En esta presentación se podrá ver el desarrollo del spline cúbico y sus principales aplicaciones en la realidad.

1. Universidad Politécnica del Golfo de México

2. Frida Miguel Monzalvo Navarrete
Diego Mariano Espinosa Casso
Melisa Priego Rodríguez
Samuel Alberto Leal González
Elda Patricia Torruco Cordova
Adriana Lorena López
Julia Xunaaxi del Cármen Segura Segura
ISAI 5B
Métodos Numéricos
Spline Cubico

3. un spline es una curva
diferenciable definida en
porciones mediante polinomios.

4. En los problemas de interpolación, se utiliza a
menudo la interpolación mediante splines
porque da lugar a resultados similares
requiriendo solamente el uso
de polinomios de bajo grado, evitando así
las oscilaciones, indeseables en la mayoría de
las aplicaciones, encontradas al interpolar
mediante polinomios de grado elevado.

5. Existen 3 tipos de spline , lineal, cuadrático y
cubico
En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos
los Splines en [m,n] tiene grado 3.
Esto quiere decir, que va a tener la forma
P(x) = ax³ + bx² + cx +

6. En este caso vamos a tener cuatro
variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una
nueva condición para cada punto común a
dos intervalos, respecto a la segunda derivada :
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es
decir, que las dos P(x) que rodean al f(x) que queremos
aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos
"lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto
común.
Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para
ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por

7. La forma
de
soluciona
r esto,
determina
el
carácter
de los
splines
cúbicos.
Así,
podemos
Splines cúbicos naturales: La forma
más típica. La derivada segunda de P se
hace 0 para el primer y último punto
sobre el que está definido el conjunto de
Splines, esto son, los puntos m y n en el
intervalo [m,n].
Dar los valores de la derivada
segunda de m y n de forma
"manual", en el conjunto de
splines definidos en el intervalo
[m,n].
Hacer iguales los valores de la
derivada segunda de m y n en
el conjunto de splines definidos
en el intervalo [m,n]

8. :Ecuación de interpolación
El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un
excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente
complejo.
Sobre cada intervalo , S está definido por un
polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el
intervalo [ti,ti+1], por tanto:

9. Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se
cumple:
Si-1(ti) = yi = Si(ti)
por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone
que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una
expresión para la función del spline cúbico.

10. Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas
primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline. No
vamos a obtener esta expresión, ya que su demostración queda fuera del ámbito
de estos apuntes. Simplemente diremos que la expresión resultante es:
En la expresión anterior, hi=ti+1-ti y son incógnitas. Para determinar
sus valores, utilizamos las condiciones de continuidad que deben cumplir estas
funciones. El resultado (que tampoco vamos a demostrar) es:

11. La ecuación anterior, con genera un sistema de n-1ecuaciones
lineales con n+1 incógnitas . Podemos elegir z0 y z1 de forma arbitraria y resolver
sistema de ecuaciones resultante para obtener los valores de una elección
especialmente adecuada es hacer z0=z1=0. La función spline resultante se
denomina spline cúbico natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en
forma matricial es:
(70)

12. • Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestra la evolución de la
temperatura en Hong-Kong (y) cada dos horas (x).
X Y
2 8
4 8
6 7
8 8
10 14
12 15
Utilizamos la siguiente fórmula para encontrar el
número de ecuaciones e incógnitas que
encontraremos:
(n-1)*4
Donde n es el número de datos en la tabla:
N= 6 (n-1)*4= (6-1)*4 =20
20  Número de ecuaciones y variables

13. • Para facilitar la identificación de los intervalos podemos dibujar una
recta.
x 2 4 6 8 10 12
5 intervalos
Intervalos
(2,4)
(4,6)
(6,8)
(8,10)
(10,12)
Hacemos que se
cumpla la condición
de que el spline
tiene que pasar
por los puntos
dados en la tabla.
Luego se define un
polinomio cúbico para cada
valor de los intervalos.
S(x)= ax³+bx²+cx+d
Y sustituimos el valor
correspondiente de “y” en
a, b, c y d.

14. El subíndice de las
variables a, b, c, y d
dependerán del
intervalo en el
que se encuentre
el valor para el que
asignamos el
polinomio.

15. Una discontinuidad es un punto donde se cambia de intervalo,
esto afecta la función del spline, y para evitarlo las evaluamos
con la primera y segunda derivada de la función:
S(x)= ax³+bx²+cx+d
S’(x)= 3ax²+2bx+c  Primera derivada
S’’(x)= 6ax+2b  Segunda derivada
En este caso, las discontinuidades son : (4, 6, 8, 10).
Después evaluaremos la primera derivada con estos
valores.

16. Para x=4
S’(x)= 3a(4)²+2b(4)+c = 48a1+8b1+c1 = 48a2+8b2+c2
Para x=6
S’(x)= 3a(6)²+2b(6)+c= 108a2+12b2+c2 = 108a3+12b3+c3
Para x=8
S’(x)= 3a(8)²+2b(8)+c= 192a3+16b3+c3 = 192a4+16b4+c4
Para x=10
S’(x)= 3a(10)²+2b(10)+c = 300a4+20b4+c4 = 300a5+20b5+c5
Ya que se trata de una discontinuidad tenemos que tomar
en cuenta que forma parte de dos intervalos y que este
no cambia de un polinomio a otro, es por eso que se da la
igualdad.

17. Continuamos con la evaluación ahora con la segunda derivada de la
función:
Para x=4
S’’(x)= 6a(4)+2b = 24a1+2b1 = 24a2+2b2
Para x=6
S’’(x)= 6a(6)+2b = 36a2+2b2 = 36a3+2b3
Para x=8
S’’(x)= 6a(8)+2b = 48a3+2b3 = 48a4+2b4
Para x=10
S’’(x)= 6a(10)+2b = 60a4+2b4 = 60a5+2b5

18. Para cumplir con nuestras 20
ecuaciones debemos obtener
dos mas y agregarlas a las 18
que ya conocemos, para eso
asignaremos las siguientes
condiciones:
S’’(x0)= o y S’’(xn)=0
X0= Punto inicial
Xn= Punto final
S’’(2)= 6a(2)+2b  12a1+2b1=0
S’’(12)= 6a(12)+2b 72a5+2b5=0
Con esto tenemos ya nuestras 20 ecuaciones y 20
incógnitas, lo siguiente será acomodarlas en una
matriz cuadrada para su resolución.

19. • Matriz generada

20. De la matriz anterior obtenemos los siguientes resultados:

21. Sustituimos los valores en la función inicial y obtenemos los
siguientes splines:

22. :Gracias: