Obtenemos el mismo cociente que anteriormente, resultando el polinomio factorizado:
( x  3)( x 2  x  1)
El denominador común, por lo tanto, es:
( x  3)( x  1)( x 2  x  1)
Y las fracciones, respectivamente, son:
( x  3)2 ( x  1)2
,
( x  1)( x  3)( x 2  x  1) ( x  1)( x  3)( x 2  x  1)
10 x 2
Calcula una fracción equivalente a , cuyo denominador sea x 3  2 x 2  x  2.
x2  1
Solución:
Dividiendo el nuevo denominador entre el antiguo, obtenemos el factor por el cual debemos multiplicar numerador y
denominador de la fracción:
2x 2
3 2 2
x +x x +1
x x x2
3
 2x 2
2
+ 0x
2
+2x +2
0
Luego el factor por el que debemos multiplicar es (x  2), y la fracción pedida es:

5. ( x  2)2 x 2  4x  4
 3
( x  1)( x  2) x  2x 2  x  2
2
11 x 2
Calcula una fracción equivalente a cuyo denominador sea x3  x .
x 1
Solución:
El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando (x 1) por un factor, P(x).
Al descomponer el nuevo denominador se obtiene:
x 3  x  x  x 2  1  x 2  x  1 x  1
Por tanto, el factor P(x)= x(x + 1)
Multiplicando también el numerador por P(x) se obtiene la fracción equivalente:
x  x  2 x  1 x 3  3 x 2  2x

x  x  1 x  1 x3  x
12 Simplifica las siguientes fracciones factorizando, utilizando los productos notables donde sea necesario:
x 2  6x  9
a)
3x 3  9x 2
9x 2  6x  1
b)
9x 2  1
Solución:
2
a) En el numerador tenemos el cuadrado de una diferencia, y en el denominador el factor 3x es común.
Factorizando y simplificando:
x 2  6x  9 ( x  3)2 x 3
 
3x  9x
3 2
3 x ( x  3)
2
3x 2
b) En el numerador tenemos el cuadrado de una suma, y en el denominador una diferencia de cuadrados.
Factorizamos y simplificamos
(3 x  1)2 3x  1

(3 x  1)(3 x  1) 3 x  1
13 Efectúa las siguientes operaciones:
1 2 4
  2
x  1 x  3 x  4x  3
Solución:
El último de los denominadores se escribe como producto de factores de la forma: (x 1) (x  3), es el mínimo
común denominador.
Las operaciones de las fracciones con dicho denominador son:

6. ( x  3)  2( x  1)  4 3x  9 3( x  3) 3
  
( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  3) x  1
14 Efectúa las siguientes operaciones:
1 5 3
 
x  2 2x  8 2x  8x  8
2 2
Solución:
Los denominadores factorizados son:
x  2, 2(x + 2)(x  2) y 2(x + 2) , respectivamente.
2
El mínimo común denominador es 2( x  2)( x  2)2
Las operaciones con las fracciones con dicho denominador son:
2( x  2)2  5( x  2)  3( x  2) 2x 2  8 x  8  5 x  10  3 x  6 2x 2  4 x2  2
   3
2( x  2)( x  2)2
2( x  2)( x  2)2
2( x  2)( x  2)2
x  2x 2  4 x  8
15 2 x 2  11x  15 A( x )
Simplifica la fracción , y muestra que se puede escribir como 2+ ,
x 2  6x  9 B( x )
donde la última es una fracción irreducible.
Solución:
Se comprueba que solamente x = 3 lo es. Dividimos por el método de Ruffini:
Las posibles raices enteras del numerador son:  1  3,  5,  15
,
.
2  11 15
3 6 15
2 5 0
De donde obtenemos que el numerador se escribe: (x  3) (2x 5)
El denominador es el cuadrado de una diferencia: (x 
Sustituimos en la fracción dada y simplificamos:
( x  3)(2x  5) 2x  5

( x  3)2 x 3
Con la fracción irreducible componemos el esquema que nos propone el enunciado:
A( x ) 2B( x )  A( x )
2 
B( x ) B( x )
2x  5 2( x  3)  1 1
  2
x 3 x 3 x 3
.
[También puede obtenerse mediante la división entera: (2x  5): (x  3)]
16 Efectúa las siguientes operaciones:

7. 1 x 1 3
 
2x x 2  2x x 2  4
Solución:
Los denominadores factorizados son: 2x, x (x 2) y (x + 2) (x  2), respectivamente. El mínimo común
denominador es:
2x (x  2) (x + 2).
Las operaciones con las fracciones con dicho denominador son:
( x  2)( x  2)  2( x  1)( x  2)  3  2x x 2  4  2x 2  2x  4  6 x x 2  4x x  4
  
2x( x  2)( x  2) 2x( x 2  4) 2x( x 2  4) 2( x 2  4)
17 Estudia si las siguientes fracciones se reducen a un polinomio:
x 5  xy 2
a)
x 3  xy
x 4  2x 2 y  y 2
b)
x2y  y 2
Solución:
a) Simplificamos la fracción. En el numerador y denominador tenemos el factor x común, después, en el
numerador
aparece una diferencia de cuadrados. Factorizando y simplificando:
x( x 4  y 2 ) x( x 2  y )( x 2  y )
  x2  y
x( x  y )
2
x( x  y )
2
.
Luego se reduce a un polinomio.
b) Aplicando de nuevo las expresiones de los productos notables y sacando factor común, obtenemos:
x 4  2x 2 y  y 2 ( x 2  y )2 x2  y
 
x y y
2 2
y(x  y )
2
y
No se reduce a un polinomio.
18 A( x ) B( x ) C( x )
Dadas las expresiones algebraicas , y , sabemos que R( x )  P ( x )Q( x ).
P ( x ) Q( x ) R ( x )
¿Qué polinomio es el denominador común para dichas fracciones? ¿Por qué factores hay que multiplicar
los numeradores A(x), B(x) y C(x), para tener fracciones equivalentes a las dadas con dicho denominador
común?
Solución:
El polinomio R(x) es el mínimo común múltiplo de los tres denominadores. Al ser el producto de los dos primeros es
múltiplo de ellos.
Al numerador de la primera fracción hay que multiplicarle por Q(x), y al de la segunda por P(x), pues, en ambos
casos, los denominadores serían P(x) Q(x) = R(x), que es el denominador común. El numerador de la tercera
fracción lo multiplicamos simplemente por 1.