algebra lineal

1. Solución Taller Nº 7 Álgebra Lineal
UNALMED - Albeiro de J. Espinal Pulgarin
alquimiadebits.wordpress.com Marzo - 2016
Contents
1 Analice 3
1.1 Si una matriz de 7×9 tiene rango 5, ¿cuáles son las dimensiones de los cuatro subespacios fundamentales? 3
1.2 Si una matriz de 3 × 4 tiene rango 3, ¿ cuáles son las dimensiones de col(A) y nul(AT
)? . . . . . . . 4
2 Considere los siguientes subespacios 4
2.1 V = gen





1
1
1

 ,


2
1
0





W =





x
y
z

 :
2x + y = 0
x + y − z = 0



Z =





2a + 3b
a − 2c
−b + c

 : a, b, c ∈ R



. 4
2.1.1 Encuentre una matriz A cuyo espacio de renglones (o filas) sea V . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Encuentre una matriz B cuyo espacio nulo sea W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Encuentre una matriz C cuyo espacio de renglones sea (o filas) sea Z. . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.4 Encuentre una matriz D cuyo espacio nulo sea V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.5 Encuentre una matriz E cuyo espacio de renglones (o filas) sea W . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.6 Encuentre una base para V
S
Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Sin utilizar eliminación encuentre bases para los cuatro espacios fundamentales de: 8
3.1 A =


0 3 3 3
0 0 0 0
0 1 0 1

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 B =


1
4
5

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Sea A una matriz de 3×3 invertible. Encuentre bases para los cuatro subsepacios fundamentales
asociados a: 10
4.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 B = [ A A ] ∈ R3x6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Sea I la matriz identidad de 3 × 3 y 0 la matriz nula de 3 × 2. ¿Cuáles son las dimensiones de
los cuatro subespacios asociados a A, B y C? 12
5.1 A = [ I 0 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 B =
I I
0T
0T
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 C = [0] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Sea A una matriz de n × k y considere las matrices 14
6.1 B =
A
A
C =
A A
A A
demuestre que rank(A) = rank(B) = rank(C) . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Sea TA : R2
→ R2
la transformación matricial correspondiente a A =
2 −1
3 4
. Encuentre
TA(u) y TA(v) donde u =
1
2
y v =
3
−2
. 14
1

2. 8 Sea TA : R2
→ R3
la transformación matricial correspondiente a A =


3 −1
1 2
1 4

, encuentre
TA(u) y TA(v) donde u =
1
2
y v =
3
−2
. 15
9 Demuestre que las siguientes son transformaciones lineales. Posteriormente calcule la matriz
estándar de la transformación. 15
9.1 T
x
y
=
x + y
x − y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.2 T
x
y
=


x + 2y
−x
3x − 7y

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.3 T


x
y
z

 =
x − y + z
2x + y − 3z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.4 T


x
y
z

 =


x
x + y
x + y + z

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 En cada uno de los siguientes casos, provea un contraejemplo para probar que las transforma-
ciones no son lineales. 18
10.1 T
x
y
=
y
x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10.2 T
x
y
=
|x|
|y|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10.3 T
x
y
=
xy
x + y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10.4 T
x
y
=
x + 1
y + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11 En los siguientes ejercicios demuestre que la transformación dada de R2
en R2
es una transfor-
mación lineal, al demostrar que se trata de una transformación matricial. 19
11.1 F refleja un vector a través del eje y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11.2 R rota un vector 450
en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno al origen. . . . . . . 20
11.3 R rota un vector 300
en el sentido de las manecillas del reloj en torno al origen. . . . . . . . . . . . . 20
11.4 D estira un vector por un factor de 2 en la componente x y por un factor de 3 en la componente y. . 21
11.5 P proyecta un vector sobre la recta y = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11.6 P proyecta un vector sobre la recta y = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11.7 P proyecta un vector sobre la recta y = −x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12 En los siguientes ejercicios encuentre la composición S ◦ T primero mediante sustitución directa
y posteriormente mediante multiplicación matricial. 23
12.1 T
x
y
=
x − y
x + y
S
x
y
=
2x
−y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12.2 T
x
y
=
y
−x
S
x
y
=


x + 3y
2x + y
x − y

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12.3 T


x1
x2
x3

 =
x1 + x2 + x3
2x1 − x2 + x3
S
y1
y2
=
4y1 − 2y2
−y1 + y2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13 Encuentre la matriz estándar de la transformación compuesta T : R2
→ R2
descrita. 25
13.1 Rotación de 600
en sentido contrario al de las manecillas del reloj seguida por reflexión a través de
la recta y = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13.2 Reflexión a través del eje y seguida por una rotación de 300
en el sentido de las manecillas del reloj. 26
2

3. 13.3 Rotación de 450
en el sentido de las manecillas del reloj, seguida por proyección sobre el eje y seguida
por rotación de 450
en el sentido de las manecillas del reloj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13.4 Reflexión a través del eje y = x, seguida por una rotación de 300
en sentido contrario al de las
manecillas del reloj, seguida por reflexión a través de la recta y = −x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
14 Suponga que Rθ : R2
→ R2
denota la transformación lineal de rotación por un ángulo θ en el
sentido de las manecillas del reloj. Dados dos ángulos α, β, demuestre que Rα+β = RαRβ. 27
15 Sea T : Rn
→ Rn
una transformación lineal. Demuestre que T(0) = 0. 28
16 ¿Cuales de las siguientes transformaciones satisfacen T(v + w) = T(v) + T(w) y cuales satisfacen
T(αv) = αT(v)? 28
16.1 T(v) = v
||v|| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
16.2 T(v) = v1 + v2 + v3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
16.3 T(v) = (v1, 2v2, 3v3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
16.4 T (v) = componente de valor máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
17 Considere la transformación T : R2
→ R2
definida por T(v) =
x+y
2
x+y
2
30
18 Sea T : R3
→ R3
definida por T


v1
v2
v3

 =


v2
v3
v1

. 31
18.1 ¿Cuál es la transformación T(T(v))? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
18.2 ¿Cuál es la transformación T3
(v)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18.3 ¿Cuánto es T100
? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19 Suponga que T : R2
→ R2
es una transformación lineal tal que T(1, 1) = (2, 2) y T(2, 0) = (0, 0).
Encuentre T(v) para los siguientes vectores 32
19.1 v = (2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19.2 v = (3, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
19.3 v = (−1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
19.4 v = (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Los Cuatro Subespacios Fundamentales
Se recuerda que los cuatro subespacios fundamentales asociados a una matriz A de n × k vienen dados por col(A)⊆
Rn
, ren(A) = col(AT
) ⊆ Rk
, nul(A) ⊆ Rk
y nul(AT
) ⊆ Rn
. Mantenga presentes las relaciones de ortogonalidad
entre subespacios. También mantenga presentes las relaciones de sus dimensiones mediante el teorema del rango.
1 Analice
1.1 Si una matriz de 7 × 9 tiene rango 5, ¿cuáles son las dimensiones de los cuatro
subespacios fundamentales?
En primer lugar sabemos por teorema del rango que
rango(A) + nulidad(A) = n
donde rango(A) es el número de filas distintas de cero en la forma escalonada de la matriz. Equivalentemente
rango(A) se puede interpretar como la dimensión de ren(A) y col(A), para el caso actual rango(A) = dim(ren(A)) =
dim(col(A)) = 5. Mientras que nulidad(A) es la dimensión de nul(A) = ker(A), que es equivalente a la cantidad
de columnas que no tienen pivote en la forma escalonada reducida de la matriz. Finalmente, n es el número de
columnas de la matriz, en este caso n = 9 . Así, sustituyendo n y rango(A) en el teorema del rango tenemos
3

4. 5 + nulidad(A) = 9
nulidad(A) = 4
Luego, dim(nul(A)) = nulidad(A) = 4
Ahora, para hallar cuál es la dimensión de nul(AT
), apliquemos el teorema del rango sobre AT
. Observe que al
efectuar la transpuesta, se intercambiarán las filas por las columnas, y por tanto, cambiará el valor de n (número
de columnas). En este caso, ya n será 7.
rango(AT
) + nulidad(AT
) = n
Ahora, ¿Qué es rango(AT
)? Observe que dicho subespacio hace referencia al conjunto generado por las columnas
de A (Recuerde que al aplicar la transpuesta los vectores columna de A quedaron como filas en AT
). Es decir
dim(rango(AT
)) = dim(col(A)) = 5
Así, sustituyendo en la ecuación del teorema del rango para AT
, con n = 7
5 + nulidad(AT
) = 7
nulidad(AT
) = 2
Se concluye así que las dimensiones de los cuatro espacios fundamentales son dim(col(A)) = dim(ren(A)) = 5,
dim(nul(A)) = 4 y dim(nul(AT
)) = 2.
No olvide que nulidad hace referencia a la dimensión del espacio nul(ker).
1.2 Si una matriz de 3 × 4 tiene rango 3, ¿ cuáles son las dimensiones de col(A) y
nul(AT
)?
En primer lugar, como el rango es 3, luego dim(col(A)) = 3 igualmente.
Por otro lado, por el teorema del rango para la transpuesta tenemos
nulidad(AT
) = n − rango(AT
)
Al aplicar la transpuesta (intercambiar filas por columnas), tenemos entonces que AT
es una matriz de 4x3. Por
tanto n = 3 ¿Qué será la dimensión de rango(AT
)? Tal como se explicó en el punto anterior, dim(rango(AT
)) =
dim(col(A)), sustituyendo,
nulidad(A) = 3 − 3
nulidad(A) = 0
Es decir, que no hay elementos en la base de nul(A). El único elemento que cumple la condición AT
x = 0 es el
vector nulo.
2 Considere los siguientes subespacios
2.1 V = gen





