Este documento proporciona información sobre sólidos de revolución como cilindros y conos. Define un cilindro como un sólido generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, y proporciona fórmulas para calcular su área lateral, área total y volumen. También define un cono como un sólido generado por la rotación de un triángulo rectángulo y ofrece fórmulas para calcular su área lateral y volumen. A continuación, presenta varios ejemplos numéricos

1. SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN
COMPETENCIA:
RESUELVE PROBLEMAS
DE FORMA, MOVIMIENTO
Y LOCALIZACIÓN
UNIDAD N°6 – SEMANA 6 – III BIMESTRE
PROPÓSITO:
Establecer relaciones entre las características de objetos reales o imaginarios con formas
tridimensionales como sólidos de revolución, para luego combinar estrategias heurísticas
para determinar sus áreas y volúmenes.
r
A
B
O

2. ¿QUÉ ES UN CILINDRO?
Un cilindro es un sólido de revolución que se genera por la rotación de 360o de un rectángulo tomando
como eje de giro uno de sus lados.
Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 = 𝑷𝑬𝑹Í𝑴𝑬𝑻𝑹𝑶𝑩𝑨𝑺𝑬 𝒙 𝑨𝑳𝑻𝑼𝑹𝑨
Perímetro de la base
ÁREALATERAL = 2. π. r . h
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 + 𝟐. Á𝑹𝑬𝑨𝑩𝑨𝑺𝑬
Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 = 𝝅. r2
ÁREATOTAL = 2. π. r . h + 2. 𝜋.r2
ÁREATOTAL = 2. π. r ( h + r )
VOLUMEN = Á𝐑𝐄𝐀𝐁𝐀𝐒𝐄 𝐱 𝐀𝐋𝐓𝐔𝐑𝐀
VOLUMEN = 𝜋. r2. h

3. 1. Se tiene un envase de forma de cilindro recto, calcular el área lateral, área total y el
volumen.
Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 = 𝝅. r2 𝝅 = 3,14
Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 = (3,14). (20 cm)2
Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 = (3,14). 400 cm2
Á𝐑𝐄𝐀𝐁𝐀𝐒𝐄 = 𝟏𝟐𝟓𝟔 cm2
Á𝐑𝐄𝐀𝐋𝐀𝐓𝐄𝐑𝐀𝐋 = 𝟐. 𝝅. 𝐫 . 𝐡
ÁREALATERAL = 2. 3,14 . 20 cm . (80 cm)
ÁREALATERAL = 10 048 cm2
ÁREATOTAL = 10 048 cm2 + 2. (1256 cm2)
Á𝐑𝐄𝐀𝐓𝐎𝐓𝐀𝐋 = Á𝐑𝐄𝐀𝐋𝐀𝐓𝐄𝐑𝐀𝐋 + 𝟐. Á𝐑𝐄𝐀𝐁𝐀𝐒𝐄
ÁREATOTAL = 10 048 cm2 + 2512 cm2
ÁREATOTAL = 12 560 cm2
VOLUMEN = Á𝐑𝐄𝐀𝐁𝐀𝐒𝐄 𝐱 𝐀𝐋𝐓𝐔𝐑𝐀
VOLUMEN = 1256 cm2 x 80 cm
VOLUMEN = 100 480 cm3
= 100,480 Litros
80 cm
20 cm

4. Situación 1
Un fabricante de fluorescentes se olvidó
cuánto gas argón, a condiciones normales de
presión y temperatura, debe poner dentro de
un fluorescente tubular como el mostrado en
la imagen. Solo recuerda que tiene 150 π cm2
de superficie de vidrio. ¿Qué debería hacer?
¿Cuánto será el gas que empleará? (π ≈ 3,14)
Solución
Como el área lateral es 150 𝝅 cm2 , entonces
calculamos el radio:
Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 = 𝟐𝝅 . 𝒓. 𝒉
𝟏𝟓𝟎 𝝅 = 𝟐𝝅 . 𝒓. 𝟔𝟎
𝒓 =
𝟏𝟓𝟎 𝝅
𝟐 𝝅. 𝟔𝟎
𝒓 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝒄𝒎
Calculamos el volumen del gas con el
radio (1,25cm) y la altura (60cm):
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝝅. 𝒓𝟐 . 𝒉
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟑, 𝟏𝟒(𝟏, 𝟐𝟓)𝟐
𝒙 𝟔𝟎
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟐𝟗𝟒, 𝟓𝟕𝟓 𝒄𝒎𝟑
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 ≈ 𝟐𝟗𝟓 𝒄𝒎𝟑
En el interior del fluorescente se
empleará 294 cm3 de gas argón.

