El documento describe los sistemas de numeración decimal, binario, hexadecimal y octal. Explica cómo representar números en cada sistema y cómo realizar conversiones entre ellos, incluyendo operaciones aritméticas como suma y resta.

1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
• Polinomio general (número de cualquier
base).
• Sistema: decimal, octal, hexadecimal y
binario.
• Operaciones aritméticas (métodos
generales): suma , resta multiplicación y
división; para un número de cualquier base.
• Complementos y resta por complementos en
binario.

2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un número expresado en un sistema de base r tiene coeficientes
multiplicados por potencias de r:
𝑎 𝑛−1 × 𝑏 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 × 𝑏 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎1 × 𝑏1
+ 𝑎0 × 𝑏0
+ 𝑎−1 × 𝑏−1
+ ⋯ + 𝑎− 𝑝−1 × 𝑏− 𝑝−1 + 𝑎−𝑝 × 𝑏−𝑝
Dónde:
• b: base del sistemas numérico
• a: dígitos que se puede usar dentro del sistemas numérico
• n: número de dígitos a la izquierda de la coma (fraccionarios)
• p: número de dígitos a la derecha de la coma

3. Sistema decimal (base 10)
Está compuesto de 10 dígitos o símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y con
ellos podemos expresar cualquier cantidad.
Es un sistema de valor posicional, ya que el valor de un dígito depende
de la posición en la que se encuentre. Así
Para contar en este sistemas se toma desde el cero (0) hasta el nueve (9), una vez
en nueve se reinicia en esa posición y se comienza a la derecha con un uno (1)
2 3 2 3 2 centenas más 3 decenas más 2 unidades más
3 décimas
200+30+2+0.3
102
101
100
10−1
0 10 20 100
1 11 21 101
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
9 19 99 1000
,

4. Sistema binario (base 2)
Es un sistemas utilizado en casi todos los sistemas digitales como el
sistemas básico de operaciones.
Solo hay dos símbolos: 0 y 1. Aun así se puede representar cualquier
cantidad que pueda representarse en decimal. Sin embargo se requeriría
de un mayor número de dígitos binarios.
De la misma manera este sistema es posicional.
1 0 1 1 1 ∗ 23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 =
111023
22
21
20
Para contar se lo hace de la misma manera que en decimal solo que
ahora solo hay 2 dígitos.

5. Sistema hexadecimal (base 16)
Tiene 16 símbolos para representar cantidades: 0 al 9 más las letras A,
B, C, D, E, F. Las posiciones de los dígitos se ponderan como potencias
de 16.
A B 2 F 10 × 163
+ 11 × 162
+ 2 × 161
+ 15 × 160
= 4382310
163
162
161
160
Para contar en hexadecimal, puede incrementarse en uno en la posición
de cada dígito desde 0 hasta F. Una vez en F, se restablece a 0 y se
incrementa la posición del dígito a la izquierda.
0 10 20 100
1 11 21 101
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
E 1E FE FFF
F 1F FF 1000

6. Sistema octal (base 8)
Tiene 8 símbolos para representar cantidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Las
posiciones de los dígitos se ponderan como potencias de 8.
7 3 2 5 7 × 83
+ 3 × 82
+ 2 × 81
+ 5 × 80
= 37971083
82
81
80
Para contar en octal, puede incrementarse en uno en la posición de cada
dígito desde 0 hasta 7. Una vez en 7, se restablece a 0 y se incrementa
la posición del dígito a la izquierda.
0 10 20 100
1 11 21 101
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
6 16 76 777
7 17 77 1000

7. TRANSFORMACIONES
Decimal a Binario.- se realizan divisiones sucesivas para 2
41 2
1 20 2
0 10 2
0 5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
Se toma los
dígitos de
esta forma
Hacerlo hasta que el cociente sea 0
4110 = 1010012
25 2
1 12 2
0 6 2
0 3 2
1 1 2
1 0
2510 = 110012

8. Decimal a octal.- se realizan divisiones sucesivas para 8 (enteros) o multiplicaciones por 8 (fraccionarios)
153 8
1 19 8
3 2 8
2 0
Se toma los
dígitos de
esta forma
Hacerlo hasta que el cociente sea 0
15310 = 2318
0.6875 𝟏𝟎 =
0.54 8
0.6875*8 = 5.5
0.5*8 = 4
Se toma la parte entera de
los productos
Hacerlo hasta que el producto sea
entero o hasta que se considere
suficiente

9. Decimal a hexadecimal.- se realizan divisiones sucesivas para 16 (enteros) o multiplicaciones por 16
(fraccionarios)
423 16
7 26 16
10 1 16
1 0
Se toma los
dígitos de
esta forma
Hacerlo hasta que el cociente sea 0
42310 = 1𝐴716
0.113328125 𝟏𝟎= 0.1D 8
0.113328125*
8
= 1.8125
0.8125*8 = 13
Se toma la parte entera de
los productos
Hacerlo hasta que el producto sea
entero o hasta que se considere
suficiente