1
1
1

 ,


2
1
0





W =





x
y
z

 :
2x + y = 0
x + y − z = 0



Z =





2a + 3b
a − 2c
−b + c

 : a, b, c ∈ R



2.1.1 Encuentre una matriz A cuyo espacio de renglones (o filas) sea V
En primer lugar aclaremos de qué conceptos no están hablando. V es un conjunto generado por los vectores
indicados, es decir, todos aquellos vectores que se pueden expresar como combinaciones lineales de


1
1
1

 y


2
1
0

.
Por otro lado, nos hablan del espacio de renglones (o filas) de una matriz, es decir el conjunto de vectores que se
4

5. pueden expresar como combinación lineal de tales filas. Es decir, si las filas de una matriz B son B1, B2...Bn luego
fila(B) = gen(B1, B2...Bn). Para el caso actual necesitamos encontrar una matriz A tal que sus filas generen al
conjunto V , equivalentemente que todo vector de V pueda ser expresado como combinación lineal de las filas de A
. De lo anterior, tenemos que una matriz que cumple esto es:
A =
1 1 1
2 1 0
Los mismos vectores que generan a V , pero puestos como filas.
2.1.2 Encuentre una matriz B cuyo espacio nulo sea W
Esto implica por definición del espacio nulo, que para todo vector v ∈ W, se deberá cumplir que Bv = 0 (Que
dichos vectores multiplicados por la matriz B, den el vector nulo como resultado).
Resolvamos el sistema de ecuaciones propuesto en las restricciones para los elementos de W, con el fin de hallar
una base para sus elementos. Partimos del sistema (Asumiendo que la primera columna está ligada a la variable x,
la segunda a la y y la tercera a z):
2 1 0
1 1 −1
0
0
R1 − R2
→
1 0 1
1 1 −1
0
0
R2 − R1
→
1 0 1
0 1 −2
0
0
Por tanto, z es una variable libre y las soluciones a este sistema son:
x = −z
y = 2z
z = z
→


x
y
z

 = z


−1
2
1


Luego
W =





x
y
z

 :
2x + y = 0
x + y − z = 0



=





x
y
z

 = z


−1
2
1





Los vectores de W son todos los múltiplos de


−1
2
1

. De esto obtenemos más información acerca del problema.
Ya sabemos que una base para el nul de la matriz que buscamos es B1 =





−1
2
1





. La dimensión de esta base
(Cantidad de vectores en ella) es 1 y esto implica que nulidad(B) = 1. Adicionalmente, deducimos que B deberá
ser una matriz mx3, de lo contrario no estaría definido su producto por dichos vectores y por tanto ni podríamos
evaluar la definición de espacio nulo. Ahora apliquemos nuevamente la definición del rango:
rango(B) + nulidad(B) = n
Como ya se verificó que el número de columnas de B es n = 3, y nulidad(B) = 1, entonces sustituyendo,
rango(B) = 3 − 1 = 2
Es decir, la matriz B que buscamos tiene solamente dos de sus filas (columnas) linealmente independientes. Una
matriz que cumple con las anteriores deducciones es: B =
1 0 1
0 1 −2
. Puede verificar el lector que sus filas son
linealmente independientes y además que al multiplicar dicha matriz por cualquier múltiplo escalar de


−1
2
1

 el
resultado es el vector nulo.
Pero vayamos más allá, ¿Cuál sería una estructura general para las matrices cuyo espacio nulo es W? Si (a, b, c)
es una fila de la matriz B que buscamos debe cumplirse que,
a b c


−1
2
1

 = −a + 2b + c = 0
5

6. Lo anterior equivale a la ecuación de un plano. Todos los vectores de tal plano cumplirán dicha condición. Pero
encontremos linealmente este conjunto de vectores. Resolvamos la anterior ecuación como un sistema (Primera
columna ligada a a, segunda columna a b y tercera a c:


−1 2 1
0 0 0
0 0 0
0
0
0

 −R1
→


1 −2 −1
0 0 0
0 0 0
0
0
0


La solución del sistema y por tanto una forma general para una fila de B es...
a = 2b + c
b = b
c = c
⇔


a
b
c

 = b


2
1
0

 + c


1
0
1


Ya habiendo encontrado los valores de a, b, c, tenemos entonces que el conjunto de matrices que tienen como
nulo a W son aquellas matrices m x 3, con dos filas linealmente independientes, tales que dos de sus filas serán igual
a A1 = ( 2b + c b c ) y otra de sus filas será A2 = ( 2e + f e f ) siendo b, c, d y f escalares cualesquiera.
Para que dichas filas sean LI deberá cumplirse además, que e 6= b ó f 6= c (Verífiquelo evaluando cuándo se cumple
que A1 = αA2 ). Las demás filas deberán ser combinaciones lineales de las anteriores con el fin de que se conserve
rango(B) = 2 y que el producto de las mismas por cualquier vector de W = nul(B) sea cero.
2.1.3 Encuentre una matriz C cuyo espacio de renglones sea (o filas) sea Z.
Ya vimos que Z =





2a + 3b
a − 2c
−b + c

 : a, b, c ∈ R



=




a


2
1
0

 + b


3
0
−1

 + c


0
−2
1



 : a, b, c ∈ R



. Note
que los elementos de Z están expresados como una combinación lineal de vectores, más precisamente, de hecho su
definición coincide con la definición de un conjunto generado. Es posible expresarlo como,
Z = gen




2
1
0

 ,


3
0
−1

 ,


0
−2
1




Así, una matriz C cuyas filas generen a Z será:
C =


2 1 0
3 0 −1
0 −2 1


2.1.4 Encuentre una matriz D cuyo espacio nulo sea V
Si V = gen





1
1
1

 ,


2
1
0





es el espacio nulo y es generado por dos elementos linealmente independientes según
el enunciado, luego, al ser LI y generar a un subespacio (Recuerde que el gen de un conjunto de vectores siempre
es un subespacio), constituyen una base. Al haber dos vectores en dicha base, luego nulidad(D) = 2. Observemos
adicionalmente que dichos vectores pertenecen a R3
, lo que implica que necesariamente la matriz D buscada deberá
tener tres columnas para que el producto por dichos vectores esté definido: n = 3. Sustituyendo lo anterior en el
teorema del rango tenemos:
rango(D) + nulidad(D) = n
rango(D) = 3 − 2
= 1
Por tanto, la matriz D tiene solamente una fila linealmente independiente. Ahora, necesitamos restringir tal
matriz, de tal manera que al ser multiplicada por la base de nul(D), el vector resultante sea el nulo. Recuerde
que si un vector v es perpendicular a un conjunto de vectores u1, u2...un(En nuestro caso dichos vectores serían los
elementos de la base) entonces
6

7. también será perpendicular a cualquier combinación lineal de los mismos, verifiquémoslo:
v(c1u1 + c2u2 + ... + cnun) con c1, c2...cnescalares
es igual a,
c1vu1 + c2vu2 + ... + cnvun = 0 pues asumimos que v es perpendicular a u1, u2...un.
¿Qué estructura debe tener esa fila linealmentente independiente de la matriz D? Debe ser perpendicular a los
elementos de la base de nul(D) = V , luego debe cumplir que


x
y
z




1
1
1

 = 0 y también debe cumplir que


x
y
z




2
1
0

 = 0. Al efectuar estos productos puntos obtenemos un sistema de ecuaciones:
x + y + z = 0
2x + y = 0
Que corresponde al sistema aumentado y escalonando,
1 1 1
2 1 0
0
0
R2 − 2R1
→
1 1 1
0 −1 −2
0
0
−R2
→
1 1 1
0 1 2
0
0
La solución a este sistema es:
x = −y − z = −(−2z) − z = z
y = −2z
z = z
⇔


x
y
z

 = z


1
−2
1


Es decir, los vectores múltiplos de


1
−2
1

 son perpendiculares a la base hallada para nul(D). Así la matriz
D estará constituida como mínimo por:
D = [ 1 −2 1]
Observe que D podría ser una matriz con más filas, pero estas deben ser múltiplos escalares de la primera, con
el fin de que se cumpla que rank(D) = 1
2.1.5 Encuentre una matriz E cuyo espacio de renglones (o filas) sea W .
Ya habíamos encontrado que W =





x
y
z

 :
2x + y = 0
x + y − z = 0



=





x
y
z

 = z


−1
2
1





Por tanto, una matriz E cuyo espacio fila (o de renglones) sea W será
E = [ −1 2 1 ]
2.1.6 Encuentre una base para V
S
Z
Donde V = gen





