Este documento presenta un índice de los temas que se abordarán en el curso de álgebra de 4to año de secundaria. Incluye 9 temas principales que son: sucesiones y progresiones, funciones, logaritmos, ecuaciones con valor absoluto, ecuaciones de grado superior, inecuaciones de grado superior, inecuaciones con valor absoluto, sistema de inecuaciones y el binomio de Newton. Cada tema contiene diferentes capacidades y conceptos que se desarrollarán.
Este documento presenta fórmulas para calcular el área de sectores circulares y trapecios circulares. También contiene ejercicios de aplicación de estas fórmulas para hallar áreas, perímetros, y medidas de ángulos centrales a partir de datos numéricos dados en figuras geométricas.
Este documento define los polígonos y sus elementos, y presenta propiedades de los polígonos convexos como la suma de sus ángulos internos y externos. También clasifica los polígonos según su número de lados y proporciona fórmulas para polígonos regulares. Finalmente, incluye ejercicios de práctica relacionados con polígonos.
El documento trata sobre el trabajo mecánico en física. Explica que el trabajo mecánico implica la transmisión de movimiento mecánico a través de una fuerza, y solo ocurre cuando hay desplazamiento. Define la cantidad de trabajo como el producto de la fuerza por el desplazamiento, y da ejemplos de cálculos de trabajo para diferentes fuerzas y desplazamientos.
El documento presenta información sobre el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas. Explica que el MCD es el factor común de mayor grado que divide exactamente a cada expresión, mientras que el MCM es el factor común de menor grado que es divisible por cada expresión. Además, provee ejemplos y propiedades de estos conceptos y el procedimiento para hallar el MCD y MCM mediante la descomposición en factores de las expresiones. Finalmente, incluye ejercicios
Este documento presenta una evaluación de ángulos y sistemas de medidas para el grado décimo de matemáticas. Contiene cuatro problemas que involucran encontrar medidas de ángulos en radianes, grados y revoluciones, así como ángulos coterminales, complementos y suplementos de ángulos dados en un plano cartesiano.
El documento presenta información sobre la regla de tres, un procedimiento aritmético para comparar magnitudes. Explica que puede ser simple, cuando se comparan dos magnitudes, o compuesta, cuando son más de dos. También puede ser directa, cuando las magnitudes aumentan juntas, o inversa, cuando una aumenta y la otra disminuye. Incluye ejemplos y métodos como las rayas para resolver problemas utilizando la regla de tres. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica sobre el tema.
1. El documento presenta una práctica propuesta de 20 preguntas sobre conceptos de álgebra superior relacionados con polinomios. Las preguntas cubren temas como evaluación de polinomios, división de polinomios, grado de polinomios, y factores y raíces de polinomios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen y elijan la definición o procedimiento correcto en cada caso.
Conteo de numeros(progresión aritmética)JENNER HUAMAN
El documento describe cómo Carl Gauss, a la edad de 8 años, pudo sumar rápidamente los números del 1 al 100 de forma mental utilizando una fórmula matemática. Su maestro había pedido a la clase que realizara esta suma como una tarea, y Carl fue el único que obtuvo la respuesta correcta de 5,050 sin mostrar los cálculos.
Este documento presenta fórmulas para calcular el área de sectores circulares y trapecios circulares. También contiene ejercicios de aplicación de estas fórmulas para hallar áreas, perímetros, y medidas de ángulos centrales a partir de datos numéricos dados en figuras geométricas.
Este documento define los polígonos y sus elementos, y presenta propiedades de los polígonos convexos como la suma de sus ángulos internos y externos. También clasifica los polígonos según su número de lados y proporciona fórmulas para polígonos regulares. Finalmente, incluye ejercicios de práctica relacionados con polígonos.
El documento trata sobre el trabajo mecánico en física. Explica que el trabajo mecánico implica la transmisión de movimiento mecánico a través de una fuerza, y solo ocurre cuando hay desplazamiento. Define la cantidad de trabajo como el producto de la fuerza por el desplazamiento, y da ejemplos de cálculos de trabajo para diferentes fuerzas y desplazamientos.
El documento presenta información sobre el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas. Explica que el MCD es el factor común de mayor grado que divide exactamente a cada expresión, mientras que el MCM es el factor común de menor grado que es divisible por cada expresión. Además, provee ejemplos y propiedades de estos conceptos y el procedimiento para hallar el MCD y MCM mediante la descomposición en factores de las expresiones. Finalmente, incluye ejercicios
Este documento presenta una evaluación de ángulos y sistemas de medidas para el grado décimo de matemáticas. Contiene cuatro problemas que involucran encontrar medidas de ángulos en radianes, grados y revoluciones, así como ángulos coterminales, complementos y suplementos de ángulos dados en un plano cartesiano.
El documento presenta información sobre la regla de tres, un procedimiento aritmético para comparar magnitudes. Explica que puede ser simple, cuando se comparan dos magnitudes, o compuesta, cuando son más de dos. También puede ser directa, cuando las magnitudes aumentan juntas, o inversa, cuando una aumenta y la otra disminuye. Incluye ejemplos y métodos como las rayas para resolver problemas utilizando la regla de tres. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica sobre el tema.
1. El documento presenta una práctica propuesta de 20 preguntas sobre conceptos de álgebra superior relacionados con polinomios. Las preguntas cubren temas como evaluación de polinomios, división de polinomios, grado de polinomios, y factores y raíces de polinomios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen y elijan la definición o procedimiento correcto en cada caso.