5. Situación 2
El vaso ceremonial de la cultura Chavín. era hecho de
antracita. Las dimensiones externas de un vaso
ceremonial de forma cilíndrica son las siguientes: 15 cm
de alto y 10 cm de diámetro en la base. Con esta
información, se desea obtener algunos datos del
recipiente. ¿Cuánta área representa la superficie
exterior del vaso ceremonial? ¿Y cuántos mililitros de
líquido podría contener a su máxima capacidad?
Solución
D = 10 cm
Si el diámetro es 10 cm.:
𝑟 =
10
2
= 5 𝑐𝑚
Para calcular el área de la
superficie exterior del vaso (área
total), es necesario notar que el
vaso posee una sola base:
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 + Á𝑹𝑬𝑨𝑩𝑨𝑺𝑬
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟐𝝅. 𝒓. 𝒉 + 𝝅. 𝒓𝟐
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟐 𝟑, 𝟏𝟒 𝟓 𝟏𝟓 + 𝟑, 𝟏𝟒. (𝟓)𝟐
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟒𝟕𝟏 + 𝟕𝟖, 𝟓
El área que ocupa la superficie exterior
del vaso es 549,5 cm2.
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟓𝟒𝟗, 𝟓 𝒄𝒎𝟐
Para hallar la capacidad del vaso, calculamos el
volumen del sólido geométrico, considerando el
diámetro y altura interior
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = Á𝑹𝑬𝑨𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒉
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝝅. 𝒓𝟐 . 𝒉
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟑, 𝟏𝟒(𝟒)𝟐 𝒙 𝟏𝟒
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟕𝟎𝟑, 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟑
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟕𝟎𝟑, 𝒎𝑳
h = 15 cm
d = 8 cm
h = 14 cm
La máxima capacidad del vaso es de
703 mililitros.

6. Situación 3
Juan desea envolver con cinta blanca alrededor de una vela.
¿Cuál será el área mínima de la cinta blanca alrededor de la
vela, sabiendo que el diámetro de la vela es 12 cm y su altura
20 cm?
Solución
La cinta va a cubrir el área lateral de la vela
Diámetro = 12 cm radio = 6 cm
altura = 20 cm
Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 = 𝟐𝝅 . 𝒓. 𝒉
Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 = 𝟐(𝟑, 𝟏𝟒)(𝟔 𝒄𝒎)(𝟐𝟎 𝒄𝒎)
Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 = 𝟕𝟓𝟑, 𝟔 cm2
El área mínima de cinta
que cubrirá el área lateral
de la vela es 753,6 cm2.

7. Situación 4
Si necesitamos enviar un regalo en un envase cilíndrico, cuyo
diámetro es de 60 cm y su altura es de 90cm. ¿Cuántos pliegos de
papel de regalo necesitare para forrarlo, si el pliego de papel tiene
50cm de ancho y 70cm de largo?
Solución
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟐𝝅. 𝒓. 𝒉 + 𝟐𝝅. 𝒓𝟐
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟐(𝟑, 𝟏𝟒)(𝟑𝟎)(𝟗𝟎) + 𝟐(𝟑, 𝟏𝟒). (𝟑𝟎)𝟐
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟏𝟔𝟗𝟓𝟔 + 𝟓𝟔𝟓𝟐
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟐𝟐 𝟔𝟎𝟖 cm2
50 cm
70 cm
Á𝑹𝑬𝑨𝒑𝒂𝒑𝒆𝒍 = 𝟓𝟎 𝒙 𝟕𝟎
Á𝑹𝑬𝑨𝒑𝒂𝒑𝒆𝒍 = 𝟑𝟓𝟎𝟎 cm2
Nº pliegos de papel =
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
Nº pliegos de papel =
𝟐𝟐 𝟔𝟎𝟖 cm2
𝟑𝟓𝟎𝟎 cm2
Nº pliegos de papel = 6,46
Necesitaré 7 pliegos de
papel de regalo
≈ 𝟕
Á𝑹𝑬𝑨𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 + 𝟐Á𝑹𝑬𝑨𝑩𝑨𝑺𝑬