1
1
1

 ,


2
1
0





y de Z ya habíamos encontrado en el punto anterior que es igual a Z =
gen




2
1
0

 ,


3
0
−1

 ,


0
−2
1




¿Cuál será una base para V
S
Z? A primera vista podría decirse que una base B para la unión de dichos
conjuntos es la unión de los vectores generadores de los mismos,
7

8. Bhipotética =





1
1
1

 ,


2
1
0

 ,


2
1
0

 ,


3
0
−1

 ,


0
−2
1





Pero recuerde que por definición, una base solamente contiene vectores linealmente independientes. Y en R3
como máximo pueden haber 3 vectores LI. Necesariamente dichos vectores son linealmente dependientes, por tanto
no constituyen una base.
Se puede verificar que los tres vectores de Z son linealmente independientes y por tanto generan a todo R3
(Es
decir, de por sí ellos ya generan a V que es un subespacio de R3
), entonces una base para V
S
Z es:
BV
S
Z =





2
1
0

 ,


3
0
−1

 ,


0
−2
1





3 Sin utilizar eliminación encuentre bases para los cuatro espacios fun-
damentales de:
3.1 A =


0 3 3 3
0 0 0 0
0 1 0 1


• Una base para col(A): evaluemos columna a columna. La primera columna corresponde al vector nulo, y
este es linealmente dependiente con cualquier otro vector. Por tanto, no puede hacer parte de una base
(Conformada por vectores linealmente independientes). La segunda columna es linealmente dependiente con
la tercera, son exactamente iguales. Por tanto, se descarta que haga parte de la base. Las últimas dos
columnas son linealmente independientes, pues no puede expresarse una de ellas como múltiplo escalar de la
otra. Así, una base para col(A) es B1 =





3
0
0

 ,


3
0
1





.
• Una base para fila(A) : evaluemos fila a fila. La segunda fila es de ceros, luego se descarta que haga parte de la
base. Las filas 1 y 3 son linealmente independientes, luego una base para fila(A) es B2 =











0
3
3
3



 ,




0
1
0
1











.
• Una base para nul(A): serán aquellos vectores linealmente independientes que al ser multiplicados por A den
como resultado el vector nulo. Necesitamos encontrar aquellos vectores u =




x
y
z
w



 ∈ R4
tales que Au = 0.
En primer lugar observe que la fila de ceros no aporta información acerca de los vectores de nul(A) así que
la puede ignorar. De la fila 1 y 3 deducimos que son linealmente independientes y por lo mismo allí habrán
dos pivotes. Verifique que los pivotes están en las columnas 2 y 3. Así las variables libres corresponden a la
columna 1 y a la columna 4:


0 3 3 3
0 1 0 1
0 0 0 0






x
y
z
w



 =




0
0
0
0




Así, de las filas linealmente independientes tenemos
3y + 3z + 3w = 0
y + w = 0
8

9. y despejando en términos de las variables libres
y = −z − w (1)
y = −w (2)
igualando (1) y (2) tenemos que z = 0. Así, el sistema de soluciones para el nulo estará dado por:




x
y
z
w



 =




x
−w
0
w



 = x




1
0
0
0



 + w




0
−1
0
1




y por tanto una base para el kernel será:
B =











1
0
0
0



 ,




0
−1
0
1











• Una base para nul(AT
): la transpuesta de A es
AT
=




0 0 0
3 0 1
3 0 0
3 0 1




Luego, necesitamos encontrar a aquellos vectores u =


x
y
z

 tales que al ser multiplicados por AT
den
como resultado al nulo: AT
u = 0. En primer lugar observe que hay una columna de ceros correspondiente
a una variable libre (No tiene pivote). De lo que deducimos que y es una variable libre. Además las únicas
filas linealmente independientes son la 2 y la 3, de las que al plantear el sistema de ecuaciones AT
u = 0
encontramos:
3x + z = 0
3x = 0
De donde como x = 0 luego z = 0 y por tenemos el sistema de soluciones


x
y
z

 =


0
y
0

 = y


0
1
0


De donde una base para el kernel estará conformada por el vector


0
1
0

.
De lo que observamos que y es la variable libre, y por tanto el conjunto de soluciones será:


x
y
z

 =


0
y
0

 = y


0
1
0


Por lo tanto una base para nul(AT
) será:
B =





0
1
0





9

10. 3.2 B =


1
4
5


• Una base para col(B): será C =





1
4
5





• Una base para nul(B) : notemos que dada una matriz M ∈ Rnxm
, al multiplicar dicha matriz por alguno
de los vectores Rm
de su espacio nulo (siendo m el número de columnas de M, verifíquelo), obtendremos
por definición del mismo como resultado un vector nulo de Rn
. Aplicando esta observación sobre la matriz
B∈ R1x3
dada, en primer lugar observamos de su número de filas y columnas que los vectores de su espacio nulo
deberán pertenecer a R3
y el vector nulo resultante deberá pertenecer, por el númeo de filas de B, a R1
= R (El
resultado será el escalar cero). La operación que cumple con tal propiedad es el producto punto. Es decir, una
base para nul(B) serán todos aquellos vectores v =


x
y
z

 tales que Bv =


1
4
5




x
y
z

 = x+4y +5z = 0.
Para lo que obtenemos una ecuación, cuya solución vectorial será x = −4y − 5z, siendo x y y variables
libres, por lo que


x
y
z

 =


−4y − 5z
y
z

 = y


−4
1
0

 + z


−5
0
1

 por lo que una base para nul(B) será
C =





−4
1
0

 ,


−5
0
1





.
• Una base para ren(B) : será C = {1}. Multiplicando este por 4 y por 5 se obtienen las filas 2 y 3
• Una base para nul(BT
) : serán todos aquellos vectores


x
y
z

 que cumplan 1 4 5


x
y
z

 = x + 4y +
5z = 0. Sin construir el sistema aumentado, notemos que la solución estará dada por x = −4y + 5z por lo
tanto y y z serán variables libres.
y tenemos que


x
y
z

 =


−4y + 5z
y
z

 = y


−4
1
0

 + z


5
0
1

. Luego una base para nul(BT
) está
conformada por los vectores


−4
1
0

 y


5
0
1

. Puede verificarse multiplicando la matriz BT
por cada uno
de los elementos de dicha base.
4 Sea A una matriz de 3 × 3 invertible. Encuentre bases para los cuatro
subsepacios fundamentales asociados a:
4.1 A
• En primer lugar sean las filas de A: A1, A2 y A3. Y sean sus columnas a1, a2 y a3. Ahora ¿Qué implica-
ciones tiene que la matriz sea invertible? Es invertible si y sólo si det(A) 6= 0. Lo anterior implica que sus
filas/columnas son linealmente independientes y por tanto constituyen una base. Así, una base para ren(A)
será B1 = {A1, A2, A3} (Todas sus filas) y una base para col(A) será B2 = {a1, a2, a3} (Todas sus columnas).
• Una base para nul(A): dicho subespacio está constituido por todos aquellos vectores x tales que Ax = 0, lo
que es lo mismo, las soluciones del sistema aumentado [A|0]. Recordemos el concepto de nulidad(A), que
es la cantidad de filas iguales a cero en la forma escalonada de A; tal concepto está estrechamente ligado al
concepto de variable libre en un sistema homogéneo. De la siguiente manera nulidad(A) = s donde s es el
número de variables libres del sistema aumentado [A|0]. En este caso, nulidad(A) = s = 0, ya que las filas de
A son linealmente independientes (No aparecerá alguna fila de ceros en la forma escalonada). Lo anterior en
el sistema aumentado se reflejará en que no habrán variables libres. El hecho de que nulidad(A) = 0 implica
10

11. que el único elemento tal que Ax = 0 es el vector nulo, y como dicho elemento no puede hacer parte de la
base, se concluye que no hay base para nul(A).
• Caso similar sucede con nul(AT
). Observe que estamos hablando de una matriz 3x3 cuadrada y por tanto,
como las columnas de A son linealmente independientes, las filas de AT
(Que son las columnas de A), también
son LI. El único elemento en nul(AT
) es el nulo y se concluye que no hay una base para este subespacio.
4.2 B = [ A A ] ∈ R3x6
• Sean a1, a2, a3las columnas de A. Luego utilizando la representación matriz-columna, tenemos que
A = [ a1 a2 a3]
y por lo mismo
B = [ a1 a2 a3 a1 a2 a3 ]
En primer lugar, supongamos que todas las columnas de B son una base para col(B). Observe que esto
no tiene sentido pues, por definición, una base puede contener únicamente vectores linealmente
independientes y vemos claramente que las tres últimas columnas de B son iguales a las 3 primeras (Es
decir, son linealmente dependientes). Por tanto, una base para col(B) estará conformada únicamente por
C = {a1, a2, a3}, vectores columna de A de los que habíamos deducido, son LI. Adicionalmente, como la base
de B tiene tres vectores, luego dim(col(B) = dim(ren(B)) = rango(B) = 3.
• Una base para ren(B): sean las filas de A: A1, A2, A3. Ya encontramos que la dimensión de la base de ren(B)
es tres, y como B solamente tiene tres filas, luego necesariamente estas deberán ser linealmente independientes
constituyendo una base F = {A1, A2, A3} para el conjunto de vectores generado por las filas de B.
• Una base para nul(B): nuevamente recuerde, una forma de encontrar una base para nul(B), es encontrar
las soluciones del sistema Bv = 0 (Aquellos vectores v que multiplicados por B dan como resultado el nulo).
Observe que como A es cuadrada 3x3 y sus filas son linealmente independientes, luego su forma escalonada
reducida seŕa una identidad del mismo orden, R = I3. De lo anterior deducimos que si B = [ A A ] luego
su forma escalonada reducida será R = [ I3 I3 ], siendo el sistema homogéneo asociado:
[R|0] = [I3I3|0] =