10. Binario a decimal.- Se utiliza el concepto de sistema ponderado
101010102 = 0 × 20
+ 1 × 21
+ 0 × 22
+ 1 × 23
+ 0 × 24
+ 1 × 25
+ 0
× 26
+ 1 × 27
= 0 + 2 + 8 + 32 + 128
= 17010
Binario a octal.- hay que agrupar la cantidad binaria en grupos de tres desde la derecha y
si es el caso en el último grupo de la izquierda completarlo con ceros.
101 110 100 010 011
5 6 4 2 3
Para hacerlo con facilidad basta ayudarse de la
tabla que se muestra, pero también hay que saber
que los dígitos octales se pasan a binario
individualmente como decimales.
𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝟐 = 564238
Octal Binario
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

11. Binario a octal.- hay que agrupar la cantidad binaria en grupos de cuatro desde la
derecha y si es el caso en el último grupo de la izquierda completarlo con ceros.
0101 1101 1000 0100
5 13 8 4
Para hacerlo con facilidad basta ayudarse de la tabla
que se muestra, pero también hay que saber que los
dígitos hexadecimales se pasan a binario
individualmente como decimales.
𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎 𝟐 = 5𝐷8416
Hexadeci
mal
Binario
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111

12. Hexadecimal a decimal.- se debe remplazar el valor de las letras si las hubiere, por
números del mismo valor en decimal y usar el concepto de un sistema ponderado.
A B 2 F 10 × 163
+ 11 × 162
+ 2 × 161
+ 15 × 160
= 4382310
163 162 161 160
0 A E 5 0 × 160
+ 10 × 16−1
+ 14 × 16−2
+ 5
× 16−3
≈ 0,680908210
16 𝟎 16−1
16−2
16−3
,
𝐴𝐵2𝐹16 = 43823 10
0, 𝐴𝐸516 = 0,680908210

13. Hexadecimal a binario.- Tomamos en cuenta el valor en decimal que tienen los dígitos
hexadecimales y los pasamos a binario de uno en uno para completar grupos de cuatro, si
no, añadimos ceros a la izquierda (enteros) y derecha (fraccionarios) para completar los
grupos de cuatro dígitos. O nos podemos ayudar de la tabla.
Hexadeci
mal
Binario
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
9 D B A 5
1001 1101 1011 1010 0101
𝟗𝑫𝑩𝑨𝟓 𝟏𝟔 = 100111011011101001012
5 F E
0101 1111 1110
𝟓, 𝑭𝑬 𝟏𝟔 = 101,11111112
,
NOTA: Los ceros, a la izquierda en enteros y a la
derecha en fraccionarios , no afectan el valor de la
cantidad.

14. Hexadecimal a octal.- hay que pasar el numero hexadecimal a binario para luego pasarlo a
octal.
9 D B A 5
1001 1101 1011 1010 0101
100111011011101001012
𝟗𝑫𝑩𝑨𝟓 𝟏𝟔 = 23556458
010 011 101 101 110 100 101
2 3 5 5 6 4 5

15. Octal a decimal.- se debe usar el concepto de un sistema ponderado.
7 0 2 1 7 × 83
+ 0 × 82
+ 2 × 81
+ 1 × 80
= 36011083 82 81 80
0 7 4 5 0 × 80
+ 7 × 8−1
+ 4 × 8−2
+ 5 × 8−3
≈ 0,947265610𝟖 𝟎 8−1
8−2
8−3
,
70218 = 3601 10
0,74516 = 0,947265610

16. Octal a binario.- pasamos a binario de uno en uno para completar grupos de tres, si no,
añadimos ceros a la izquierda (enteros) y derecha (fraccionarios) para completar los
grupos de tres dígitos. O nos podemos ayudar de la tabla.
4 7 3 2 1
100 111 011 010 001
𝟒𝟕𝟑𝟐𝟏 𝟖 = 1001110110100012
5 3 2
101 011 010
𝟓, 𝟑𝟐 𝟖 = 101,011012
,
NOTA: Los ceros, a la izquierda en enteros y a la
derecha en fraccionarios , no afectan el valor de la
cantidad.
Octal Binario
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

17. Octal a hexadecimal.- hay que pasar el numero octal a binario para luego pasarlo a
hexadecimal.
1001 1101 1011 1010 0101
9 D B A 5
𝟐𝟑𝟓𝟓𝟔𝟒𝟓8 = 9𝐷𝐵𝐴516
2 3 5 5 6 4 5
010 011 101 101 110 100 101
100111011011101001012