Conteo de numeros(progresión aritmética)JENNER HUAMAN
El documento describe cómo Carl Gauss, a la edad de 8 años, pudo sumar rápidamente los números del 1 al 100 de forma mental utilizando una fórmula matemática. Su maestro había pedido a la clase que realizara esta suma como una tarea, y Carl fue el único que obtuvo la respuesta correcta de 5,050 sin mostrar los cálculos.
Numeración no decimal(ii parte)(cambio de base especial)JENNER HUAMAN
Este documento describe métodos para convertir números entre diferentes sistemas de numeración, incluyendo conversiones entre bases como binario, octal y decimal, y conversiones de números decimales a otras bases. Explica cómo separar un número en grupos y descomponerlo polinómicamente para conversiones entre bases diferentes, y cómo multiplicar sucesivamente parte decimal para conversiones a base 10. También cubre expresar números en cifras mínimas y el número mínimo de pesos necesarios para pesar un objeto en una balanza.
Este documento contiene 30 problemas matemáticos de primaria con opciones múltiples de respuesta. Los problemas incluyen sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, fracciones, álgebra y geometría básica. El objetivo es que los estudiantes resuelvan los problemas y elijan la respuesta correcta.
Este documento presenta 17 problemas de teoría de conjuntos y aritmética. Explica conceptos básicos como conjunto, cardinalidad, relaciones entre conjuntos, y diagrama de Venn. Los problemas involucran el cálculo de cardinalidades de conjuntos, determinar si proposiciones son verdaderas o falsas, y resolver problemas aritméticos usando conceptos de conjuntos.
El documento evalúa diferentes tipos de preguntas para medir la comprensión lectora, como preguntas por el sentido contextual, la inferencia, la extrapolación e incompatibilidad. Luego presenta varios textos y preguntas sobre estos para ejercitar estas habilidades.
Este documento presenta 17 ejercicios de matemática sobre exponentes y raíces. El autor es el Lic. Leonardo E. Ticona Laqui, quien mantiene un blog de matemática. Los ejercicios incluyen operaciones con exponentes, raíces y variables. Al final se incluyen algunas preguntas de práctica adicionales para que los estudiantes continúen practicando en casa.
El documento presenta una serie de problemas matemáticos que involucran inecuaciones, propiedades del valor absoluto y conjuntos. Incluye instrucciones para resolver 29 problemas y determinar valores como m-n cuando se cumplen ciertas condiciones. También presenta propiedades de las inecuaciones cuando b es mayor que cero y planes para resolverlas usando distintos signos.
Este documento describe los ángulos trigonométricos y los diferentes sistemas para medir ángulos, incluyendo el sistema sexagesimal, centesimal y radial. Explica cómo convertir entre estos sistemas usando factores de conversión. También incluye ejemplos y ejercicios de conversión angular.
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaantoniojesus96
Este documento contiene 47 ejercicios de álgebra sobre ecuaciones de rectas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dados puntos, determinar pendientes y coeficientes de posición de rectas dadas sus ecuaciones, y resolver problemas gráficos identificando ecuaciones de rectas representadas en gráficas. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio de manera individual.
Teoria y problemas de sistema de ecuaciones lineales sd38 ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta 19 problemas resueltos sobre sistemas de ecuaciones. Cada problema consiste en encontrar el valor de una incógnita basándose en dos ecuaciones que relacionan la suma y diferencia de dos números. Los problemas se resuelven aplicando el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones de dos incógnitas.
El documento habla sobre ángulos trigonométricos. Define un ángulo trigonométrico como aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice. Explica que los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la geometría y pueden medirse en cualquier valor entre -∞ y +∞. Resuelve algunos ejercicios como ejemplos.
1 er examen de control ciclo 2014 ii-unjfscColegio
Este documento es un cuadernillo de preguntas para evaluar habilidades y conocimientos adquiridos en la educación secundaria y en el Centro Preuniversitario, con el fin de preparar a los estudiantes para la universidad. Contiene 120 preguntas de opción múltiple divididas en áreas temáticas como comunicación, matemáticas, ciencias y ciencias sociales. Explica el sistema de calificación y las instrucciones para responder.
Preguntas simulacro lógica de proposicionessigherrera
El documento contiene varios ejercicios lógicos sobre proposiciones, tablas de verdad y matrices principales. Se piden identificar cuáles enunciados son proposiciones, hallar tablas de verdad y resultados de matrices principales para diferentes expresiones lógicas.
El documento habla sobre lógica formal, que estudia los procesos de razonamiento humano utilizando conceptos como juicio y razonamiento. Explica que la lógica formal evalúa la validez de las inferencias sin considerar el contenido concreto de los pensamientos. Su objetivo es formular leyes y principios para inferencias válidas. En el capítulo se tratarán temas como relaciones familiares, días de la semana y problemas lógicos.
El documento contiene 8 preguntas de examen de admisión a la universidad sobre historia del Perú y historia universal. Las preguntas abarcan temas como el virreinato, la reforma agraria, las causas de la derrota peruana en la guerra del Pacífico, y aspectos políticos y económicos del Perú y el mundo.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría como sistemas de coordenadas, ángulos en posición normal, razones trigonométricas y su signo en cada cuadrante. Explica cómo calcular las razones trigonométricas sen, cos, tg y cot para ángulos en posición normal y proporciona ejercicios resueltos como ejemplo.
Este documento presenta un taller de estadística sobre medidas de dispersión como desviación media, varianza y desviación estándar. Incluye cuatro problemas: 1) calcular qué competidor obtuvo mejores resultados en un tiro al blanco, 2) calcular medidas de dispersión para una distribución de frecuencias dada, 3) calcular medidas de dispersión para dos grupos de datos y determinar cuál es más consistente, y 4) interpretar los datos con respecto a la media en función de la dispersión.