1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0
0
0


Nombremos x, y, z, w, r, t a las variables asociadas a cada columna de tal sistema. Las variables libres del
mismo son w, r, t y por tanto las soluciones del sistema están dadas por
x = −w
y = −r
z = −t
w = w
r = r
t = t
⇔








x
y
z
w
r
t








= w








−1
0
0
1
0
0








+ r








0
−1
0
0
1
0








+ t








0
0
−1
0
0
1








Así, podemos concluir que una base para nul(B) será D =























−1
0
0
1
0
0








,








0
−1
0
0
1
0








,








0
0
−1
0
0
1























(Estos son los
vectores de la combinación lineal de la solución).
• Una base para nul(BT
): ataquemos mediante el teorema del rango. BT
es una matriz de 6x3, luego tiene
n = 3 columnas. Por otro lado, es cierto que rango(BT
) = rango(B) = 3 (Recuerde que el rango también
11

12. puede interpretarse como la cantidad de vectores fila/columna linealmente independientes de una matriz). A
partir de esto,
rango(BT
) + nulidad(BT
) = n
3 + nulidad(BT
) = 3
nulidad(BT
) = 0
Como la dimensión de nul(BT
) es cero, se concluye que no hay elementos en la base del mismo.
Demostración: Sea B una matriz nxm, luego es cierto que rango(BT
) = rango(B)
Por teorema del rango en primer lugar sabemos que es cierto que
rango(B) = dim(col(B)) = dim(ren(B))
De manera análoga para BT
se tiene que
rango(BT
) = dim(col(BT
))
Y como las columnas de BT
corresponden a las filas de B, luego
dim(col(BT
)) = dim(ren(B))
Entonces, según lo hallado anteriormente es cierto que
rango(BT
) = dim(col(BT
)) = dim(ren(B)) = rango(B)
De lo anterior podemos llegar a una conclusión muy interesante:
rango(B) = dim(col(B)) = dim(ren(B)) = rango(BT
) = dim(col(BT
)) = dim(ren(BT
))
5 Sea I la matriz identidad de 3 × 3 y 0 la matriz nula de 3 × 2. ¿Cuáles
son las dimensiones de los cuatro subespacios asociados a A, B y C?
5.1 A = [ I 0 ]
• Dicha matriz es una matriz de 3x5 ya escalonada reducida con tres pivotes, es decir, tres columnas/filas
linealmente independientes, lo que implica que rango(A) = dim(col(A)) = dim(ren(A)) = 3
• Como rango(A) = 3 y el número de columnas de A es n = 5, por teorema del rango,
rango(A) + nulidad(A) = n
nulidad(A) = 5 − 3
= 2
Luego, la dimensión de nul(A) es 2.
• Para AT
tenemos que rango(AT
) = rango(A) = 3. Adicionalmente como es una matriz de 5x3, luego el
número de columnas es m = 3 y,
rango(AT
) + nulidad(AT
) = m
nulidad(AT
) = 3 − 3
= 0
Se concluye que la dimensión de nul(AT
) es cero.
12

13. 5.2 B =
I I
0T
0T
En primer lugar tenga en cuenta que B es una matriz de 5x6.
B =






1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0






• De la anterior matriz deducimos que rango(B) = dim(col(B)) = dim(ren(B)) = 3.
• Para hallar nulidad(B) = dim(nul(B)), como B tiene 6 columnas y rango(B) = 3 por teorema del rango se
tiene,
rango(B) + nulidad(B) = m
nulidad(B) = 6 − 3
= 3
• Finalmente, para la dimensión de nul(BT
) sabemos que BT
es una matriz de 6x5, luego el número de columnas
de la misma es m = 5, y su rango ya deducimos que es 3 pues dim(col(B)) = 3:
rango(BT
) + nulidad(BT
) = m
nulidad(BT
) = 5 − 3
= 2
5.3 C = [0]
En este caso ¿Cuántas filas/columnas linealmente independientes hay? Todas son cero, luego cero: dim(col(A)) =
dim(ren(A)) = 0. Adicionalmente, sabemos que dicha matriz tiene 2 columnas, por tanto, por teorema del rango
rango(C) + nulidad(C) = m
nulidad(C) = 2 − 0
= 2
Así, la dimensión de nul(C) es igual a 2. Observe que cualquier vector de R2
multiplicado por tal matriz da
como resultado el vector nulo, es decir nul(C) = R2
. Dicho dos hace referencia precisamente a la base de dimensión
de la base de nul(C), para generar a todo R2
necesitamos dos vectores linealmente independientes.
Por último, de CT
sabemos que tiene 3 columnas y su rango también será cero, luego
rango(CT
) + nulidad(CT
) = m
nulidad(CT
) = 3 − 0
= 3
13

14. 6 Sea A una matriz de n × k y considere las matrices
6.1 B =
A
A
C =
A A
A A
demuestre que rank(A) = rank(B) = rank(C)
Sean A1, A2...An las filas de A. Veamos que B la podemos expresar en términos de las filas de A como B =










A1
.
.
.
An
A1
.
.
.
An










.
Observe que al escalonar la primera fila se anulará con la fila n + 1, la segunda fila se anulará con la fila n + 2 y así
sucesivamente, obteniendo
B =










A1
.
.
.
An
A1
.
.
.
An










Rn+1 − R1
Rn+2 − R2
→
.
.
.
R2n − Rn










A1
.
.
.
An
0
.
.
.
0










=
A
0
En este punto podemos deducir que la cantidad de filas linealmente independientes de B depende únicamente
de la cantidad de filas linealmente independientes de A y por tanto rango(B) = rango(A).
Ahora, respecto a la matriz C, expresándola en términos de las filas de A y escalonando, encontramos una
situación análoga a la anterior:
C =










A1
.
.
.
An
A1
.
.
.
An
A1
.
.
.
An
A1
.
.
.
An










Rn+1 − R1
Rn+2 − R2
−→
.
.
.
R2n − Rn










A1
.
.
.
An
0
.
.
.
0
A1
.
.
.
An
0
.
.
.
0










=
A A
0 0
= R
En este punto del proceso de escalonamiento deduzcamos cuál es el valor de rango(C) a partir de la cantidad
de columnas linealmente independientes. Sean a1, a2...ak las columnas de A luego podemos expresar a R como
R =
A A
0 0
=
a1 a2 ... ak a1 a2 ... ak
0 0 ... 0 0 0 ... 0
Observe de lo anterior que la cantidad de columnas linealmente independientes de C realmente depende de la
cantidad de columnas linealmente independientes de A (a1, a2...ak) pues la columna uno es LD con la columna
k + 1, la columna dos es LD con la columna k + 2, y así consecutivamente. Por lo tanto rango(C) = rango(A).
Como ya habíamos hallado que rango(B) = rango(A), concluimos que rango(C) = rango(A) = rango(B).
7 Sea TA : R2
→ R2
la transformación matricial correspondiente a A =
2 −1
3 4
. Encuentre TA(u) y TA(v) donde u =
1
2
y v =
3
−2
.
TA :R2
→ R2
: podríamos interpretar a TA como una función matricial lineal que recibe vectores de R2
y los
transforma en otros vectores de R2
.
En primer lugar, hallemos a qué es igual la transformación de cualquier vector de bajo TA. Será
TA(w) =
2 −1
3 4
x
y
=
2x −y
3x +4y
14

15. Sustituyendo con los vectores dados tenemos,
TA(u) =
2 −1
3 4
1
2
=
2 ∗ 1 −2
3 ∗ 1 +4 ∗ 2
=
0
11
TA(v) =
2 −1
3 4
3
−2
=
2 ∗ 3 −(−2)
3 ∗ 3 +4 ∗ (−2)
=
8
1
8 Sea TA : R2
→ R3
la transformación matricial correspondiente a A =


3 −1
1 2
1 4

, encuentre TA(u) y TA(v) donde u =
1
2
y v =
3
−2
.
En este caso tenemos una transformación que transforma vectores de R2
en vectores de R3
.
TA(u) =


