SISTEMAS DE NUMERACION

1. Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración . 1
2. SISTEMAS Y CÓDIGOS DE NUMERACIÓN
Un Sistema de numeración es un conjunto de símbolos empleados para
representar información numérica.
El alfabeto o conjunto de símbolos que disponemos depende de la Base de
dicho sistema de numeración.
SISTEMA BINARIO (0,1)
SISTEMA DECIMAL (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
SISTEMA OCTAL (0,1,2,3,4,5,6,7)
SISTEMA HEXADECIMAL (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)
Cualquier número tiene su representación en una base b de la forma
(XnXn-1...X1X0)b,
cuyo valor numérico es:
(N)b = Xn*bn
+ Xn-1*bn-1
+...+ X1*b1
+ X0*b0
CONVERSIÓN DE BASES
MÉTODO POLINÓMICO
Expresa el número de la base fuente como un polinomio
Se evalúa dicho polinomio según la aritmética de la base destino
La parte decimal se trata igual que la entera salvo que los
exponentes de las bases son negativos
(N)b = Xn*bn
+ … + X0*b0
+ … + X-q*b-q
= n Xi*bi
Útil cuando la base destino sea la decimal

2. Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración . 2
MÉTIDO ITERATIVO
La parte entera se divide por b
El resto es el dígito menos significativo
Se repite con el cociente
La parte decimal se multiplica por b
La parte entera de la multiplicación es el dígito más significativo
Se repite con la parte decimal
Útil si la base fuente es la decimal
Xn*bn
+ … + X1*b1
+ X0*b0
/b
Xn*bn-1
+ … + X1*b0
+ X0*b-1
Xn*bn-1
+ … + X1*b0
X0
X-1*b-1
+ X-2*b-2
+ … + X-q*b-q
*b
X-1*b0
+ X-2*b-1
+ … + X-q*b1-q
X-2*b-1
+ … + X-q*b1-q
X-1

3. Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración . 3
CONVERSIÓN DE BINARIO A OCTAL (HEXADECIMAL) Y VICEVERSA
8 = 23
(16 = 24
)
11 2 1
5 2 1
2 2 0
11 8 3
1 2 1 1 8 1
11 16 B
0 2 0 8 0 16
Base
Binaria 0 0 1 0 1 1
Octal 1 3
Hexadecimal B
En el Sistema binario de numeración (0,1)
• Cada dígito se denomina bit
• Un código de 4 símbolos o bits se denomina Nibble
• Un código de 8 símbolos o bits se denomina Byte
• Dos bytes, 16 bits son una palabra o Word
• Cuatro bytes, 32 bits son una palabra doble o Double-Word
• Ocho bytes, 64 bits son una Quadruple-Word
• MSB: Most Significative Bit, bit más significativo
• LSB: Least Significative Bit, bit menos significativo

4. Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración . 4
CÓDIGOS
CODIFICACIÓN es la relación biunívoca entre el alfabeto fuente y el alfabeto
destino.
CÓDIGOS CON PESO (PONDERADOS) son códigos de la forma
Xn*Wn + Xn-1*Wn-1 + … + X1*W1
Representado por Xn Xn-1 … X1 y el Vector peso Wn Wn-1 … W1
CÓDIGOS AUTOCOMPLEMENTANTES son código cuyas palabras
correspondientes a D y 9-D tienen los 1´s cambiados por 0´s y viceversa.
0011 PARA 0
1100 PARA 9
CÓDIGOS PROGRESIVOS códigos en los que las combinaciones
correspondientes a números decimales consecutivos son adyacentes, es decir, se
diferencian solo en un bit
CÓDIGOS PROGRESIVOS CÍCLICOS son códigos progresivos en los que la
última combinación es adyacente a la primera.
Decimal Binario Jhonson GRAY
0 0000 00000 0000
1 0001 00001 0001
2 0010 00011 0011
3 0011 00111 0010
4 0100 01111 0110
5 0101 11111 0111
6 0110 11110 0101
7 0111 11100 0100
8 1000 11000 1100
9 1001 10000 1101
10 1010 1111
11 1011 1110
12 1100 1010
13 1101 1011
14 1110 1001
15 1111 1000
DISTANCIA DE HAMMING es el número de dígitos en que difieren dos
palabras de código

5. Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración . 5
CÓDIGOS BCD.- Decimal Codificado en Binario
EJEMPLOS DE CÓDIGOS BCD
Natural Exceso 3 Aiken 5421DÍGITO
DECIMAL 8 4 2 1 2 4 2 1 5 4 2 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
3 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
5 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0
6 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
7 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
8 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1
9 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0
Códigos Alfanuméricos, como el ASCII (American Standard Code for
Information Interchange), ejemplo con 6 bits

7. Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración . 7
CÓDIGOS DETECTORES DE ERRORES
SON CÓDIGOS CON INFORMACIÓN SOBRE LA POSIBILIDAD DE UN ERROR
ADICIÓN DE BIT DE PARIDAD A UN CÓDIGO NO DETECTOR
2-out-of-5 Biquinario Binario con paridad
5 0 4 3 2 1 0 b3 b2 b1 b0 p
0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
3 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
4 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1
5 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
6 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
7 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
8 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
9 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
CUALQUIER CÓDIGO DE DETECCIÓN DE FALLO EN UN SOLO BIT DEBE TENER AL MENOS UNA
DISTANCIA DE DOS ENTRE CUALESQUIERA DOS PALABRA DE CÓDIGO.
LAS PALABRAS CON UNA DISTANCIA MÍNIMA DE DOS SE PUEDEN USAR COMO CÓDIGOS DE
DETECCIÓN DE ERROR EN UN BIT.

8. Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración . 8
CÓDIGOS CORRECTORES DE ERRORES
SE AÑADEN VARIOS BITS DE PARIDAD (O CHEQUEO) TAL QUE EL ERROR EN UN BIT DETERMINADO
DA UNA COMBINACIÓN ÚNICA DE LOS BITS DE PARIDAD.
CON K BITS DE PARIDAD, UN CÓDIGO CORRECTOR DE ERROR PUEDE TENER COMO MÁXIMO UNA
PALABRA DE 2K-1 BITS
LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE CUALQUIER CONJUNTO DE PALABRAS
BINARIAS SEA UN CÓDIGO CORRECTOR DE UN ERROR EN UN SOLO BIT, ES QUE LA DISTANCIA
MÍNIMA ENTRE ELLAS SEA DE TRES.
C1 C2 M3 C4 M5 M6 M7
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 1 0 1 0
3 1 0 0 0 0 1 1
4 1 0 0 1 1 0 0
5 0 1 0 0 1 0 1
6 1 1 0 0 1 1 0
7 0 0 0 1 1 1 1
8 1 1 1 0 0 0 0
9 0 0 1 1 0 0 1