Este documento presenta la ecuación de Dirac en una y múltiples dimensiones. En una dimensión, se demuestra que existe una solución de energía cero. Luego, se deriva la ecuación de Dirac no relativista y la ecuación de Pauli a partir de ella. Finalmente, se demuestran varias propiedades del álgebra de Dirac en D dimensiones, como que la traza de los productos de matrices gamma depende de la dimensionalidad.

1. Universidad Nacional de Trujillo 7.3. Mecánica Cuántica 2
Departamento Académico de Física Dr. Antonio Rivasplata M.
Escuela Profesional de Física MSc. Guillermo H. Ramirez U.
Semestre 2021-I
Tarea 10 – Ecuación de Dirac
1. Demuestre que:
a) ( ) ( )
' '
2
r r rr
u p u p mδ
=
 
b) ( ) ( )
' '
2
s s ss
v p v p mδ
= −
 
c) ( ) ( )
†
' '
2
r r p rr
u p u p E δ
=
 
d) ( ) ( )
†
' '
2
s s p ss
v p v p E δ
=
 
e) ( ) ( )
r r
r
u p u p p m
= +
∑
 
f) ( ) ( )
s s
s
v p v p p m
= −
∑
 
Donde: ( ) ( )
ˆ
1 0
ˆ , , , ,
0 1
r
s
r p s p p r s
r
p s
p
u p E m v p E m E m
p
E m
ϕ σ
χ
ϕ χ
σ
ϕ
χ
 
  ⋅
−    
 
 
= + = + + =
⋅    
 
 
   
 
 
+
   
 
 
 
.
2. Ecuación de Dirac en 1D
En una dimensión la ecuación de Dirac se usa como modelo para estudiar los llamados aislantes
topológicos.
( )
1 2
1 1
ˆ D
Dirac
H i v m x v
α β
=− ∂ +

Donde: ( ) 1
1 1 3 1 2
2
, Si 0
0 1 1 0
ˆ ˆ
, , , ,
, en otroscasos
1 0 0 1
m x
m x m m
m
α σ β σ
− <

   
= = = = = 
   
−
    
v es la velocidad efectiva que reemplaza a la velocidad de la luz, cuando la ecuación de Dirac se aplica
a sólidos.
a) Use la ecuación de valores propios: 1
ˆ D
Dirac
H E
Ψ = Ψ y demuestre que existe una solución de
energía cero ( 0
E = ) con su correspondiente función de onda:
( )
( )
1 2
1 2
1 m x v x
m m
v
x e
i
m m
− ⋅ ⋅
 
Ψ = ⋅  
+  


b) Interprete y grafique ( )
2
x
Ψ

2. Sugerencia:
i. Para 0
x > , usar la siguiente condición de frontera: x → ∞, ( ) 0
x
Ψ → . Probar la solución
( ) 1
2
x
x e λ
ψ
ψ
+
+
−
+
 
Ψ =
 
 
.
ii. Para 0
x < , usar la siguiente condición de frontera: x → −∞ , ( ) 0
x
Ψ → . Probar la solución
( ) 1
2
x
x eλ
ψ
ψ
−
−
−
 
Ψ =
 
 
.
iii. En 0
x = , usar la continuidad de ( )
x
Ψ .
iv. Normalice ( )
x
Ψ .
3. Ecuación de Dirac no relativista
Para acoplar el campo electromagnético a un campo espinorial es suficiente substituir las derivadas
ordinarias por derivadas covariantes:
iq
D A
c
µ µ µ µ
∂ → =
∂ +

Dejando la ecuación: ( ) 0
i D mc
µ
µ
γ ψ
− =
 .
a) Use la representación estándar de las matrices gamma y además
ϕ
ψ
χ
 
=  
 
. Para derivar las
siguientes ecuaciones:
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
i D mc i D
i D mc i D
ϕ σ χ
χ σ ϕ
− + ⋅ =
− + − ⋅ =


 


 
b) Use la aproximación 0
i D mc mc
−
  y verifique que:
( )( )
2
0 0
2
i D mc D D
mc
σ σ ϕ
 
− + ⋅ ⋅ ≈
 
 
 
  

c) De la ecuación anterior derive la ecuación de Pauli:
( )
2
2
2
0
2 2
t
iq q
i mc A qA B
m c mc
ϕ σ ϕ
 
 
 
∂ − = − ∇ − + − ⋅
 
 
 
 
 

 
  



3. 4. Matrices Dirac en D dimensiones
Use el álgebra { }
, 2
µ ν µν
γ γ η
= , considere µν
η se define en D dimensiones de tal manera que D
µ
µ
δ =
, ( ) /2
2D
Tr I = . Demuestre que:
a) D
µ
µ
γ γ =
b) ( )
2 D
ν µ ν
µ
γ γ γ γ
= −
c) ( )
4 4
D
ρ
ρ µ ν µν µ ν
γ γ γ γ η γ γ
= + −
d) ( ) /2
2D
Tr µ ν µν
γ γ η
=
e)
( ) ( )
/2
2D
Tr µ ν ρ σ µν ρσ µρ νσ µσ νρ
γ γ γ γ η η η η η η
= − +