3 −1
1 2
1 4


1
2
=


1
5
9


TA(v) =


3 −1
1 2
1 4


3
−2
=


11
−1
−5


9 Demuestre que las siguientes son transformaciones lineales. Posteri-
ormente calcule la matriz estándar de la transformación.
Definición: Una transformación lineal de Rn
en Rm
es una función T : Rn
→ Rm
que satisface las siguientes
condiciones :
(a) Para todo u, v ∈ Rn
: T(u + v) = T(u) + T(v).
(b) Para todo u ∈ Rn
y todo c ∈ R : T(cu) = cT(u).
9.1 T
x
y
=
x + y
x − y
En este caso tenemos una transformación T : R2
→ R2
. Sean u =
u1
u2
y v =
v1
v2
en R2
. Evaluando la
primera propiedad tenemos que,
T(u + v) = T
u1+
u2+
v1
v2
Sustituyendo estas componentes en la definición de la transformación que nos dan, con x = u1 +v1y y = u2 +v2
T(u + v) =
(u1 + v1) + (u2 + v2)
(u1 + v1) − (u2 + v2)
=
(u1 + u2) + (v1 + v2)
(u1 − u2) + (v1 − v2)
= T(u) + T(v)
Puesto que
T(u) = T
u1
u2
=
u1 + u2
u1 − u2
y
T(v) = T
v1
v2
=
v1 + v2
v1 − v2
15

16. Ahora, verificando la segunda propiedad, debe cumplirse que T(cu) = cT(u). Luego
T(cu) = T
cu1
cu2
=
cu1 + cu2
cu1 − cu2
= c
u1 + u2
u1 − u2
= cT(u)
Luego, como cumple las dos propiedades, en efecto es una transformación lineal.
Por último para hallar la matriz estándar de la transformación evaluamos en la misma las componentes de la
base canónica de R2
(Pues el dominio de la transformación es R2
). Entonces para obtener la primera columna de la
matriz estándar, evaluamos e1, para obtener la segunda columna evaluamos e2 y así sucesivamente para obtener la
columna n evaluamos en la transformación a en.
En este caso evaluando a e1, obtenemos
T (e1) = T
1
0
=
1 + 0
1 − 0
=
1
1
Evaluando a e2,
T (e2) = T
0
1
=
0 + 1
0 − 1
=
1
−1
Luego la matriz estándar de T será
[T] = [ T(e1) T(e2)] =
1 1
1 −1
El anterior proceso equivale en “palabras cristianas” a construir la matriz estándar a partir de los coeficientes
de cada una de las variables, tal y como se construye la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineal
¿Cuáles son los coeficientes de la variable x? En este caso
1
1
¿Y de la variable y?
1
−1
. Luego la matriz
estándar es
1 1
1 −1
.
9.2 T
x
y
=


x + 2y
−x
3x − 7y


Esta es una transformación tal que T : R2
→ R3
. De manera que tomemos dos vectores u y v para evaluar las
propiedades. Sean u =
u1
u2
y v =
v1
v2
en R2
. Luego,
T(u + v) =


(u1 + v1) + 2(u2 + v2)
−(u1 + v1)
3(u1 + v1) − 7(u2 + v2)

 =


(u1 + 2u2) + (v1 + 2v2)
(−u1) + (−v1)
(3u1 − 7u2) + (3v1 − 7v2)

 = T(u) + T(v)
Y verificando la segunda propiedad para el producto
T(cu) = T
cu1
cu2
=


cu1 + 2cu2
−cu1
3cu1 − 7cu2

 = c


u1 + 2u2
−u1
3u1 − 7u2

 = T(u)
Como se cumplen las dos propiedades, concluimos que es una transformación lineal.
Por último, construyendo una matriz estándar evaluando los vectores de la base canónica en la transformación
se tiene :
T(e1) = T
1
0
=


1
−1
3


16

17. T(e2) = T
0
1
=


2
0
−7


Por tanto
[T] = [ T(e1) T(e2)] =


1 2
−1 0
3 −7


.
9.3 T


x
y
z

 =
x − y + z
2x + y − 3z
En este caso tenemos una transformación tal que T : R3
→ R2
Sean u =


u1
u2
u3

 y v =


v1
v2
v3

 en R3
, luego si T es una transformación lineal deberá cumplir que,
T(u + v) =
(u1 + v1) − (u2 + v2) + (u3 + v3)
2(u1 + v1) + (u2 + v2) − 3(u3 + v3)
Organizando estratégicamente de tal manera que lleguemos a T(u) + T(v),
T(u + v) =
(u1 − u2 + u3) + (v1 − v2 + v3)
(2u1 + u2 − 3u3) + (2v1 + v2 − 3v3)
= T(u) + T(v)
Y verificando la segunda propiedad para el producto
T(cu) = T


cu1
cu2
cu3

 =
cu1 + −cu2 + cu3
2cu1 + cu2 − 3cu3
= c
u1 + −u2 + u3
2u1 + u2 − 3u3
= cT(u)
Por último, una matriz estándar para esta transformación, evaluando la base canónica de R3
(Pues el domino de
la transformación es R3
):
La primera columna será,
T(e1) = T


1
0
0

 =
1 − 0 + 0
2 ∗ 1 + 0 − 3 ∗ 0
=
1
2
La segunda columna:
T(e2) = T


0
1
0

 =
0 − 1 + 0
1 + 1 − 0
=
−1
1
y la tercera columna será,
T(e3) = T


0
0
1

 =
0 − 0 + 1
2 ∗ 0 + 0 − 3 ∗ 1
=
1
−3
por tanto,
[T] = [ T(e1) T(e2) T(e3)] =
1 −1 1
2 1 −3
17

18. 9.4 T


x
y
z

 =


x
x + y
x + y + z


Tenemos una transformación tal que T : R3
→ R3
(Transforma vectores de R3
en vectores del mismo orden)
Sean u =


u1
u2
u3

 y v =


v1
v2
v3

 en R3
, luego si T es una transformación lineal deberá cumplir que
T(u + v) =


u1 + v1
u1 + v1 + u2 + v2
u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3

 =


u1 + v1
(u1 + u2) + (v1 + v2)
(u1 + u2 + u3) + (v1 + v2 + v3)

 = T(u) + T(v)
Y verificando la segunda propiedad para el producto
T(cu) = T


cu1
cu2
cu3

 =


cu1
cu1 + cu2
cu1 + cu2 + cu3

 = c


u1
u1 + u2
u1 + u2 + u3

 = cT(u)
Por último, una matriz estándar para esta transformación con base en los coeficientes de las variables será
[T] =


1 0 0
1 1 0
1 1 1

.
10 En cada uno de los siguientes casos, provea un contraejemplo para
probar que las transformaciones no son lineales.
10.1 T
x
y
=
y
x2
En este caso vemos que en la segunda componente hay una potencia par. Es muy factible que en una transformación
de este tipo falle la propiedad del producto por escalar. Sea un vector u =
1
1
, y c = −1 luego
T(−u) =
−1
(−1)2
=
−1
1
6= −T(u)
Luego, no es una transformación lineal.
10.2 T
x
y
=
|x|
|y|
En este caso tenemos otra operación que puede afectar los signos de las componentes. Ataquemos nuevamente con
la segunda propiedad. Sea un vector u =
1
1
, y c = −1 luego
T(−u) =
|1|
|1|
=
1
1
6= −T(u)
Siendo −T(u) =
−1
−1
10.3 T
x
y
=
xy
x + y
Ataquemos evaluando la primera propiedad. Seanu =
1
1
y v =
−2
−2
en R2
, luego si T es una transformación
lineal debe cumplir, entre otras propiedades, que
18

19. T(u + v) = T(u) + T(v)
Sustituyendo,
T(u + v) = T
−1
−1
=
(−1)(−1)
−1 − 1
=
1
−2
Ahora,
T(u) =
1 ∗ 1
1 + 1
=
1
2
y
T(v) =
(−2) ∗ (−2)
−2 − 2
=
4
−4
Por lo que sumando,
T(u) + T(v) =
1
2
+
4
−4
=
5
−2
6= T(u + v). Se concluye que T no es una transformación lineal pues
no cumple al menos una de las propiedades de las mismas.
10.4 T
x
y
=
x + 1
y + 1
Teorema: si T es una transformación lineal, entonces T(0) = 0
En este caso,
T
0
0
=
0 + 1
0 + 1
=
1
1
6=
0
0
Por tanto, T no es una transformación lineal.
11 En los siguientes ejercicios demuestre que la transformación dada de
R2
en R2
es una transformación lineal, al demostrar que se trata de
una transformación matricial.
Definición: Sea A una matriz de orden m × n. La función TA : Rn
→ Rm
, dada por TA(u) = Au, para todo
u ∈ Rn
, se denomina la transformación matricial asociada a A.
Teorema: Toda transformación matricial es lineal.
Prueba: Sean u, v ∈ Rn
y c un escalar arbitrarios. Por propiedades del producto matricial, se tiene que
TA(u + v) = A(u + v) = Au + Av = TA(u) + TA(v)
y
TA(cu) = A(cu) = c(Au) = cTA(u)
Por tanto TAes lineal.
En “palabras cristianas”, si es posible expresar una función matricial como el producto de una matriz por un
vector u, entonces tal función es una transformación matricial y por ende es lineal.
19