Este documento contiene un examen de trigonometría con 12 preguntas sobre sectores circulares, áreas de sectores y figuras relacionadas. Las preguntas incluyen calcular longitudes de arcos, áreas, radios y expresiones matemáticas relacionadas con sectores circulares.
El documento presenta un examen de matemáticas para estudiantes de secundaria que contiene 10 problemas. Los problemas cubren una variedad de temas matemáticos como álgebra, geometría, estadística y teoría de números. Se le pide a los estudiantes que desarrollen las soluciones a los problemas en una hoja adicional dentro de un tiempo límite de 2 horas y sin usar calculadoras u otros materiales de referencia.
El documento presenta información sobre triángulos y cuadriláteros. Define un triángulo como una figura geométrica formada por tres segmentos de recta que unen tres puntos no colineales. Explica los elementos de un triángulo, sus propiedades fundamentales y clasificaciones. Luego introduce los cuadriláteros, definiendo y diferenciando entre trapezoides, trapecios y paralelogramos. Proporciona ejemplos y propiedades de cada figura. Finalmente incluye ejercicios de aplicación.
Este documento explica los conceptos de sucesión y progresión numérica. Define una sucesión como un conjunto de elementos formados mediante una ley determinada, donde cada término se deriva del anterior siguiendo la misma operación. Explica que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Proporciona fórmulas para calcular términos específicos y resuelve ejercicios como ejemplos.
Este documento define fracciones y números decimales. Explica que una fracción representa una cantidad dividida en partes y está compuesta de un numerador y denominador. Luego clasifica fracciones y describe operaciones con ellas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre números decimales, incluyendo fracciones decimales periódicas y no periódicas.
Numeración no decimal(ii parte)(cambio de base especial)JENNER HUAMAN
Este documento describe métodos para convertir números entre diferentes sistemas de numeración, incluyendo conversiones entre bases como binario, octal y decimal, y conversiones de números decimales a otras bases. Explica cómo separar un número en grupos y descomponerlo polinómicamente para conversiones entre bases diferentes, y cómo multiplicar sucesivamente parte decimal para conversiones a base 10. También cubre expresar números en cifras mínimas y el número mínimo de pesos necesarios para pesar un objeto en una balanza.
Este documento contiene 30 problemas matemáticos de primaria con opciones múltiples de respuesta. Los problemas incluyen sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, fracciones, álgebra y geometría básica. El objetivo es que los estudiantes resuelvan los problemas y elijan la respuesta correcta.
Este documento presenta 17 problemas de teoría de conjuntos y aritmética. Explica conceptos básicos como conjunto, cardinalidad, relaciones entre conjuntos, y diagrama de Venn. Los problemas involucran el cálculo de cardinalidades de conjuntos, determinar si proposiciones son verdaderas o falsas, y resolver problemas aritméticos usando conceptos de conjuntos.
El documento evalúa diferentes tipos de preguntas para medir la comprensión lectora, como preguntas por el sentido contextual, la inferencia, la extrapolación e incompatibilidad. Luego presenta varios textos y preguntas sobre estos para ejercitar estas habilidades.
Este documento presenta 17 ejercicios de matemática sobre exponentes y raíces. El autor es el Lic. Leonardo E. Ticona Laqui, quien mantiene un blog de matemática. Los ejercicios incluyen operaciones con exponentes, raíces y variables. Al final se incluyen algunas preguntas de práctica adicionales para que los estudiantes continúen practicando en casa.
El documento presenta una serie de problemas matemáticos que involucran inecuaciones, propiedades del valor absoluto y conjuntos. Incluye instrucciones para resolver 29 problemas y determinar valores como m-n cuando se cumplen ciertas condiciones. También presenta propiedades de las inecuaciones cuando b es mayor que cero y planes para resolverlas usando distintos signos.
Este documento describe los ángulos trigonométricos y los diferentes sistemas para medir ángulos, incluyendo el sistema sexagesimal, centesimal y radial. Explica cómo convertir entre estos sistemas usando factores de conversión. También incluye ejemplos y ejercicios de conversión angular.
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaantoniojesus96
Este documento contiene 47 ejercicios de álgebra sobre ecuaciones de rectas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dados puntos, determinar pendientes y coeficientes de posición de rectas dadas sus ecuaciones, y resolver problemas gráficos identificando ecuaciones de rectas representadas en gráficas. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio de manera individual.
Teoria y problemas de sistema de ecuaciones lineales sd38 ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento presenta 19 problemas resueltos sobre sistemas de ecuaciones. Cada problema consiste en encontrar el valor de una incógnita basándose en dos ecuaciones que relacionan la suma y diferencia de dos números. Los problemas se resuelven aplicando el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones de dos incógnitas.
El documento habla sobre ángulos trigonométricos. Define un ángulo trigonométrico como aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice. Explica que los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la geometría y pueden medirse en cualquier valor entre -∞ y +∞. Resuelve algunos ejercicios como ejemplos.
1 er examen de control ciclo 2014 ii-unjfscColegio
Este documento es un cuadernillo de preguntas para evaluar habilidades y conocimientos adquiridos en la educación secundaria y en el Centro Preuniversitario, con el fin de preparar a los estudiantes para la universidad. Contiene 120 preguntas de opción múltiple divididas en áreas temáticas como comunicación, matemáticas, ciencias y ciencias sociales. Explica el sistema de calificación y las instrucciones para responder.
