Función cuadrática 1

1. La funcion cuadratica
RECOR AR
Llamamos función cuadrática a toda función cuya
expresión sea de la forma: 3 eje de simetría
f(x) =ax bx + c ( a 0)
-3
IR coeficiente principal
be Rcoeficiente del término lineal
ce Rtérminoindependiente
a
El dominio natural de estas funciones es R, y al
representarlas gráficamente se obtiene una curva
lamada parábola.
Cada parábola presenta un eje de simetría vertical y,
sobre él, un punto llamado vértice en el que la cur-
vértice: (1; -9)
raices:-2 yy4
ordenada al origen: -8
va pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. 9
Los ceros o raíces reales de una función cuadrática -10
son las abscisas de los puntos de contacto entre su
gráfica y el eje de las x.
Completen la tabla de valores, representen la curva y señalen en el gráfico el vértice y el eje de
simetría de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.
a) fx) =
x -4 b fx) =
x -
4x + 3
i 2 3 4 56
0 1 2 3 1 -2 -3 -0,5 0 1 2 34 4,5
CAPÍTULO 5 FUNCIONES CUADRÁTICAS MATEMÁTICA 1 POLIMODAL 7

2. ECuaciones cuidialitd
R DAB
Llamamos ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado, a las ecuaciones que pueden reducirse
a la forma ax bx c -0 (con a #0).
Cuando igualamos a cero la fórmula de una función cuadrática para averiguar sus raices, planteamos una
ecuación cuadrática.
Las soluciones reales de esta ecuación, que pueden ser dos, una o ninguna, serán los valores buscados.
Decimos que una ecuación cuadrática es incompletacuando sus coeficientes bocson nulos.
Observen cómo podemos resolver algunas ecuaciones cuadráticas incompletas.
-3x6x - 0
x.(-3x+ 6) = 0
yx-4
x-4 00
x=4
x V4
X 2 4 -3-2 -1,1
X0-3x + 6 =0
-3x -6
2 - 2
x =-6: (-3)
y--3x26x
2 2
12 Observen la figura y respondan a las siguientes preguntas.
a :Cuáles de las funciones representadas tienen dos ceros? *** *****************
* * * * * * * * *
* * * * * * * * *
b Cuáles tienen un solo punto de contacto con el eje de las x? .
* * * * * * * * * * * * * * * * *
J Cuáles no tienen ningún cero? *******
* * * ° ° ° *
************************** *************** ***
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * .
fs
f2 f3
6
f4
13) Resuelvan las siguientes ecuaciones, cuando sea posible.
aj-9 =
0
b+4 -0
1-x =
0
d3x-x -
3x -
2
e5x - x = 0
fj 4x+3x =0
&J x(3x 2) =
x*-
5x
h) 4 3x - x = (3x - 2)
«{x+ 2) - 2x(x - 1)
CAPÍTULO5 FUNCIONES CUADRÁTICAS MATEMÁTICA 1 POLIMODAL

3. Onsideren los prisnmas de base cualrada que tienen I m de altua.
EsctiDan la tormula de ma funcion que pemita calcular el voluen del prisma en m'en fun-
Cion de la arista /de la base, en m. ndiquen stu donminio y represéntenla graticanente.
Canto miid elpertmetro de la base de uno de estos prismas, si su volumen es 0,1.39 m
n es artesano y tiene un poblema con un cliente sobre una alfombra que le encargo. El
se
norGarea, su cliente, encargo una alfombra cuadrada de 1,5 m de lado, cuyo preciO era s*u (dU0
C n), pero liego cambio de opiniony le pidió (que hiciera una cuyo lado fuese el doble. Crarc1a esta
aspuesto a pagar S9O0 por la nueva alfonmbra, pero Juan dice que el precio es el doble de lo que ore
ce su clicnte. ;Quién tiene razón? lustifiquen la espuesta.
1Un jugador de golt, ubicado junto a uno
de los oriticios del campo. golpea la pelota con
intenció de lograr un hoyo de 90 m. (Recuer-
den que un hoyo es la distancia entre dos oriti-
cios consecutivos del campo.)
La trayectoria de la pelota responde a la tun-
ción:y 0,2 x (1 -
0,01 x). dondey es la altu-
ra alcanzada y x es la distancia horizontal re
corrida.
aPodrá la pelota pasarsobreuna loma de
3 m de altura que se encuentra en la mitad
del hoyo? Justifiquen su respuesta.
bJ En caso de hacerlo, cumplirá con el obje-
tivo del golfista? Justifiquen su respuesta.
17 La energía cinética de un móvil se mide en joules (un ijoule es la energia con que se desplaza
un cuerpo de un kilogramo a una velocidad de un metro por segundo) y se caleula mediante la törmula:
E=mv" donde mes la masa en kilogramos del cuerpoyvla velocidadconquesedesplaza en m/seg)
Con qué velocidad se desplaza una bala de 10 gramos de masa que en el momento de ser disparada tie
ne una energía cinética de 162 joules?
13En un péndulo, la relación entre su longitud L (en nmetros) y
su período, que es el tiempo T (en segundos) que tarda en com-
pletar una oscilación, se puede aproximar mediante la siguiente
fórmula o
Cuál es el período de un péndulo de 40 cm de longitud?
19 Calculen el área de un rectángulo de 12 enn de base y 13 em
de diagonal.
20 Calculen el perímetro de un rombo si sus ciiagonales niiden, respectivamente, 16 cm y 12 cm.
MATEMÁTIGA 1 POLIM9DAL FUNCIONES CUADRATICAS CAPTULn

4. Resolución de ecuaciones cuadráticas Completas
RECORDAR
Las soluciones x y x2 de cualquier ecuación cuadrática, una vez reducida a la forma ax + bx +C-0
(con a 0), se pueden obtener mediante la siguiente fórmula, conocida comofórmula resolvente:
-bVb -4.a.c
2.a
Observen un
ejemplo de cómo se aplica.
3x+ 2x- 5 0 a 3; b = 2; c = -5
: x, -2V
N2'-4.3.-5).-2:V4+60-2V64
2.3
-
21 Resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a 2x 12x+ 10 0
bj -0,5x - 3x = 4,5
+ 4x + 1 7 -
dxx+2) =-1
e 8x +26 =* - 7
fj-4x =5
22 Observen la figura. Sabiendo que la imagen ocupa 55 Cm
un área de 1 350 cm", calculen el ancho x del marco.
* * * °
4,0 cm
* * * *****°***********
******* * * * * * * *
** ********.****° ******* * ° * * * * * * * *
23 Sobre la esquina de un terreno rectangular que tiene 50 m más de fondo que de frente, se
construye una casa de 15 m por 30 m. Si queda libre una superficie de 4 550 m, calculen la medida
del frente del terreno.
******°*****°°*****°°*************°*****************°***°********°********************************
****°**** *******************°
****°********°* *°*******°***°**********
***°********° ************************
***********e*** eo* *******°***
* * * * * * * * * ° * * * * ° *
CAPÍTULO 5 FUNCIONES CUADRÁTICAS MATEMATICA 1 POLIMODAL

5. Hallen el valor dexen cada una delas siguientes figuras, utilizando la información dada. (Las
Ogitudes están expresadas en cmy las áreas en cm?; P = perímetro; A =årea.)
d x-2
X +
5
x+2
X
A 60
b) 2x-5
e
2x+3
3x+1
A 150
2x 5
3x
4x
X+2
P 20
A 90
CEUn agricultor tiene un resto de 100 toneladas de granos que puede vender a $ 190 la tonelada.
Sabe que por cada $ 10 que aumente el precio, vende 5 toneladas menos. Si por la venta de oTanac
cobró $ 18 700, cuáántas toneladas le quedaron?
.e.. *
*
*°***********************°*********°******°*************°. . . . . . .
****°*°°*****
******
aene...o..ee.*
*************************°°*****. e s
.
MATEMATICA 1 POLIMODAL FUNCIONES CUADRÁTICAS
CAPÍTUL0 5

6. Construccion de la graficade una funion cuadratita
OBSERVAR
Para graficar la funciónf(x)= x* +2x 8, podemos proceder asi:
Hallamos sus raíces aplicando la fórmula.
xg Xg -2
V2-4.1.(-8)
2.1
X = 2 x2 = -4
Calculamos la ecuación del eje de simetría, que pasa por la abscisa
del vértice, promediando las raíces (ya que éstas equidistan del eje).
x =
X= -1 ecuación del eje
x-1 abscisa del vértice
-10
Calculamos la ordenada delvértice.
y fx) =(-1) +2. (-1) -
8 =
-9
V = (-1; -9)>coordenadas del vértice
Calculamos la ordenada al origen que es la imagen del 0 (recuerden que es la ordenada del punto de
intersección de la curva con el eje de las y).
f(0) =
0 +2.0- 8 =
-8
Marcamos los puntos que obtuvimos y trazamos la gráfica aproximada.
2
a A partir de la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática, demuestren que la ordenada del
vértice también puede obtenerse aplicando la fórmula x, = -
bj Utilicen la fórmula hallada en bj para calcular las coordenadas del vértice de las siguientes
funciones.
I.fx) = -+ 3x -10
I1.gx) = 2x+1
II. hx)---x-3
27) Grafiquen las siguientes parábolas. Indiquen de cada una: la ecuación de su eje desimetría,las
coordenadas del vértice, las raíces reales (si las tiene) y la ordenada al origen.
y - x -
6 y -x+7x &y 2x -
8
ay =* -
2x + 1
y * -
9x by- 6
by-*+ d y x -x+9
FUNCIONES CUADRÁTICAS MATEMÁTICA 1 POLIMODAL 13
CAPÍTUL05