20. 11.1 F refleja un vector a través del eje y.
¿Qué significa que refleje un vector a través del eje y? Se requiere encontrar una matriz que dado un vector, retorne
el mismo vector pero con la componente x negada (¡Imagine que el eje y es un espejo sobre el que se refleja el vector
¿Cómo? Negando la componente x del mismo!). Comencemos por construir lo más básico: una matriz que reciba a
un vector w =
x
y
∈ R2
y cuya producto por tal matriz (O su respectiva imagen bajo esta matriz) sea el mismo
vector. En este caso estamos hablando de la matriz identidad:
M1 =
1 0
0 1
Dicha matriz multiplicada por un vector de R2
M1w lo deja intacto. Pero requerimos un cambio adicional sobre
tal matriz con el fin de que dicha matriz “devuelva” la primera componente negada ¿Qué tal si negamos el pivote
de la primera columna?
M2 =
−1 0
0 1
Verificando
M2 =
−1 0
0 1
x
y
=
−x
y
Por tanto, como se trata de una transformación matricial
(Puede ser expresada como el producto de una matriz por
un vector de variables x∈ R2
) entonces, concluimos que también es lineal.
11.2 R rota un vector 450
en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno
al origen.
La matriz estándar de R2x2
que permite rotar un vector θ radianes es (En el sentido contrario a las manecillas del
reloj si θ es positivo, y en sentido horario si θ es negativo)
M =
cosθ −senθ
senθ cosθ
De manera que nos piden rotar un vector por θ = Π
4 , luego,
M =
cosΠ
4 −senΠ
4
senΠ
4 cosΠ
4
=
√
2
2 −
√
2
2
√
2
2
√
2
2
#
Al multiplicar esta matriz por un vector
x
y
obtenemos
M
x
y
=
√
2
2 −
√
2
2
√
2
2
√
2
2
#
x
y
=
√
2
2 x −
√
2
2 y
√
2
2 x +
√
2
2 y
#
Función que corresponde a una transformación matricial y por tanto es lineal.
11.3 R rota un vector 300
en el sentido de las manecillas del reloj en torno al origen.
Mucho cuidado. En este caso nos están pidiendo una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. La
matriz de rotación estándar, para un valor positivo de θ realiza una rotación en el sentido contrario a las manecilllas
del reloj. Mientras que para un valor negativo de θ se hace una rotación en el sentido de las manecillas
del reloj.
Sea pues en este caso θ = −Π
6 pues es en el sentido de las manecillas del reloj
20

21. M =
cos − Π
6 −sen − Π
6
sen − Π
6 cos − Π
6
=
√
3
2
1
2
−1
2
√
3
2
#
Recuerde que la función coseno es una función par. Es decir cos(−θ) = cos(θ). Mientras que la función seno es
impar, lo que implica que sen(−θ) = −sen(θ).
Ya habiendo encontrado tal matriz, podemos afirmar que la función Mv con v =
x
y
∈ R2
es una transfor-
mación matricial y por tanto es lineal.
11.4 D estira un vector por un factor de 2 en la componente x y por un factor de 3
en la componente y.
Observe que lo que nos proponen aquí es realizar operaciones elementales sobre un vector. Multiplicar su componente
x por 2 y su componente y por 3. Recordemos que una matriz elemental es aquella asociada a un intercambio de
filas en una matriz, a una multiplicación de una fila por un escalar o a sumar un múltiplo de una fila a otra. En
este caso la matriz elemental asociada a multiplicar la primera fila de una matriz A por 2 será:
E1 =
2 0
0 1
Observe que las matrices elementales se construyen a partir de la identidad, verifique que al multiplicar E1A
obtendrá como resultado a la matriz A con su primera fila multiplicada por 2.
Ahora, para una matriz que multiplique la segunda fila de cualquier vector o matriz de orden 2, por 3 tenemos
E2 =
1 0
0 3
Si queremos expresar las dos operaciones en una sola matriz, las multiplicamos:
E2E1 =
1 0
0 3
2 0
0 1
=
2 0
0 3
Verifiquemos que funcione. Dado un vector w =
x
y
, luego su producto por esta matriz es,
2 0
0 3
x
y
=
2x
3y
La función obtenida es una transformación matrical y por tanto, es lineal.
¡A veces es útil el concepto de matrices elementales!
11.5 P proyecta un vector sobre la recta y = x.
Recordemos que para aplicar la proyección sobre un vector, en primer lugar necesitamos saber sobre qué vector
vamos a proyectar. Recordando bases de geometría vectorial, si se quiere proyectar un vector sobre determinada
recta que pasa por el origen luego es necesario conocer el vector director de dicha recta para aplicar la proyección.
Dada una recta del tipo ax + by + c = 0 un vector director de la misma será D =
−b
a
En este caso tenemos la ecuación y − x = 0. Por tanto un vector director asociado será D =
−1
−1
. El vector
también podría ser cualquier escalar múltiplo de dicho vector. Así, tenemos que la proyección para cualquier vector
w =
x
y
en R2
será:
ProyD(w) =
Dw
||D||2
D
21

22. La magnitud de D es,
||D|| =
p
(−1)2 + (−1)2 =
√
2
Por otro lado,
Dw =
−1
−1
x
y
= −x − y
Sustituyendo en la definición de proyección se tiene,
ProyD(w) =
−x − y
√
22
−1
−1
=
x+y
2
x+y
2
=
1
2
1
2
1
2
1
2
x
y
Como la función pedida puede ser expresada como el producto de una matriz por un vector v =
x
y
∈ R2
,
luego es una transformación matricial y por tanto lineal.
11.6 P proyecta un vector sobre la recta y = 2x
En este caso tenemos la ecuación y−2x = 0. Por tanto un vector director asociado será D =
−1
−2
. Así, tenemos
que la proyección será, para cualquier vector w =
x
y
en R2
será:
ProyD(w) =
Dw
||D||2
D
La magnitud de D es,
||D|| =
p
(−1)2 + (−2)2 =
√
5
Por otro lado,
Dw =
−1
−2
x
y
= −x − 2y
Sustituyendo en la definición de proyección se tiene,
ProyD(w) =
−x − 2y
√
52
−1
−2
=
x+2y
5
2x+4y
5
=
1
5
2
5
2
5
4
5
x
y
11.7 P proyecta un vector sobre la recta y = −x.
En este caso tenemos la ecuación y +x = 0. Por tanto un vector director asociado será D =
1
−1
. Así, tenemos
que la proyección será, para cualquier vector w =
x
y
en R2
será:
ProyD(w) =
Dw
||D||2
D
La magnitud de D es,
||D|| =
p
(1)2 + (−1)2 =
√
2
Por otro lado,
Dw =
1
−1
x
y
= x − y
Sustituyendo en la definición de proyección se tiene,
ProyD(w) =
x − y
√
22
1
−1
=
x−y
2
−x+y
2
=
1
2 −1
2
−1
2
1
2
x
y
22

23. 12 En los siguientes ejercicios encuentre la composición S ◦ T primero
mediante sustitución directa y posteriormente mediante multipli-
cación matricial.
Este ejercicio se soluciona de manera análoga a la composición de funciones en los reales. Dado S◦T, tomamos la
estructura general de los elementos de T y los sustituimos en las variables correspondientes de la transformación S.
Veamos la definición formal:
Definición: Sean T : Rn
→ Rm
y S : Rm
→ Rp
transformaciones lineales. Definimos la compuesta de S y T
como la función S◦T : Rn
→ Rp
, dada por (S◦T)(u) = S(Tu), ∀u ∈ Rn
.
Note que de la definición se deduce que para que una composición S◦T esté definida necesariamente se debe
dar que el orden de los vectores del rango de T debe ser igual al orden de los vectores del dominio de S. Dicho
en palabras informales, dado el orden de composición S◦T, primero aplicaré la transformación T, y necesito que el
vector resultante al aplicar T, sea compatible, del mismo orden, que los vectores que recibe S. De lo contrario no
estaría definida la composición.
12.1 T
x
y
=
x − y
x + y
S
x
y
=
2x
−y
De manera que evaluando mediante sustitución directa tenemos que:
(S◦T)
x
y
= S(T
x
y
) = S
x − y
x + y
Ahora, evaluando las componentes de la transformación T en S,
S
x − y
x + y
=
2x − 2y
−x − y
Verifiquémoslo hallándolo mediante multiplicación matricial. Lo primero es encontrar la matriz estándar para
tales transformaciones lineales. Sea para T
[T] =
1 −1
1 1
Mientras que para S
[S] =
2 0
0 −1
Por tanto, una matriz estándar para la composición (S◦T), será el producto de las matrices estándar [S][T]
(Observe que es necesario conservar el orden según la dirección de la composición que nos dan. Si nos hablan de
(S◦T) luego se deberá multiplicar en ese mismo orde [S][T]),
[S][T] =
2 0
0 −1
1 −1
1 1
=
2 −2
−1 −1
Que en efecto coincide con los coeficientes de la composición de transformaciones hallada anteriormente.
12.2 T
x
y
=
y
−x
S
x
y
=


x + 3y
2x + y
x − y


En primer lugar, es claro que nos piden hallar S◦T (Dado un vector aplicamos primero T, y a lo que resulte de esta
transformación le aplicamos la transformación S). Por tanto,
(S◦T)
x
y
= S(T
x
y
)
23

24. Como T
x
y
=
y
−x
, luego
S(T
x
y
) = S
y
−x
=


y + 3(−x)
2y + (−x)
y − (−x)