Preguntas simulacro lógica de proposicionessigherrera
El documento contiene varios ejercicios lógicos sobre proposiciones, tablas de verdad y matrices principales. Se piden identificar cuáles enunciados son proposiciones, hallar tablas de verdad y resultados de matrices principales para diferentes expresiones lógicas.
El documento habla sobre lógica formal, que estudia los procesos de razonamiento humano utilizando conceptos como juicio y razonamiento. Explica que la lógica formal evalúa la validez de las inferencias sin considerar el contenido concreto de los pensamientos. Su objetivo es formular leyes y principios para inferencias válidas. En el capítulo se tratarán temas como relaciones familiares, días de la semana y problemas lógicos.
El documento contiene 8 preguntas de examen de admisión a la universidad sobre historia del Perú y historia universal. Las preguntas abarcan temas como el virreinato, la reforma agraria, las causas de la derrota peruana en la guerra del Pacífico, y aspectos políticos y económicos del Perú y el mundo.
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría como sistemas de coordenadas, ángulos en posición normal, razones trigonométricas y su signo en cada cuadrante. Explica cómo calcular las razones trigonométricas sen, cos, tg y cot para ángulos en posición normal y proporciona ejercicios resueltos como ejemplo.
Este documento presenta un taller de estadística sobre medidas de dispersión como desviación media, varianza y desviación estándar. Incluye cuatro problemas: 1) calcular qué competidor obtuvo mejores resultados en un tiro al blanco, 2) calcular medidas de dispersión para una distribución de frecuencias dada, 3) calcular medidas de dispersión para dos grupos de datos y determinar cuál es más consistente, y 4) interpretar los datos con respecto a la media en función de la dispersión.
Este documento contiene un examen de trigonometría con 12 preguntas sobre sectores circulares, áreas de sectores y figuras relacionadas. Las preguntas incluyen calcular longitudes de arcos, áreas, radios y expresiones matemáticas relacionadas con sectores circulares.
El documento presenta un examen de matemáticas para estudiantes de secundaria que contiene 10 problemas. Los problemas cubren una variedad de temas matemáticos como álgebra, geometría, estadística y teoría de números. Se le pide a los estudiantes que desarrollen las soluciones a los problemas en una hoja adicional dentro de un tiempo límite de 2 horas y sin usar calculadoras u otros materiales de referencia.
El documento presenta información sobre triángulos y cuadriláteros. Define un triángulo como una figura geométrica formada por tres segmentos de recta que unen tres puntos no colineales. Explica los elementos de un triángulo, sus propiedades fundamentales y clasificaciones. Luego introduce los cuadriláteros, definiendo y diferenciando entre trapezoides, trapecios y paralelogramos. Proporciona ejemplos y propiedades de cada figura. Finalmente incluye ejercicios de aplicación.
Este documento explica los conceptos de sucesión y progresión numérica. Define una sucesión como un conjunto de elementos formados mediante una ley determinada, donde cada término se deriva del anterior siguiendo la misma operación. Explica que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Proporciona fórmulas para calcular términos específicos y resuelve ejercicios como ejemplos.
Este documento define fracciones y números decimales. Explica que una fracción representa una cantidad dividida en partes y está compuesta de un numerador y denominador. Luego clasifica fracciones y describe operaciones con ellas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre números decimales, incluyendo fracciones decimales periódicas y no periódicas.
Este documento presenta los aprendizajes esperados sobre ecuaciones en una sesión de matemáticas. Explica cómo traducir situaciones del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático mediante el uso de símbolos y variables, y cómo plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita para resolver problemas. Incluye ejemplos de traducciones y resolución de ecuaciones.
Este documento contiene información sobre sucesiones numéricas, incluyendo definiciones de sucesiones aritméticas, geométricas y polinómicas. Explica cómo calcular el término genérico de cada tipo de sucesión y resuelve varios ejercicios como ejemplos.
Este documento presenta la agenda de una jornada pedagógica sobre sucesiones, analogías y razonamiento abstracto. Se definen y explican los conceptos de sucesiones numéricas, alfabéticas y gráficas, y se proveen ejemplos y ejercicios para practicar. También se explica el concepto de analogías numéricas y se proveen ejemplos. Finalmente, se introduce el razonamiento abstracto a través de ejemplos de patrones y figuras.
Este documento explica conceptos y operaciones básicas relacionadas con los porcentajes. Define qué es un porcentaje y cómo calcularlo mediante una regla de tres o una fórmula. Explica que un porcentaje es una fracción de 100 y presenta ejemplos de cálculos de porcentajes. También cubre propiedades básicas como sumar y restar porcentajes, y realiza ejercicios resueltos de problemas de porcentajes.
1) Una progresión aritmética es una sucesión cuyos términos difieren en una cantidad constante llamada razón.
2) La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n-1)d, donde a1 es el primer término, an es el último término, d es la razón y n es el número de términos.
3) La suma de los términos de una progresión aritmética se calcula como S = (a1 + an)n/2
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas. Define una progresión aritmética como una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija, llamada razón, al anterior. Explica cómo calcular el término general, realizar interpolación, sumar los términos de una progresión limitada y determinar la cantidad de cifras utilizadas. Finalmente, incluye ejemplos y problemas de aplicación.
