1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
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AREA DE MATEMATICAS
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CALCULO VECTORIAL
QUIZ V
Nombre: C´digo:
o
Fecha: Grupo:
Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 30 Minutos
o
Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada
o ´ a
es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es
sustentada completamente con procesos que lleven a ella el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO
es sustentada el valor es de 0. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5.
Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [
]. No se permite el intercambio de objetos.
1. [1] Dibujar la regi´n R cuya ´rea est´ dada por la integral iterada
o a a
2 x 4 4−x
dydx + dydx.
0 0 2 0
Cambie el orden de integraci´n y muestre que ambos ´rdenes dan la misma ´rea.
o o a
2 4 √
2. [1] Al evaluar la integral iterada 0 y2 x sin xdxdy obtenemos:
a) sin 4 + 4 cos 4 b) 4 sin 4 − cos 4 c) sin 4 − 4 cos 4 d) 4 sin 4 + 4 cos 4
3. [1] Al evaluar la integral R −2y ln xdA donde R es la regi´n acotada por y = 4 − x2 , y = 4 − x obtenemos:
o
26 24 25 25
a) 25 b) 25 c) 24 d) 26
4. [1] Dar una integral doble para hallar el volumen del s´lido limitado por las gr´ficas de las ecuaciones x2 + z 2 = 1
o a
yy 2 + z 2 = 1 en el primer octante, no olvide gr´ficar la proyecci´n del s´lido con que va a trabajar.
a o o
√
1 1 1−y 2
5. [1] Dibujar el s´lido cuyo volumen est´ dado por la integral iterada 0 y 0
o a dzdxdy. Reescribir la integral
utilizando el orden de integraci´n dzdydx.
o

2. 1.
y 2 x 4 4−x
A= 0 0 dydx + 2 0 dydx
2 4
2 y = 0 xdx + 2 (4 − x)dx
x
=
2 4
=
4 x2 x2
− = 2 0 + 4x − 2 2
y
1 x
=4
−1 1 2 3 4 x
−1 2 4−y
A= 0 y dxdy
2
= 0 (4 − 2y)dy
2
= 4y − y 2 0
=4
2.
y 2 4 √ 4
√ √
x
0 y2 x sin xdxdy = 0 0 x sin xdydx
2 =
4
0 x sin xdx
2
y
x=
4
1 = −x cos x + cos xdx 0
= [−x cos x + sin x]4
0
= sin 4 − 4 cos 4
−1 1 2 3 4 x
−1
3.
y 4−x2
1 4−x2 1
0 4−x −2y ln xdydx = − 0 ln x y2 4−x
dx
4 =−
1
4−
2
x2 − (4 − x)2 ln xdx
0
1
3 =− x4 − 9x2 + 8x ln xdx
y
=
0
= 26
4
25
−
2
x
1
y = 4 − x2
−1 1 2 x
−1
4.

3. y
Proyecci´n en xy
o
1 x√ 1 1
0 0 1 − x2 dydx + 2
0 x √ 1 − y dydx 1
1 y 1 1
0 0 1 − y 2 dxdy + 0 y 1 − x2 dxdy
1
x
Proyecci´n en yz z
√ o√
1 1−y 2
0 0 1 − z 2 dzdy 1
√
1 1−z 2 √
0 0 1 − z 2 dydz
1
y
Proyecci´n en xz
o z
√
1 1−x2 √
0 0 1 − z 2 dzdx 1
√
1 1−z 2 √
0 0 1 − z 2 dxdz
1
x
5.
√ √
1 1 1−y 2 1 x 1−y 2
dzdxdy = dzdydx
0 y 0 0 0 0