 =


y − 3x
2y − x
y + x


Verifiquemos el resultado mediante producto matricial. La matriz estándar asociada a S, como se tienen 3 filas
y 2 variables en la definición de la misma S
x
y
=


x + 3y
2x + y
x − y

, es una matriz 3x2. Tenga en cuenta que el orden
de las variables asociadas a cada columna debe ser el mismo en ambas matrices. En este caso la variable x se asoció
a la primera columna y la variable y a la segunda (Evalúe los elementos de la base canónica en la transformación
para verificar, recuerde que al evaluar e1obtendrá la primera columna y al evaluar e2obtendrá la segunda columna),
[S] =


1 3
2 1
1 −1


Ahora, la matriz estándar de T,
[T] =
0 1
−1 0
Y el producto de estas matrices, teniendo en cuenta el orden de la composición es:
[S][T] =


1 3
2 1
1 −1


0 1
−1 0
=


−3 1
−1 2
1 1


Que corresponde a la matriz estándar de la composición de transformaciones hallada anteriormente.
12.3 T


x1
x2
x3

 =
x1 + x2 + x3
2x1 − x2 + x3
S
y1
y2
=
4y1 − 2y2
−y1 + y2
Aplicando la composición
(S◦T)


x1
x2
x3

 = S(T


x1
x2
x3

)
Como ya se conoce la estructura general de las imágenes de T entonces
S(T


x1
x2
x3

) = S
x1 + x2 + x3
2x1 − x2 + x3
Sustituyendo aplicándole a tales componentes la transformación S,
S
x1 + x2 + x3
2x1 − x2 + x3
=
4(x1 + x2 + x3) − 2(2x1 − x2 + x3)
−(x1 + x2 + x3) + 2x1 − x2 + x3
=
6x2 + 2x3
x1 − 2x2
Ahora, verifiquemos el resultado hallando las matrices estándar. Para S,
[S] =
4 −2
−1 1
Y para T,
[T] =
1 1 1
2 −1 1
24

25. Y haciendo el producto según el orden de la composición dado,
[S][T] =
4 −2
−1 1
1 1 1
2 −1 1
=
0 6 2
1 −2 0
Que corresponde a la matriz estándar de la composición de transformaciones anterior.
13 Encuentre la matriz estándar de la transformación compuesta T :
R2
→ R2
descrita.
Observemos que uno de los fines de la composición de transformaciones es aplicar distintas transformaciones en un
solo paso ¿Requiere usted aplicar tres transformaciones lineales constantemente a un vector, paso a paso? Usted
puede evaluar si es factible componer las tres funciones, y en caso de serlo, multiplique sus matrices estándar para
encontrar una matriz resultante que contendrá las tres operaciones implícitas (¡Promoción, promoción, lleve 3 por
1!)
13.1 Rotación de 600
en sentido contrario al de las manecillas del reloj seguida por
reflexión a través de la recta y = x
En primer lugar, hallemos la ecuación para la reflexión de un vector respecto a la recta y = x.
Recordar que,
ProyDx =
1
2
(x + ReflexDx)
ReflexDx = 2ProyDx − x
En este caso un vector director para la recta y = x es D =
1
1
cuya magnitud es ||D|| =
√
2. Por lo tanto,
ProyDx =
Dx
||D||2
D =
x + y
2
1
1
=
x+y
2
x+y
2
Dicha proyección ya se había hallado en el punto 10.5 de este documento. Luego,
ReflexDx = 2ProyDx − x =
x + y
x + y
−
x
y
=
y
x
Por tanto, una transformación matricial para la reflexión respecto a la recta y = x la podemos definir como,
S
x
y
=
y
x
Cuya matriz estándar es [S] =
0 1
1 0
estando la primera columna ligada a la variable x y la segunda columna
ligada a la variable y.
Ahora para la transformación lineal correspondiente a la rotación por θ = Π
3 , en sentido contrario de las
manecillas del reloj se tiene,
T
x
y
=
cosθ − senθ
senθ + cosθ
x
y
=
xcosθ − ysenθ
xsenθ + ycosθ
sustituyendo a θ = Π
3 ,
T
x
y
=
xcosΠ
3 − ysenΠ
3
xsenΠ
3 + ycosΠ
3
=
1
2 x −
√
3
2 y
√
3
2 x + 1
2 y
#
Cuya matriz estándar [T] será
25

26. [T] =
1
2 −
√
3
2
√
3
2
1
2
#
Ya ha notado que cuando componemos transformaciones en el fondo lo que hacemos es multiplicar sus matrices
estándar. De esto podemos deducir otro aspecto muy importante. Para el producto de matrices se tiene que en
general AB 6= BA, y lo mismo se da para la composición de transformaciones, en general (S◦T)(u) 6= (T◦S)(u).
Continuando con la solución, en este ejercicio nos piden que primero apliquemos la rotación y luego la reflexión.
Por tanto, si T es la rotación y S la reflexión, la composición que nos piden es (S◦T). Multiplicando sus matrices
estándar tenemos que la matriz estándar pedida es,
[S][T] =
0 1
1 0
1
2 −
√
3
2
√
3
2
1
2
#
=
√
3
2
1
2
1
2 −
√
3
2
#
13.2 Reflexión a través del eje y seguida por una rotación de 300
en el sentido de las
manecillas del reloj.
Mucho cuidado en este punto. Observen que ahora la rotación
En 11.2 ya habíamos encontrado que una matriz estándar para la reflexión S respecto al eje y es
[S] =
−1 0
0 1
Y en 11.3 hallamos la matriz estándar para la rotación T de 300
,
[T] =
√
3
2 −1
2
1
2
√
3
2
#
Como nos piden aplicar primero la reflexión y luego la rotación de 300
, luego una matriz estándar para la
transformación pedida es,
[T][S] =
√
3
2 −1
2
1
2
√
3
2
#
−1 0
0 1
=
−
√
3
2 −1
2
−1
2
√
3
2
#
13.3 Rotación de 450
en el sentido de las manecillas del reloj, seguida por proyección
sobre el eje y seguida por rotación de 450
en el sentido de las manecillas del
reloj.
Dada la matriz estándar para una rotación por θ, recuerde que dicha matriz está diseñada de tal manera que al
darle un valor de ángulo positivo, la rotación se hará en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En este caso
nos piden hacer rotaciones pero en el sentido de las manecillas del reloj por tanto no haremos una rotación
por θ = Π
4 sino por θ = −Π
4 . La matriz estándar para esta transformación, llamémosla S, será:,
[S] =
cos − Π
4 −sen − Π
4
sen − Π
4 cos − Π
4
=
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
#
La proyección sobre el eje y corresponde simplemente a un vector que contiene la componente y del vector
transformado. Así,
proyDw =
0
y
La matriz estándar de la anterior transformación, llamémosla T será,
[T] =
0 0
0 1
26

27. Nos piden aplicar primero una rotación de 450
, luego una proyección sobre el eje y y nuevamente la misma
rotación. Multipliquemos las tres matrices para obtener las tres trasnformaciones en una sola matriz,
[S][T][S] =
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
#
0 0
0 1
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
#
=
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
#
0 0
−
√
2
2
√
2
2
=
−1
2
1
2
−1
2
1
2
13.4 Reflexión a través del eje y = x, seguida por una rotación de 300
en sentido
contrario al de las manecillas del reloj, seguida por reflexión a través de la
recta y = −x
Una matriz estándar para la reflexión S a través del eje y = x ya hallada es:
[S] =
0 1
1 0
Para una rotación T de 300
se tiene:
[T] =
√
3
2 −1
2
1
2
√
3
2
#
Finalmente, para la reflexión W respecto a y = −x:
Ya habíamos encontrado que la proyección respecto a esta recta es,
ProyDx =
1
2 −1
2
−1
2
1
2
x
y
Y sabemos que la definición de la reflexión para el plano es,
ReflexDx = 2ProyDx − x
=
x −y
−x y
−
x
y
=
−y
−x
luego una matriz estándar para la reflexión W es,
[W] =
0 −1
−1 0
Luego, la matriz estándar de la transformación final pedida será:
[W][T][S] =
0 −1
−1 0
√
3
2 −1
2
1
2
√
3
2
#
0 1
1 0
=
0 −1
−1 0
−1
2 −
√
3
2
−
√
3
2
1
2
#
=
√
3
2 −1
2
1
2
√
3
2
#
14 Suponga que Rθ : R2
→ R2
denota la transformación lineal de rotación
por un ángulo θ en el sentido de las manecillas del reloj. Dados dos
ángulos α, β, demuestre que Rα+β = Rα◦Rβ.
Recordemos que dado un ángulo θ positivo, la matriz estándar de la transformación lineal de rotación en el sentido
contrario a las manecillas del reloj es:
W =
cosθ −senθ
senθ cosθ
Pero lo que necesitamos es que, dado un ángulo θ positivo, la matriz rote en el sentido de las manecillas del
reloj. Para ello se niegan los θ en la matriz estándar anterior (Cambiando el sentido de la rotación),
27