Este documento describe las progresiones geométricas, incluyendo su definición como una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Explica cómo calcular términos específicos, interpolar nuevos términos y encontrar la suma de los términos de una progresión geométrica a través de fórmulas matemáticas. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
El documento trata sobre el origen y desarrollo de los números y los sistemas de numeración. Explica que los primeros seres humanos aprendieron a contar por necesidad para actividades como la caza. Primero contaban con los dedos y luego usaron otras herramientas como piedras o marcas. El primer sistema de numeración fue el quinario, que contaba de cinco en cinco. Más tarde surgió el sistema decimal basado en los diez dedos, que fue adoptado universalmente por su practicidad. Finalmente, introduce diferentes tipos de sucesiones numéric
1) El documento describe los diferentes tipos de números, incluyendo números primos, números compuestos, y números primos relativos o primos entre sí. 2) Explica las propiedades de los números primos y provee ejemplos. 3) Detalla varias fórmulas y conceptos relacionados a divisores de números, incluyendo suma de divisores, suma de inversas de divisores, y producto de divisores.
El documento presenta los conceptos básicos de la regla de tres simple y compuesta. La regla de tres simple se usa para comparar dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. La regla de tres compuesta se usa para comparar más de dos magnitudes, clasificando las variables en causa, circunstancia y resultado. Se proveen ejemplos ilustrativos para aplicar ambos métodos al resolver problemas aritméticos.
1. El documento presenta conceptos básicos sobre números enteros como números primos, compuestos, primos entre sí y sus propiedades. 2. Incluye fórmulas para calcular divisores, suma de divisores, suma de inversas de divisores, producto de divisores y la función de Euler. 3. Contiene 26 problemas de práctica relacionados con estos conceptos numéricos.
El documento presenta conceptos sobre razón aritmética, razón geométrica y proporción. Explica que la razón aritmética se calcula mediante sustracción y la razón geométrica mediante división. Luego introduce los tipos de proporciones como continuas y discretas, ilustrando con ejemplos. Finalmente incluye ejercicios prácticos sobre estas temáticas.
El documento contiene varios ejemplos de código Java que resuelven problemas utilizando bucles como while, do-while y for. Los ejemplos incluyen calcular series numéricas, sumatorias, promedios, máximos y mínimos, tablas de multiplicar, factoriales y la serie de Fibonacci. El código muestra diferentes formas de ingresar y procesar datos utilizando bucles en Java.
Este documento presenta información sobre la resolución de problemas. Explica que un problema es un enunciado que presenta información y una pregunta. Los problemas se pueden clasificar como estructurados o no estructurados dependiendo de la información. Las variables juegan un papel importante en el análisis y solución de problemas. También describe los pasos para resolver problemas de manera sistemática. Finalmente, introduce los problemas de relaciones parte-todo y familiares.
Este documento presenta los conceptos de potencias y raíces. Define potencia como la multiplicación reiterada de una base un número de veces dado por el exponente. Define raíz como una potencia con exponente fraccionario. Explica las propiedades de potenciación y radicación como la multiplicación y división de potencias, y la racionalización de fracciones con raíces en el denominador. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre conceptos básicos en VS2010, incluyendo objetivos como fortalecer el pensamiento lógico y resolver problemas a través del análisis de textos. Explica conceptos como variables, constantes y estructuras de control como sentencias condicionales y de repetición. Finalmente, propone seis actividades prácticas para aplicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta tres ecuaciones para determinar el valor de x. La primera ecuación es 5x - 8 = 125, cuya solución es x = 11. La segunda ecuación es 43x + 5 = 2, cuya solución es x = 1/6. La tercera ecuación es 24x - 15 = 32, cuya solución es x = 5.
Este documento presenta 6 ejercicios de matemáticas sobre temas como proporcionalidad, sistemas de ecuaciones, funciones y geometría. Los ejercicios están ordenados de la más sencilla a la más compleja y cada uno incluye la solución paso a paso. El documento pertenece al Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y forma parte de una serie de ejercicios de práctica.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones y series infinitas. Explica los tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y armónicas, y cómo calcular el término general, la suma y el número de términos de cada una. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Incluye la demostración de las identidades fundamentales de seno y coseno para la suma de ángulos, así como algunas propiedades importantes de las funciones trigonométricas. Finalmente, propone una serie de problemas para aplicar los conceptos explicados.
El documento describe las sucesiones numéricas, incluyendo su definición, ejemplos de sucesiones notables como los números naturales y cuadrados, y tipos de sucesiones como las aritméticas, cuadráticas y geométricas. Explica cómo calcular el término general y la suma de los términos para cada tipo de sucesión.
El documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define cada tipo de progresión, sus elementos y propiedades. Explica la diferencia entre progresión aritmética, donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante a la anterior, y progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. También cubre conceptos como término general, sumas, medios aritméticos y geométricos, e incluye ejemplos y ejercicios prácticos sobre
Este documento presenta una introducción a las sucesiones matemáticas. Define una sucesión como un conjunto ordenado de elementos que siguen una ley de formación. Explica los tipos básicos de sucesiones, incluyendo aritméticas, geométricas y alternadas. También describe métodos para encontrar el término general de sucesiones aritméticas y otros tipos.
Este documento presenta una introducción a las sucesiones matemáticas. Define una sucesión como un conjunto ordenado de elementos que siguen una ley de formación. Explica los tipos básicos de sucesiones, incluyendo aritméticas, geométricas y alternadas. También describe métodos para encontrar el término general de sucesiones aritméticas y otros tipos.
1) El documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas y sus posibles respuestas.
2) Cada pregunta vale 1 punto si la respuesta es correcta y está sustentada, 0.5 puntos si la respuesta es correcta pero no está sustentada, y 0.5 puntos si la respuesta es incorrecta pero tiene un proceso adecuado.
3) El quiz dura 1 hora y 15 minutos y los estudiantes no pueden intercambiar objetos durante su realización.
El documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta vale 1 punto y debe ser respondida seleccionando una de las 4 opciones y sustentando la respuesta con un proceso matemático. El quiz tiene una duración de 1 hora y 15 minutos y está dirigido a estudiantes de ciencias básicas de la Universidad Santo Tomás.
1) El documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas y sus posibles respuestas. Cada pregunta vale 1 punto y debe estar sustentada con un proceso matemático.
2) Las preguntas involucran conceptos como funciones vectoriales, trayectoria de proyectiles, gráficas de curvas planas, longitud de curvas y derivación de funciones vectoriales.
3) El quiz tiene una duración de 1 hora y 15 minutos y está dirigido a estudiantes de ciencias básicas en la universidad Santo Tomás
1. El documento introduce los conceptos de contar, sucesión y progresión aritmética y geométrica.
2. Explica que una sucesión aritmética es aquella donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, y presenta fórmulas para calcular términos específicos y la cantidad de términos.
3. Incluye 26 ejercicios de aplicación sobre sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas.
Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Inicia demostrando las identidades fundamentales de Sen(α + β), Cos(α + β) y Tg(α + β). Luego, deduce las identidades para la diferencia de ángulos usando estas demostraciones. Finalmente, enlista algunas propiedades importantes de las identidades trigonométricas. El documento concluye con ejemplos numéricos para practicar.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos de reducción al primer cuadrante para determinar las razones trigonométricas de ángulos que no son agudos en función de ángulos agudos. Explica casos como ángulos positivos menores de una vuelta, mayores de una vuelta, negativos, fraccionarios y relacionados. También incluye ejemplos y problemas para practicar la aplicación de estas técnicas.
El documento presenta 20 preguntas de matemáticas sobre sucesiones numéricas y letras. Cada pregunta contiene 5 opciones de respuesta de las cuales se debe seleccionar la correcta. Las preguntas involucran determinar el siguiente término de una sucesión, calcular sumas, productos y el número de términos de una sucesión.
El documento presenta las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de variables, así como propiedades relacionadas. Incluye fórmulas para seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos, así como propiedades como que el seno y coseno de la suma es igual al seno y coseno de la diferencia. También cubre identidades para tres ángulos y relaciones entre tangente, cotangente y funciones trigonométricas de ángulos complementarios.
El documento presenta información sobre sucesiones numéricas, incluyendo las definiciones de sucesiones aritméticas, geométricas y cuadráticas. Explica cómo calcular los términos generales y términos específicos de lugar n para diferentes tipos de sucesiones. Incluye ejemplos resueltos de cálculos de términos para sucesiones dadas.
Este documento contiene 20 preguntas de matemáticas con opciones de respuesta. Las preguntas incluyen temas como números enteros, polinomios, fracciones, sistemas de ecuaciones, divisibilidad, MCM, MCD y otros. El objetivo es calcular valores numéricos o identificar la opción correcta para cada pregunta.
El documento habla sobre sucesiones matemáticas. Explica que una sucesión es una expresión matemática donde sus términos se forman siguiendo reglas matemáticas. Los términos dependen de una constante llamada razón. Luego clasifica las sucesiones en aritméticas y geométricas según la razón, y también por su fórmula de recurrencia como lineales, cuadráticas y otras. Finalmente explica cómo calcular términos específicos y hallar leyes de formación para sucesiones no lineales.
El documento describe diferentes tipos de series numéricas, incluyendo series aritméticas, geométricas y notables. Explica cómo calcular términos individuales, sumas totales y otros valores para cada tipo de serie. También incluye ejemplos y problemas de práctica para aplicar los conceptos.
1. El documento presenta 46 problemas de razonamiento matemático relacionados con sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas. Los problemas incluyen identificar términos en sucesiones, calcular sumas, diferencias y productos, y determinar el número de términos o la razón de una progresión.
2. La mayoría de los problemas requieren identificar patrones en las sucesiones o progresiones dadas y aplicar propiedades matemáticas como la suma de una progresión aritmética.
3. El documento propor
Mariano Dámaso Beraún fue un destacado científico peruano nacido en 1813 en Huanuco. Estudió en el Convictorio de San Carlos en Lima y se graduó de doctor en ciencias matemáticas en 1837. Enseñó física y matemáticas y descubrió un nuevo método para dividir un ángulo en tres partes llamado la Trisectriz de Beraún. Publicó numerosos trabajos científicos y ocupó cargos como rector, catedrático y diputado. Falleci
Federico Villarreal fue un destacado matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó importantes contribuciones a las matemáticas, la ingeniería y otras ciencias. A los 23 años descubrió el método para elevar polinomios a cualquier potencia. Fue decano de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y rector de la misma universidad. Publicó cerca de 600 artículos científicos y fue un importante divulgador de la ciencia en el Perú.
François Viète fue un matemático y criptógrafo francés del siglo XVI. Trabajó como abogado y consejero privado para los reyes Enrique III y Enrique IV de Francia. Es conocido por haber introducido el uso de letras para representar cantidades desconocidas en las ecuaciones, sentando las bases del álgebra moderna. También descifró códigos secretos del enemigo y resolvió problemas matemáticos complejos.
Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, astrónomo y político griego del siglo VI a.C. considerado el primer filósofo de la escuela jonia. Se le atribuyen descubrimientos en geometría y astronomía, aunque no se conservan sus escritos. Vivió y murió en la ciudad jonia de Mileto, donde tuvo como discípulo a Anaximandro. Se le considera el iniciador de la filosofía occidental al buscar explicaciones racionales a los fenómenos naturales en lugar de explic
Paolo Ruffini fue un matemático y médico italiano del siglo XVIII. Estudió en la Universidad de Módena y luego se convirtió en profesor allí. En 1799 publicó un libro donde demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante raíces, anticipándose a su época. Aunque su trabajo fue ignorado inicialmente, hoy se le reconoce como pionero en el uso de la teoría de grupos y la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de quinto grado.
Bernhard Riemann fue un matemático alemán del siglo XIX que realizó importantes contribuciones al análisis y la geometría diferencial. Formuló la hipótesis de Riemann, un problema sin resolver en teoría de números, e introdujo conceptos como la función zeta de Riemann, la integral de Riemann y la geometría de Riemann. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen y miembro de varias academias científicas.
Henri Poincaré fue un destacado matemático, físico y filósofo francés nacido en 1854. Realizó importantes contribuciones en diversas áreas como topología, teoría de grupos, mecánica celeste y relatividad. Entre sus logros se encuentran haber establecido el grupo fundamental de un espacio topológico y haber demostrado el carácter caótico del problema de los tres cuerpos, anticipando la teoría del caos. También realizó contribuciones fundamentales a la relatividad especial, como la formul
Pitágoras fue un importante matemático y filósofo griego del siglo VI a.C. que realizó contribuciones fundamentales al desarrollo de las matemáticas. Fundó una escuela en Crotona, Italia donde enseñaba que la realidad subyacente es matemática y que las matemáticas pueden usarse para la purificación espiritual. Se le atribuyen descubrimientos como el teorema de Pitágoras y la existencia de los números irracionales.
Blaise Pascal fue un polímata francés del siglo XVII conocido por sus contribuciones a las matemáticas, la física y la filosofía. Nació en Clermont-Ferrand en 1623 e inventó la primera calculadora mecánica, la Pascalina. También realizó investigaciones pioneras sobre la presión atmosférica y el vacío y desarrolló conceptos matemáticos como el triángulo de Pascal y la teoría de probabilidad. Tras una conversión religiosa en 1654, Pascal se dedicó a
Isaac Newton nació en 1643 en Inglaterra. Se convirtió en un destacado matemático y físico y descubrió las leyes del movimiento y la gravitación universal. Estudió en la Universidad de Cambridge donde fue profesor y desarrolló el cálculo infinitesimal y la óptica. En 1687 publicó sus Principia Mathematica que establecieron los fundamentos de la física moderna. Pasó los últimos años de su vida como director de la Casa de la Moneda en Londres y presidente de la Royal Society.
John von Neumann nació en 1903 en Hungría y murió en 1957 en Estados Unidos. Fue un matemático prodigio que hizo contribuciones fundamentales a las matemáticas, la teoría de juegos, la computación y el desarrollo de la bomba atómica. Von Neumann ayudó a diseñar las primeras computadoras digitales como el ENIAC y el EDVAC, y propuso la arquitectura de von Neumann que es la base de las computadoras modernas. También participó en el Proyecto Manhattan para desarrollar
Nikolái Lobachevski (1792-1856) fue un matemático ruso pionero en el desarrollo de la geometría no euclidiana. Enseñó en la Universidad de Kazán durante más de 30 años y fue rector entre 1827 y 1846. Formuló de manera independiente un sistema de geometría hiperbólica que rechazaba el quinto postulado de Euclides. Sus ideas sobre una geometría alternativa se adelantaron a su época y recibieron inicialmente críticas, pero posteriormente se reconocieron como una contrib
Gottfried Leibniz fue un filósofo, matemático y político alemán del siglo XVII. Realizó importantes contribuciones al cálculo infinitesimal, la lógica y otras áreas. Inicialmente su reputación decayó, pero luego fue reconocido como uno de los pensadores más influyentes de su época. Actualmente se le considera uno de los últimos genios universales y se le otorgan premios en su honor.
Adrien-Marie Legendre fue un destacado matemático francés nacido en 1752. Realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. Escribió la popular obra Elementos de Geometría y desarrolló el método de los mínimos cuadrados. Fue miembro de prestigiosas academias como la Academia de Ciencias de Francia y la Royal Society. Legendre murió en París en 1833 tras una larga carrera dedic
Laplace fue un destacado astrónomo, matemático y físico francés que hizo importantes contribuciones a la astronomía y probabilidad. Formuló la hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar y demostró la estabilidad del mismo. También sentó las bases de la teoría matemática de probabilidades y fue un firme defensor del determinismo científico. Fue miembro de numerosas academias científicas y ocupó cargos como ministro del Interior de Francia.
Joseph-Louis de Lagrange fue un destacado matemático francés nacido en Italia en 1736. Estudió en Turín y se convirtió en profesor de matemáticas a los 19 años, destacando por resolver problemas complejos. Más tarde trabajó en Berlín y París, donde hizo contribuciones fundamentales al cálculo variacional y la mecánica analítica. Publicó obras influyentes y enseñó en la École Polytechnique. Fue reconocido como el mayor matemático de su época.
Andréi Kolmogórov fue un destacado matemático ruso que realizó importantes contribuciones en teoría de la probabilidad y topología. Estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recibió numerosos premios y honores de academias de ciencias de todo el mundo por su trabajo pionero. Fue miembro de la Academia Rusa de Ciencias y profesor en la Universidad Estatal de Moscú.
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán conocido por sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas. Estudió en la Universidad de Tubinga y trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial para Rodolfo II. Descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, no en círculos, y formuló sus tres leyes fundamentales sobre el movimiento planetario.
