Los sistemas de numeración permiten representar números mediante símbolos y reglas. El documento describe los sistemas decimal, binario, octal y hexadecimal, explicando que cada sistema utiliza una base y que el valor de cada símbolo depende de su posición. También explica cómo realizar operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división en el sistema binario.

3. Un sistema de numeración es un conjunto de
símbolos y reglas que permi-ten representar
datos numéricos. Los sistemas de numeración
actuales son sistemas posicionales, que se
caracterizan porque un símbo-lo tiene distinto
valor según la posición que ocupa en la cifra.

5. El sistema de numeración que utiliza-mos habitualmente es el
decimal, que se compone de diez símbolos o dígi-tos
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo
de la posición que ocupen en la cifra:
unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base
10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos
del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que
ocupa el dígito menos uno, contando desde la de-recha.

7. El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno
(1).
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la
posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base
2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se
puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de
la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para
representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se
calcula así:
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11

9. El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de
algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros
sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema
octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil
convertir un número binario a octal o a hexadecimal.
En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante
ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene,
naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu-gar que ocupen. El
valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias
de base 8.
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738 = 149610

11. En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis
símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los
caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima-les 10,
11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores
que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos
depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante
potencias de base 16.
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal
1A3F16:
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910

13. La conversión de un número octal a decimal es igualmente
sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra
octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal
basta con desarrollar el valor de cada dígito:
2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910

14. Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD Exceso 3 Gray o Reflejado
0 0000 0 0 0000 0000
1 0001 1 1 0001 0001
2 0010 2 2 0010 0011
3 0011 3 3 0011 0011 0010
4 0100 4 4 0100 0100 0110
5 0101 5 5 0101 0101 0111
6 0110 6 6 0110 0110 0101
7 0111 7 7 0111 0111 0100
8 1000 8 10 1000 1000 1100
9 1001 9 11 1001 1001 1101
10 1010 A 12 0001 0000 1010 1111
11 1011 B 13 0001 0001 1011 1110
12 1100 C 14 0001 0010 1100 1010
13 1101 D 15 0001 0011 1011
14 1110 E 16 0001 0100 1001
15 1111 F 17 0001 0101 1000

15. Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que
memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos
dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que
en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:
Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:
+ 0 1
0 0 1
0 + 0 = 0
1 1 0+1 0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en
binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la
posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:
010 + 101 = 111 210 + 510 = 710
001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010
1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110
110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

16. La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el
sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para
comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la
resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
- 0 1
0 0 1 0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 1+1 0 1 – 1 = 0
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la
posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse,
sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:
111 – 101 = 010 710 – 510 = 210
10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710
11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610
111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410

17. La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración.
Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo
puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son
muy fáciles de aprender:
En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se
realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en
x 0 1 la programación porque cada suma de dos UNOS origina un
0 0 0 arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de
arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma
1 0 1 es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los
arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.
Para comprobar que el resultado es correcto,
convertimos los factores y el resultado al
sistema decimal:
3349 * 13 = 43537

18. Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el
cociente otras cifras que UNOS y CEROS.
Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:
Se intenta dividir el dividendo por el divisor,
empezando por tomar en ambos el mismo número de
cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede
dividirse, se intenta la división tomando un dígito más
(1001 entre 100).
Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá
estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la
primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el
resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio
divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y
bajamos la cifra siguiente.
El procedimiento de división continúa del mismo
modo que en el sistema decimal.