28. Rθ =
cos − θ −sen − θ
sen − θ cos − θ
y por propiedades de senos y cosenos sen(−θ) = −sen(θ) y cos(−θ) = cos(θ),
Rθ =
cosθ senθ
−senθ cosθ
Ya teniendo la matriz estándar anterior correspondiente a la transformación que nos piden, verifiquemos a qué
es igual Rα+β:
Rα+β =
cos(α + β) sen(α + β)
−sen(α + β) cos(α + β)
recordando las siguientes identidades de senos y cosenos,
cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sen(α)sen(β)
sen(α ± β) = sen(α)cos(β) ± sen(β)cos(α)
luego, aplicando dichas identidades para Rα+β esto es igual a,
Rα+β =
cos(α + β) sen(α + β)
−sen(α + β) cos(α + β)
=
cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β) sen(α)cos(β) + sen(β)cos(α)
−sen(α)cos(β) − sen(β)cos(α) cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
=
cos(α) sen(α)
−sen(α) cos(α)
cos(β) sen(β)
−sen(β) cos(β)
= Rα♥Rβ
Conclusión.
15 Sea T : Rn
→ Rn
una transformación lineal. Demuestre que T(0) = 0.
Como T es una transformación lineal, luego debe cumplir la propiedad del producto por escalar, que enuncia que
dado un vector w ∈ Rn
y un escalar α se cumple que,
T(αw) = αT(w)
Ahora, si α = 0 entonces
T(0w) = 0T(w)
T(0) = 0
Conclusión.
16 ¿Cuales de las siguientes transformaciones satisfacen T(v+w) = T(v)+
T(w) y cuales satisfacen T(αv) = αT(v)?
16.1 T(v) = v
||v||
¿Cumple que T(v + w) = T(v) + T(w)?
28

29. T(v + w) =
v + w
||v + w||
=
v
||v + w||
+
w
||v + w||
Que es diferente a
T(v) + T(w) =
v
||v||
+
w
||w||
Luego no se cumple esta propiedad.
¿Cumple que T(αv) = αT(v)?
T(αv) =
αv
||αv||
observe que la magnitud del denominador es igual a,
||αv|| =
p
(αv1)2 + (αv2)2 + ... + (αvn)2 = α
p
v1
2 + v2
2 + ... + vn
2
luego,
T(αv) =
αv
||αv||
=
αv
α||v||
=
v
||v||
En efecto, cumple la segunda propiedad.
16.2 T(v) = v1 + v2 + v3
Dado w =


w1
w2
w3

 , evaluemos la primera propiedad:
T(v + w) = (v1 + w1) + (v2 + w2) + (v3 + w3)
= (v1 + v2 + v3) + (w1 + w2 + w3)
= T(v) + T(w)
Luego, cumple la primera propiedad.
¿Cumple la segunda propiedad?
T(αv) = αv1 + αv2 + αv3
= α(v1 + v2 + v3)
= αT(v)
También cumple la segunda propiedad.
16.3 T(v) = (v1, 2v2, 3v3)
Evaluando la primera propiedad,
T(v + w) = (v1 + w1, 2v2 + 2w2, 3v3 + 3w3)
= (v1, 2v2, 3v3) + (w1, 2w2, 3w3)
= T(v) + T(w)
Cumple la primera propiedad.
Respecto a la segunda propiedad,
29

30. T(αv) = (αv1, 2αv2, 3αv3)
= α(v1, 2v2, 3v3)
= α(v1, 2v2, 3v3)
También cumplea la segunda propiedad.
16.4 T (v) = componente de valor máximo
Es decir, dado un vector v, el resultado será la componente escalar con el máximo valor respecto a las demás.
Evaluando la primera propiedad:
T(v + w) = componente (vi + wi) de valor máximo
T(v) + T(w) = componente vi de valor máximo + componente wj de valor máximo
Note de lo anterior que para T(v +w) el valor máximo está compuesto por componentes de v y w pertenecientes
a una misma fila, caso que no necesariametne se da con T(v) + T(w). Esto nos da un indicio de que deberíamos
atacar por contraejemplo.
Sean v =


1
2
3

 y w =


3
1
2


luego v + w =


4
3
5

,
T(v + w) = 5
Ahora evaluando de manera individual,
T(v) + T(w) = 3 + 3 = 6 6= 5
Se concluye de esta manera que no se cumple la primera propiedad.
Al hablar de valor máximo ya podríamos suponer que no se cumplirá la segunda propiedad pues al multiplicar
por escalares negativos lo que en un principio se mostraba como un máximo se convertirá en un mínimo. Evaluando
para v con α = −1, el valor máximo será:
T(αv) = T

−


1
2
3



 = −1
mientras que para αT(v)
αT(v) = −T


1
2
3

 = −(3) = −3 6= −1
Luego, no se cumple la segunda propiedad.
17 Considere la transformación T : R2
→ R2
definida por T(v) =
x+y
2
x+y
2
Observemos que dicha transformación se puede expresar como
T(v) =
1
2
1
2
1
2
1
2
x
y
30

31. Es decir, se puede expresar como una transformación matricial, donde su matriz asociada es A =
1
2
1
2
1
2
1
2
,
por tanto es una transformación lineal.
Ahora, para verificar que es una proyección debemos hacer un proceso de “ingeniería inversa”. Ya sabemos que
dicha transformación corresponde a una proyección, de manera que busquemos “devolvernos” a su forma general.
Debemos llegar a
ProyD(v) =
Dv
||D||2
D
En primer lugar, extraemos el escalar x+y
2 :
T(v) =
x + y
2
1
1
Asumiendo que el vector D de nuestra definición general es el vector
1
1
en este caso, podemos expresar el
denominador equivalentemente como:
T(v) =
x + y
||
1
1
||2
1
1
y la expresión x + y =
1
1
x
y
,
T(v) =
1
1
x
y
||
1
1
||2
1
1
Esta es una expresión equivalente para la transformación con la estructura explícita de la proyección, de donde
deducimos que el vector sobre el que se está proyectando es D =
1
1
(Es la proyección sobre la recta y = x).
18 Sea T : R3
→ R3
definida por T


v1
v2
v3

 =


v2
v3
v1

.
18.1 ¿Cuál es la transformación T(T(v))?
En primer lugar es necesario encontrar cuál es la matriz estándar de T. Evaluando la base canónica de R3
en la
misma (Pues hay 3 variables),
Para hallar la primera columna,
T(e1) = T


1
0
0

 =


0
0
1


para la segunda,
T(e2) = T


0
1
0

 =


1
0
0


y para la tercera,
31

32. T(e3) = T


0
0
1

 =


0
1
0


Por tanto, la matriz estándar de T es
[T] =


0 1 0
0 0 1
1 0 0


Ahora T(T(v)), recordemos que la podemos expresar en términos de un producto de las matrices estándar de
las transformaciones involucradas en la composición
[T][T]v = [T]2
v =


0 0 1
1 0 0
0 1 0




v1
v2
v3

 =


v3
v1
v2


18.2 ¿Cuál es la transformación T3
(v)?
Ya habíamos hallado anteriormente T2
, luego
T3
v = TT2
v =


0 1 0
0 0 1
1 0 0




0 0 1
1 0 0
0 1 0




v1
v2
v3

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1




v1
v2
v3

 =


v1
v2
v3


18.3 ¿Cuánto es T100
?
Observe que T3
= I ¿Qué será T4
? será TT3
= TI = T. ¿Qué será T5
? Será, según lo hallado para T4
:
TT4
= TT = T2
. Y finalmente ¿Qué será T6
? T6
= TT5
= TT2
= T3
= I. Es decir, cada que la potencia
de T es múltiplo de 3 se repite la matriz identidad. De lo anterior podemos deducir que T99
= I y por tanto
T100
= TT99
= TI = T
Así
T100
v = TT99
v = TIv = Tv =


v2
v3
v1


19 Suponga que T : R2
→ R2
es una transformación lineal tal que
T(1, 1) = (2, 2) y T(2, 0) = (0, 0). Encuentre T(v) para los siguientes
vectores
19.1 v = (2, 2)
En primer lugar debemos saber qué es T(v), solamente sabemos que es una transformación cuyo dominio es R2
y
cuya imagen también es R2
, por tanto la matriz estándar de T deberá ser una matriz de R2x2
. Sean x, y, z, w las
cuatro componentes de la matriz estándar de T, luego
[T] =
x y
z w
Solamente sabemos que,
x y
z w
1
1
=
2
2
⇔
x + y = 2
z + w = 2
Y que,
x y
z w
2
0
=
0
0
⇔
2x = 0
2z = 0
⇔
x = 0
z = 0
32

33. sustituyendo x = 0 y z = 0 en las primeras dos restricciones halladas, llegamos a que y = 2 y w = 2. Así la
matriz estándar de T es
[T] =
0 2
0 2
Por tanto,
0 2
0 2
2
0
=
0
0
19.2 v = (3, 1)
Tv =
0 2
0 2
3
1
=
2
2
19.3 v = (−1, 1)
Tv =
0 2
0 2
−1
1
=
2
2
19.4 v = (a, b)
Luego, una forma general para T dado un vector (a, b) cualquiera de R2
es:
Tv =
0 2
0 2
a
b
=
2b
2b
33