Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son sistemas lineales, cómo clasificarlos, y las transformaciones que permiten pasar un sistema a uno equivalente. Luego, detalla los pasos del método de Gauss para triangularizar un sistema y resolverlo de forma sencilla. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar el proceso.

1. “SISTEM
AS
LINEALES. EL
M
ÉTODO
DE
GAUSS”
JUAN
CARLOS
VILLEGAS
CI 24926573

2. ÍNDICE
Introducción Histórica
Sistema de Ecuaciones Lineales
La ecuación Lineal
Las siguientes son algunas transformaciones
que nos permiten pasar de un sistema lineal
a otros equivalente
Clasificación de los sistemas de ecuaciones
lineales
Esquematicamente lo anterior
Descripción del método de Gauss
El método de Gauss

3. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
CHARLES HERMITE (1822 – 1901), MATEMÁTICO FRANCÉS,
FUE PROFESOR EN LA FACULTAD DE CIENCIAS DE PARÍS.
REALIZÓ INVESTIGACIONES SOBRE LAS TEORÍAS DE LAS
FORMAS ALGEBRAICAS Y DESCUBRIÓ LA LEY DE RECIPROCIDAD
QUE LLEVA SU NOMBRE.

4. “SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”
ABORDAMOS AQUÍ SISTEMAS LINEALES CUALESQUIERA
COMO COMPLEMENTO A LO ESTUDIADO
RECIENTEMENTE. EL OBJETIVO ES FACILITAR AL ALUMNO
UNA MANERA SENCILLA Y SISTEMÁTICA DE RESOLVER
SISTEMAS LINEALES CON CUALQUIER NÚMERO DE
INCÓGNITAS.
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES EN LA PÁGINA
QUE COLOCARE A CONTINUACIÓN:
HTTP://OLMO.CNICE.MECD.ES/~JROL0022/EULER/POO
L/SIST2.PDF

5. LA ECUACIÓN LINEAL
ES UNA EXPRESIÓN DE LA FORMA A1X1 + A2X2
+...+ ANXN = B, DONDE A1, A2... AN SON
NÚMEROS CONOCIDOS LLAMADOS
COEFICIENTES; B ES OTRO NÚMERO
CONOCIDO LLAMADO TERMINO
INDEPENDIENTE, Y X1, X2,... XN SON LAS
INCÓGNITAS, ES DECIR, LOS VALORES A
DETERMINAR.
SISTEMAS LINEALES, PERO DE FORMA
DINÁMICA:
HTTP://ES.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/SISTEMA_DIN
%C3%A1MICO

6. EJEMPLO 1
2X + 3Y = -1; X – Y + 8Z = O SON ECUACIONES
LINEALES.
UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES, TALES
COMO:
(1) A11X1 + A12X2 +...+ A1NXN = B1
A21X1 + A22X2 +...+ A2NXN = B2
.........................................
AM1X1 + AM2X2 +...+ AMNXN=BM
SE LLAMA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
( EN ESTE CASO, DE M ECUACIONES CON N
INCÓGNITAS)

7. EJEMPLO 2
X – 2Y + 2Z – T = 1
2X + Y – Z + 4T =
-X + 3Z – 8T = 2
ES UN SISTEMA DE M = 3 ECUACIONES Y N = 4
INCÓGNITAS.
UNA SOLUCIÓN DEL SISTEMA LINEAL (1) ES UN
CONJUNTO DE N NÚMEROS ( S1, S2,..., SN) TALES
QUE, AL SUSTITUIRLOS EN LUGAR DE X1, X2,...,
XN, RESPECTIVAMENTE, ORIGINAN M
IDENTIDADES.

8. EJEMPLO 3
EN EL SISTEMA 2X – Y + 2Z = 5
X + 2Y = 5
3X + Y + Z = 10
LA TERNA ( 3, 1, 0), O BIEN X = 3
Y = 1
Z = 0
ES SOLUCIÓN, PUES AL SUSTITUIR X, Y, Z POR
DICHOS VALORES OBTENEMOS TRES
IDENTIDADES.