18. OPERACIONES ARITMETICAS
Suma.- de manera general, si la suma de los dígitos en la misma posición excede a un múltiplo de
la base del sistema en que se lo hace, se escribe el exceso y se lleva las veces en que ese
resultado excede a la base.
1 1 1
1 0 1 1 0
+ 1 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1
Base 2
llevo
1+1+1=3
Excede en 1 a 2
(2x1), y lo hace
1 vez (2/2=1)
1+1=2
Excede en 0 a 2
(2x1), y lo hace
1 vez (2/2=1)

19. 1 1 1
6 7 7 1
+ 7 4 3 1
1 6 4 2 2
Base 8
llevo
1+7+4=12
Excede en 4 a 8
(8x1), y lo hace
1 vez
7+3=10
Excede en 2 a 8
(8x1), y lo hace
1 vez
1 1 1
6 C D A
+ F F E 1
1 6 C B B
Base 16
llevo
1+12+15=28
Excede en 12 a
16 (16x1), y lo
hace 1 vez
13+14=27
Excede en 11 a
16 (16x1), y lo
hace 1 vez

20. +2 +2 +2 +2
1 0 0 0 0 1
1 1 1 1
1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 0
He pagado 1.
1+1=2
0<2, le añado la
base (+2)
Sin olvidarse de
pagar
0<1, le añado la
base (+2)
2-1=1
Sin olvidarse de
pagar.
Resta.- se resta dígitos de la misma posición, si el digito del minuendo es menor, se le añade el
número base y se le paga al digito de la siguiente posición del sustraendo sumándose los dos
valores, para luego comparar nuevamente.
Base 2
-

21. +8 +8
2 1 3 1
1 1
3 4 0
1 5 7 1
He pagado 1.
1+3=4
1<4, le añado la
base (+8)
(8+1)-(1+3)=5
Sin olvidarse de
pagar
3<4, le añado la
base (+8)
(8+3)-4=7
Sin olvidarse de
pagar.
Base 8
-
+16 +16
A 2 3 1
1 1
B B 1
9 6 8 0
He pagado 1.
1+11=12
2<12, le añado
la base (+16)
(16+2)-(1+11)=6
Sin olvidarse de
pagar
3<11, le añado
la base (+16)
(16+3)-11=8
Sin olvidarse de
pagar.
Base 16
-

22. Multiplicación.- si el producto sobrepasa la base, se escribe lo que sobrepasa y se lleva tantas
veces contiene el producto a la base. Se utiliza el procedimiento común para una suma.
1 1 1 1
x 1 0 1
1 1 1 1
+ 0 0 0 0
1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1
Base 2

23. 3 9
3 A
x F
3 6 6
llevo
AxF=150
150-(16x9)=6
Escribo el 6 y llevo 9
Base 8 Base 16
3 6
3 7
x 7
3 3 1
llevo
7 x 7 = 49
49 - (8 x 6) = 1
Escribo el 1 y llevo 6

24. COMPLEMENTOS
Complemento r-ésimo
𝑟 𝑛
− 𝑁 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 ≠ 0
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 = 0
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 10 𝑑𝑒 1234510 = (100000 − 12345)10= (87655)10
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 2 𝑑𝑒 1001002 = (1000000 − 100100)2= (011100)2
• El complemento de 2 se puede obtener dejando intactos los 0 menos significativos y el
primer 1 menos significativo y cambiando todos los demás 1 por 0 y los 0 por 1.
• El complemento de 10 se puede obtener restando el digito menos significativo de 10 y los
siguientes de 9.
r: base del sistema numérico
n: número de dígitos de N

25. Resta con complemento a 2
Sean M y N números binarios, si se realiza M-N, hay que hallar el
complemento a 2 de N y sumarle con M.
¿Existe acarreo final?
• Si: El resultado de M-N es el resultado de la suma sin tomar en
cuenta el acarreo y es positivo
• No: Se halla el complemento a 2 del resultado y la respuesta es
negativa.

27. Complemento (r-1)-ésimo
𝑟 𝑛
− 𝑟 𝑚
− 𝑁 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 ≠ 0
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 = 0
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 9 𝑑𝑒 1234510 = (99999 − 12345)10= (87654)10
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 2 𝑑𝑒 1001002 = (111111 − 100100)2= 011011)2
Se resta cada dígito del dígito mayor del sistema que se use.
r: base del sistema numérico
n: número de dígitos enteros de N
m: número de dígitos fraccionarios de N

28. Resta con complemento a 1
Sean M y N números binarios, si se realiza M-N, hay que hallar el
complemento a 1 de N y sumarle con M.
¿Existe acarreo final?
• Si: se agrega 1 al dígito menos significativo que se obtuvo en la
suma y ese es el resultado de M-N.
• No: Se halla el complemento a 1 del resultado y la respuesta es
negativa.