7. El discriminante
OBSERVAR
e ama d+scriminante a la expresión b 4ac, v se lo simboliza con la letra griega A
(aetta
A = b - 4ac
En la fórmula de una función cuadrática pueden presentarse tres situaciones:
La función tiene una sola raíz | La función no tiene raíces reales
realy su gráfica tiene un solo y su gráfica no tiene contacto
punto de contacto con el eje x.
La función tiene dos raíces rea-
les distintas y su gráfica corta
al eje x en dos puntos.
con el eje x.
A 0 A 0 A0
Sin calcular sus raíces, indiquen el número de soluciones reales (dos, una o ninguna) de cada
una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
aj+2x- 1 0
bj 8x - 3x + 1 = 00 -2x+ 1-0
3-*+ X
=0
kj 25x +2x +0,04 =0
0,5+0,5x -0
ex-5x + 2 =0
fj 4 4x +x = 0
5x+3 0
d 9x 12x + 12 0
8 1 9x = 0
hj 4 +4x = 0
Observen elgráficoeindiquencuálessonlascurvas que
corresponden a funciones cuadráticas cuyo discriminante es:
a nulo. ***°******°°******°°°*****°°******°*°°**°*°°***°* **°***. * *
bnegativo.... °**°***
***********°***°*************
positivo. * * * * * * * * * * * * * * * .
***********°°****°*°**°**°****
30 Hallen los posibles valores de kpara que las ecuaciones
propuestas cumplan la condición pedida en cada caso.
Ninguna solución real Unica solución Dos soluciones reales distintas
a x +kx =0 kx +4 =
0 e +kx + 6 = 0
3xx +k =0 d 3x 6x +k =0 0,5x -x - k =0
14 MATEMATICA 1 POLIMODAL FUNCIONES CUADRÁTICAS
CAPÍTULO5

8. Forma tactorizada y torma canonica Ge la tunclon cuauialla
RECORDAR
S1 una funcion cuadrática tiene raíces reales x, y X, ya sean iguales o distintas, su fórmula puede ex-
presarse en forma factorizada, así:
fx) =
ax bx + c
f(x) =a (x -
x) (x -X2)
S1 Conocemos las coordenadas del vértice de una función cuadrática, su fórmula puede expresarse en
forma canónica así:
fx) = a (x- x,) + Yy x abscisa del vértice
y: ordenada del vértice
31 Completen la tabla con las fórmulas de cada una delas funciones que se representan en el siguiente
gráfico.
fx)
h(x)
gx)
m(x)
k(x)
Forma factorizada Forma canónica
h)
mx)

9. PelaCiues en
Lds raices X1 y X2 de una función cuadrática se relacionan con los coeficientes a, b y c de su förmula po-
linómica mediante las siguientes expresiones.
XX2
ax + bx +
C=0 X1 + X2
Hagan los cálculos necesarios y completen el cuadro.
X2
X1
b C
Expresión polinómica Expresión factorizada a
2
1
3 -4
-2
2(x 2) (x 1)
-1 -1
-3
E B Hallen la expresión polinómica de la función de segundo grado que cumple con las condicio-
aj La suma de sus raices es 5; el producto de ambas es 6 y tiene ordenada al origen 3,
bj La ordenada al origen es -1: la suma de las raíces es 4 y el producto es 2.
C El coeficiente principal es 1; la suma de raíces es 3 y el producto es 0.
nes indicadas en cada caso.
B Hallen la expresión de la funcion de segundo grado que cumple con las condiciones pedidas en
cada caso y grafiquenla.
al Su gráfico pasa por el punto (l; -1); u eje tiene ecuaciónx=-2 y la ordenada del vértice es 3,
by El vértice es el punto (1; 2) y su ordenada al origen es 3.
Una raíz es 4 yla otra es 0; el vértice es (2;-4).
Demuestren las fórmulas que relacionan los coeficientes con las raíces de la función
E l área de un rectánguloes 8 cm'y su perimetro, 12 cm. Escriban la fórmula de una funci
ción
cuadrática cuyas raíces sean las medidas de los lados del rectángulo.