9. DOS SISTEMAS CON UN MISMO NÚMERO DE
INCÓGNITAS SON EQUIVALENTES SI TIENE
EXACTAMENTE LAS MISMAS SOLUCIONES ( EL
NÚMERO DE ECUACIONES PUEDE SER DISTINTO).
LO EXPRESAREMOS CON ESTE SÍMBOLO
VEREMOS LOS TIPOS DE RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS DE SISTEMAS LINEALES A
CONTINUACIÓN:
HTTP://WWW20.BRINKSTER.COM/FMARTINEZ/AL
GEBRA7.HTM

10. LAS SIGUIENTES SON ALGUNAS
TRANSFORMACIONES QUE NOS PERMITEN
PASAR DE UN SISTEMA LINEAL A OTROS
EQUIVALENTE
I. SI A LOS DOS MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN LINEAL
SE LE SUMA UN MISMO NÚMERO O UNA MISMA
EXPRESIÓN LINEAL SE OBTIENE OTRA ECUACIÓN
LINEAL EQUIVALENTE.
II. SI LOS DOS MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN LINEAL SE
MULTIPLICAN POR UN MISMO NÚMERO DISTINTO DE
CERO, SE OBTIENE OTRA ECUACIÓN LINEAL
EQUIVALENTE.
III. EL CAMBIO EN EL ORDEN DE SITUACIÓN DE LAS
ECUACIONES O DE LAS INCÓGNITAS NO AFECTA AL
CONJUNTO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES.
IV. SI EN UN SITEMA DE ECUACIONES LINEALES SE
SUPRIME O SE AÑADE UNA ECUACIÓN QUE SEA
COMBINACIÓN LINEAL DE LAS DEMÁS, SE OBTIENE
UN SITEMA EQUIVALENTE AL DADO

11. EJEMPLO 1
2X - Y = 4
X – Y = -1 2X – Y = 4
3X –2Y = 3 X – Y = 1
PUESTO QUE LA TERCERA ECUACIÓN ES LA SUMA DE LAS DOS
ANTERIORES Y NO IMPONE NINGUNA NUEVA CONDICIÓN.
PÁGINA DE SISTEMAS LINEALES:
http://www.matematicas.unal.edu.co/cursos/ecuadif/sislin.html

12. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
SEGÚN SEAN LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES,
ÉSTE PUEDE SER:
 INCOMPATIBLES: SI NO ADMITE SOLUCIÓN.
 COMPATIBLES: SÍ ADMITE SOLUCIÓN ( O SOLUCIONES). EN ESTE CASO
DISTINGUIREMOS:
- DETERMINADO: SI TIENE SOLUCIÓN ÚNICA
- INDETERMINADO: SÍ TIENE INFINITAS SOLUCIONES
HTTP://WWW.UNLU.EDU.AR/~MAPCO/APUNTES/230/MAPCO230.HTM

13. ESQUEMATICAMENTE LO ANTERIOR
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
INCOMPATIBLES COMPATIBLES
NO TIENE SOLUCIÓN TIENEN SOLUCIÓN
DETERMINADOS INDETERMINADOS
LA SOLUCIÓN ES ÚNICA TIENEN INFINITAS SOLUCIONES
DISCUTIR UN SISTEMA LINEAL ES AVERIGUAR SÍ ES
INCOMPATIBLE, DETERMINADO O INDETERMINADO

14. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE GAUSS
EL SISTEMA LINEAL DE M ECUACIONES Y N INCÓGNITAS
A11X1 + A12X2 +...+ A1NXN = B1
A21X1 + A22X2 +...+ A2NXN = B2
.........................................
AM1X1 + AM2X2 +...+ AMNXN = BM
PUEDE SER DESCRITO DE FORMA ABREVIADA MEDIANTE LA MATRIZ:
A11 A12 ...A1N B1
A21 A22 ... A2N B2
... ... ...
AM1 AM2 ... AMN BM

15. EJEMPLO
LA MATRIZ CORRESPONDE AL SISTEMA
5X + 2Y – 3Z = 51
4X + 7Y + 5Z = 5 ES
6X + 8Y = 3
5 2 –3 51
4 7 5 53
6 8 0 3

16. DIREMOS QUE UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES ES TRIANGULAR SI TODOS LOS
COEFICIENTES SITUADOS POR DEBAJO DE LA
DIAGONAL PRINCIPAL SON NULOS
EJEMPLO:
LOS SISTEMAS 3X – 5Y + 4Z – T = 6
Y – 3Z + 4T = 1
Z – T = 2
Y
5X – 4Y + Z = 4
2Y – Z = 1
Z = 2
ESTÁN ESCRITOS EN FORMA TRIANGULAR

17. EL MÉTODO DE GAUSS
EL MÉTODO DE GAUSS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES CONSISTE EN TRANSFORMAR UN SISTEMA EN
OTRO EQUIVALENTE CON FORMA TRIANGULAR, CUYA RESOLUCIÓN ES
SENCILLA.
PARA ELLO SE MANTIENE INVARIABLE LA PRIMERA ECUACIÓN Y SE
SUSTITUYEN LAS SIGUIENTES ECUACIONES POR LAS QUE RESULTAN DE
ELIMINAR LA PRIMERA INCÓGNITA ENTRE LA PRIMERA ECUACIÓN Y
CADA UNA DE LAS RESTANTES
A CONTINUACIÓN SE MANTENDRÁN INVARIABLES LAS ECUACIONES POR
LAS QUE SE OBTIENEN DE ELIMINAR LA SEGUNDA INCÓGNITA ENTRA LA
SEGUNDA ECUACIÓN Y CADA UNA DE LAS SIGUIENTES.
SE CONTINÚA ASÍ EL PROCESO HASTA OBTENER UN SISTEMA EN FORMA
TRIANGULAR

18. POR COMODIDAD Y PARA AHORRAR ASÍ UN
ESFUERZO INNECESARIO EFECTUAREMOS LAS
TRANSFORMACIONES DE EQUIVALENCIA SOBRE
EL DIAGRAMA EN VEZ DE HACERLO SOBRE EL
PROPIO SISTEMA
A CONTINUACIÓN INTRODUCIRÉ A UNA PÁGINA
DEL MÉTODO DE GAUSS PARA EXPLICARLO UN
POCO MÁS:
HTTP://THALES.CICA.ES/RD/RECURSOS/R
D99/ED99-0024-03/ED99-0024-03.HTML

19. EJEMPLO
REDUCIR A FORMA TRIANGULAR LOS
SIGUIENTES SISTEMAS:
• X + Y + Z = 3
X+ 2Y + 3Z = 2
X + 4Y + 9Z = - 2
SOBRE LA MATRIZ DEL SISTEMA ELIMINAMOS
LA X ENTRE LA PRIMERA ECUACIÓN Y LAS DOS
RESTANTES. PARA ELLO:
( m =3, n = 3)

20. 1 1 1 3 1 1 1 3
1 2 3 2 0 1 2 -1
1 4 9 -2 -F1 + F2 0 3 8 -5
-F1 + F3
AHORA ELIMINAMOS LA Y ENTRE LA SEGUNDA Y
LA TERCERA ECUACIÓN,
1 1 1 3 1 1 1 3
1 2 3 -1 0 1 2 -1
0 3 8 -5 -3 / 2 + F3 0 0 2 -2
OBTENEMOS ASÍ EL SISTEMA EQUIVALENTE EN
FORMA TRIANGULAR X + Y + Z = 3
Y + 2Z = -1
2Z = -2

21. -2X + Y + Z = 1
X – 2Y + Z = -2 (M = N = 3)
X + Y – 2Z = 4
-2 1 1 1 -2 1 1 1
1 -2 1 -2 0 -3 3 -3
1 1 -2 4 F1 + 2F2 0 3 -3 9 F2 + F3
F1 + 2F3
-2 1 1 1
0 -3 3 –3
0 0 0 6
OBTENIENDO EL SISTEMA TRIANGULAR EQUIVALENTE AL
ORIGINAL:
-2X + Y + Z = 1
-3Y + 3Z = -3
0 = 6

22. 2X + Y +Z = 1 (M = 2 N =3)
3X + Y – Z = 0
EFECTUANDO TRANSFORMACIONES:
2 1 1 1 2 1 1 1
3 1 -1 0 -3F1 + 2F2 0 –1 –5 -3
Y OBTENEMOS EL SISTEMA TRIANGULAR :
2X + Y + Z = 1
-Y – 5Z = -3