Este documento presenta la resolución de dos problemas relacionados con la espintrónica. El primer problema muestra que los operadores del espín satisfacen ciertas ecuaciones. El segundo problema calcula el valor promedio y la desviación estándar de las mediciones repetidas del componente del momento angular intrínseco de un electrón preparado en un determinado estado de espín.

1. ESPINTRÓNICA Problemas Resueltos Jonnathan A. López Mecánica Cúantica II UNAH-CU, 27-Abril-11

2. NOTAS Se pretende a continuación exponer la resolución de problemas relacionados a la espintrónica extraídos de distintos libros de texto que tratan tal materia. Esta presentación contiene muchos hipervínculos asociados con conceptos, personajes, etc. para una fácil lectura y acceder a información ampliada al respecto. Las operaciones matem áticas están vinculadas a Wolfram Alpha , el cúal se encarga de computarlas en una interfaz similar a un buscador tradicional. SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

3. ECUACIONES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Ecuación de Schrodinger Ecuación de Dirac Ecuación de Klein Gordon Ecuación de Pauli 1926 No relativista No toma en cuenta espín 1927 No relativista Partículas espín ½ (e.g. electrón ) 1927 Relativista No toma en cuenta espín (e.g. pión ) 1928 Relativista Partículas spin ½ (e.g. electrón ) Línea de tiempo SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

4. ECUACIONES DE LA MEC ÁNICA CUÁNTICA Irwin Schrödinger Wolfgang Pauli Paul Dirac Oscar Klein SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

5. PROBLEMA I [1] Mostrar que los operadores , y satisfacen las siguientes ecuaciones: SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

6. SOLUCIÓN Los componentes del espín podemos expresarlos en función de tres matrices adimensionales , y como sigue: SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

7. SOLUCIÓN A este punto, es importante mencionar que las matrices , y son llamadas matrices de Pauli cuyos valores propios son . Los vectores propios correspondientes a éstos se les conoce como espinores y se denotan como . Matemáticamente y mostrando la analogía con algún operador con vector propio y valor propio : SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

8. SOLUCIÓN Por ejemplo, los vectores propios para son : De modo que debe cumplirse (haz encima para verificarlo en Wolfram) : SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

9. SOLUCIÓN Entonces, por sustituci ón directa : sigue…. SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

10. SOLUCIÓN … continúa: SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

11. SOLUCIÓN Para corroborar la segunda identidad procedemos de forma similar: sigue…. SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

12. SOLUCIÓN … continúa : SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

13. PROBLEMA II [2] Suponga que un electrón se prepara en el espinor del vector propio de , con valor propio y mediciones repetitivas se realizan del componente de su momento angular intrínseco, calcular el valor promedio y la desviación estándar de estas mediciones. SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

14. SOLUCIÓN Podemos expresar (y cualquier operador) de una forma conveniente llamada descomposición espectral, dado por [3] : Esta forma es de gran utilidad ya que nos permite calcular las probabilidades de obtener una valor propio en particular. SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

15. SOLUCIÓN Para nuestro caso específico Y respecto al valor esperado SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

16. SOLUCIÓN Pero hay un método más fácil. Recordemos que el valor esperado lo podemos obtener como sigue: Esto es: Precisamente es lo que esperábamos ya que el electrón se encuentra en el está polarizado [1] SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

17. SOLUCIÓN Por último, la desviación la podemos calcular por definición: SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.

18. BIBLIOGRAFÍA Bandyopadhyay, S., & Cahay, M. (2008). Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay, & M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 33). CRC Press. Bandyopadhyay, S., & Cahay, M. (2008). Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay, & M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 40). CRC Press. Griffiths, D. Introduction to Quantum Mechanics. In D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (pp. 105, 119). New Jersey: Prentice Hall. SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.