8. Si cortamos un tubo de carton de 40 cm de largo, su desarrollo resulta un rectángulo
de 2512 cm2 . ¿Cuánto mide el radio de dicho tubo y el largo del rectángulo?
x cm
2512 cm2
40 cm
Á𝑹𝑬𝑨𝑳𝑨𝑻𝑬𝑹𝑨𝑳 = 𝟐𝝅 . 𝒓. 𝒉
2512 = 𝟐(𝟑, 𝟏𝟒) . 𝒓. (𝟒𝟎)
2512
𝟐(𝟑,𝟏𝟒)(𝟒𝟎)
= r
r = 10 cm
Á𝑹𝑬𝑨𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟒𝟎. 𝒙
2512 = 𝟒𝟎𝒙
62,8 cm = 𝒙
Situación 5
El radio del tubo mide 10 cm y
el largo del rectángulo es de
62,8 cm
Solución
2512
𝟒𝟎
= x
r

9. ¿QUÉ ES UN CONO?
Un cono es un sólido de revolución que se genera
al rotar 360° un triángulo rectángulo en torno a
uno de sus catetos.
ÁREA LATERAL:
Á𝑅𝐸𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 = π. 𝑟. 𝑔
ÁREA TOTAL:
Á𝑅𝐸𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = Á𝑅𝐸𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 + Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
VOLUMEN:
V =
1
3
Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 x 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
ALTURA
BASE
GENERATRIZ
Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 = 𝝅. r2
h
r
g
Á𝑅𝐸𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = π. 𝑟. 𝑔 + π. 𝑟2
Á𝑅𝐸𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 =
𝒈
𝒈
RADIO
𝑽 =
𝝅. 𝒓𝟐
. 𝒉
𝟑
𝐿𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟.𝑔
2
=
2π.𝑟.𝑔
2

10. 1. Pedro preparó unos chocolates en forma de cono con las medidas que se indican.
Ahora, quiere envolverlos con papel platino. ¿Cuál será la superficie que cubrirá la
envoltura?¿y el volumen del chocolate?
Á𝐑𝐄𝐀𝐋𝐀𝐓𝐄𝐑𝐀𝐋 = 𝛑. 𝐫. 𝐠
Á𝑅𝐸𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 = 3,14 x 3 𝑐𝑚 𝑥 9 𝑐𝑚
Á𝑅𝐸𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 = 84,78 cm2
Á𝐫𝐞𝐚𝐁𝐀𝐒𝐄 = 𝝅 𝒙 𝟑𝟐
Á𝐑𝐄𝐀𝐓𝐎𝐓𝐀𝐋 = Á𝐑𝐄𝐀𝐋𝐀𝐓𝐄𝐑𝐀𝐋 + Á𝐑𝐄𝐀𝐁𝐀𝐒𝐄
Á𝑅𝐸𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 84,78 cm2 + 28,26 cm2
Á𝑅𝐸𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 113,04 cm2
VOLUMEN =
𝟏
𝟑
Á𝐑𝐄𝐀𝐁𝐀𝐒𝐄 𝐱 𝐀𝐋𝐓𝐔𝐑𝐀
VOLUMEN =
28,26 cm2
x 𝟔 𝟐cm
3
VOLUMEN = 79,7 cm3
𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝒈𝟐
Determinamos el valor del radio de la
base:
𝒓𝟐 + 𝟔 𝟐
𝟐
= 𝟗𝟐
𝒓𝟐 = 𝟗 𝒓 = 𝟑 𝒄𝒎
𝐠 = 𝟗 𝒄𝒎
𝒓
𝒉 = 𝟔 𝟐 𝒄𝒎
𝒓𝟐
+ 𝟕𝟐 = 𝟖𝟏
Por Teorema de Pitágoras
Á𝐫𝐞𝐚𝐁𝐀𝐒𝐄 = 3,14 x 9 = 28,26 cm2
Solución

11. 2. Se tiene el desarrollo del área lateral de un cono
maceta en cartulina.
a) Determinar el radio de la base del cono y su
altura.
b) Determinar la cantidad de cartulina que se
necesita.
c) ¿Qué cantidad de tierra de cultivo se necesitan
para llenar el cono maceta?
𝜶° = 𝟐𝟏𝟔°
𝒓 =
𝟐𝟏𝟔°. 𝟏𝟎𝒄𝒎
𝟑𝟔𝟎°
Solución
El perímetro de la
base del cono
Longitud de arco
del desarrollo
=
2 𝝅. r =
2𝝅.𝑔.𝜶°
𝟑𝟔𝟎°
r =
g.𝛂°
𝟑𝟔𝟎°
El radio de la base del cono
es de 6 cm.
𝒓 = 𝟔𝒄𝒎

12. Construimos el cono y por Teorema de
Pitágoras calculamos la altura
𝒈 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎
𝒓 = 𝟔cm
𝐡
𝒓𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝒈𝟐
𝟔𝟐 + 𝒉𝟐 = 𝟏𝟎𝟐
𝟑𝟔 + 𝒉𝟐
= 𝟏𝟎𝟎
𝒉𝟐 = 𝟔𝟒
𝒉 = 𝟖 𝒄𝒎
Calculo del área lateral:
Á𝐑𝐄𝐀𝐋𝐀𝐓𝐄𝐑𝐀𝐋 = 𝛑. 𝐫. 𝐠
Á𝑅𝐸𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 = 3,14 x 6 cm x 10 cm
Á𝑅𝐸𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 = 188,4 cm2
Se necesitan 188,4 cm2 de cartulina.
Calculo del volumen:
𝑽 =
𝝅. 𝒓𝟐
. 𝒉
𝟑
𝑽𝑪𝑶𝑵𝑶 =
𝝅. 𝟔𝟐
. 𝟖
𝟑
𝑽𝑪𝑶𝑵𝑶 =
𝟑, 𝟏𝟒(𝟑𝟔) (𝟖)
𝟑
𝑽𝑪𝑶𝑵𝑶 = 𝟑𝟎𝟏, 𝟒 𝒄𝒎𝟑
El cono maceta contiene 301,4 cm3
de tierra de cultivo..

13. ¿QUÉ ES UNA ESFERA?
Una esfera es un sólido de revolución que se
genera al rotar 360° un semicírculo alrededor de
su diámetro.
ÁREA : 𝑨𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟒𝝅. 𝒓𝟐
VOLUMEN:
AB: Diámetro
CENTRO DE
LA ESFERA
RADIO
𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 =
𝟒
𝟑
𝝅. 𝒓𝟑
r
A
B
O
SEMIESFERA
ÁREA :
Á𝑹𝑬𝑨 = 𝟐𝝅. 𝒓𝟐
VOLUMEN:
𝑽 =
𝟐
𝟑
𝝅. 𝒓𝟑
Se genera al cortar una esfera con un plano que
pasa por su diámetro.
O r

14. 1. Alexandra y Jorge son dos artesanos de Chulucanas, quienes van a transportar sus
productos para su venta. Ellos tienen seis adornos como el que se muestra en la imagen,
cuyo diámetro es de 12 cm. ¿Cuánto espacio ocuparán? ¿Qué superficie de papel será
necesaria para cubrir los 6 adornos?
Á𝐑𝐄𝐀𝑬𝑺𝑭𝑬𝑹𝑨 = 𝟒𝛑. 𝒓𝟐
Á𝑅𝐸𝐴𝐸𝑆𝐹𝐸𝑅𝐴 = 4 3,14 .62
Á𝑅𝐸𝐴𝐸𝑆𝐹𝐸𝑅𝐴 = 452,16 𝑐𝑚2
El radio de la esfera:
𝒓 = 𝟔 𝒄𝒎
𝑽𝑶𝑳𝑼𝑴𝑬𝑵 =
𝟒
𝟑
𝝅. 𝒓𝟑
𝑉𝐸𝑆𝐹𝐸𝑅𝐴 =
𝟒
𝟑
(𝟑, 𝟏𝟒). 𝟔𝟑
=
𝟒
𝟑
𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟐𝟏𝟔
𝑉𝐸𝑆𝐹𝐸𝑅𝐴 = 904,32 𝑐𝑚2
Como son 6 adornos con forma esférica:
𝑉6 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 = 𝟔 (904,32) = 5425,92 𝑐𝑚3
El área mínima de papel que necesitamos
para cubrir los 6 adornos esféricos:
Á𝑅𝐸𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 6 452,16
Á𝑅𝐸𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 2 712,96 𝑐𝑚2
𝑳𝒐𝒔 𝟔 𝒂𝒅𝒐𝒓𝒏𝒐𝒔 𝒐𝒄𝒖𝒑𝒂𝒏 𝟓 𝟒𝟐𝟔 𝒄𝒎𝟑.
Se necesitarán 2 713 cm2 de papel
mínimo para cubrir los 6 adornos.