Herón de Alejandría fue un matemático y astrónomo del siglo I a.C. que desarrolló fórmulas importantes como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados. También inventó máquinas como la eolipila, un precursor de la turbina de vapor, y desarrolló un método para calcular raíces cuadradas. Escribió varios tratados sobre temas como mecánica, áreas, volúmenes y óptica.
1. Índice
ÁLGEBRA - 4 to AÑO DE SECUNDARIA
Pág.
T E M A 1 Sucesiones y Progresiones ....................................................................... 2
Sucesiones ................................................................................................................................... 2
Progresiones Aritméticas ...................... 5
Progresiones Geométricas.............................................................................................................. 8
T E M A 2 Funciones................................................................................................... 11
Relaciones Binarias ....................................................................................................................... 11
Clases de Relaciones .................................................................................................................... 17
Función ..................................................................................................................................... 25
Dominio y Rango de una Función................................................................................................... 31
Gráfica de Funciones .................................................................................................................... 38
T E M A 3 Logaritmos................................................................................................. 51
T E M A 4 Ecuaciones con Valor Absoluto................................................................. 60
T E M A 5 Ecuaciones de Grado Superior .................................................................. 63
T E M A 6 Inecuaciones de Grado Superior............................................................... 70
Inecuaciones Lineales ................................................................................................................... 70
Inecuaciones Cuadráticas............................................................................................................... 73
Inecuaciones de grado superior...................................................................................................... 75
T E M A 7 Inecuaciones con Valor Absoluto ............................................................. 78
T E M A 8 Sistema de Inecuaciones........................................................................... 81
T E M A 9 Binomio de Newton................................................................................... 84
Factorial de un Número ................................................................................................................ 84
Números Combinatorios ................................................................................................................ 86
Binomio de Newton ...................................................................................................................... 92
2. Álgebra I.E.P. Corpus
Christi
Tema nº 01: SuceSioneS y progreSioneS
Capacidades:
Resuelve problemas con sucesiones.
Calcula el término “n” ésimo de una progresión geométrica y aritmética.
Calcula la suma de términos de una progresión geométrica y aritmética.
Resuelve problemas, aplicando propiedades de una progresión aritmética y geométrica.
Exploración y Desequilibrio:
En una competencia de tiros al blanco dan las siguientes listas de números:
a) 5; 9 ; 11; 15 ............
b) 3; 6; 9; 12; .........
c) -5; -1; 3; 7 ...............
d) a; 3a; 5a; 7a; .........
¿En cuál de ellas, la razón entre cada par de términos es la misma?
¿Qué letra continua? A; D; G; J;.....
Calcule es sexto término de la sucesión:
4; 6; 11; 21; 38;…………
¿Qué letra continua? C; O; R; P; U; S; .....
Desarrollo del Tema:
1. Sucesión: Se llama sucesión a la secuencia ordenada de términos, regidos por una ley de
formación.
Ejemplo:
5; 12; 19; 26; 33; . . . . .
2; 6; 18; 54; 162;. . . . . .
4; 9; 16; 25; 36;. . . . . .
A; D; H; M; ………….
2. Sucesión Aritmética Lineal o de 1er Orden:
Es cuando la razón es constante en la primera línea, también se le llama progresión
aritmética (P.A.)
Si: t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn (razón constante)
t tn = t 1 +
Donde: r(n-1) ó
t = t 0 + r.n
tn :n Término enésimo
t1 : primer término
r : razón
n : número de término
t0 : término anterior al primero
3.- Sucesión Cuadrática o de 2º Orden:
t tn = an2 +
bn + c
Regla práctica para calcular el término enésimo de una sucesión cuadrática:
3. Ecuación Segundo Año
Si: t0 ; t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn
l m n p q
r r r r
Donde : a = r/2
b=l–a
c = t0
Sucesión Geométrica:
t tn = t1 x
qn-1
Donde:
tn : Término enésimo
t1 : primer término
r : razón geométrica
n : número de término
Sucesión Armónica o Progresión Armónica:
t 2t n-1 x
2tn+1
Sucesiones Polinomiales de Orden mayor que dos:
t tn =
Se usará el método más práctico que es el: uso de los números combinatorios
2t n-1+2tn+1
n!
Cn =
k
( n − k ).! xk!
ºSi: t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn
a b c d e…….
m n p q ……
r r r
n-1 n-1 n-1 n-1
El enésimo término se calcula así: tn = t1 C + a.C + m.C + r.C
0 1 2 3
prÁcTica DirigiDa
1) ¿Qué término sigue?
4; 5; 10; 19; 32;…. 5) 1, 5; 4; 8; 9; 11; x; y . Hallar x+y
a) 49 b) 27 c) 32 d) 35 e) 37 a)14 b) 16 c) 30 d) 27
2) Hallar x + y, en la sucesión 6) 1/2; 1/2; 1; 3; 12; 60; ......
8; 7; 10; 9; 12; 11: x; y a) 360 b) 630 c)120 d)180
a) 20 b) 25 c) 22 d) 27 e) 25
7) 2, 5; 9; 15; 16; 45; 23; x; y. Hallar
3) ¿Qué número continua? x-y
19; 38; 36; 72; 70; 140; x a)135 b) 105 c)30 d)72
a)280 b)210 c)122
d)138 e)125 8) A, D; I; O; . . . .
a)Y b) X c) V d) W
4) ¿Qué letra continua?
B; K; E; O; H; S; K; ? 9) En la sucesión cuántos términos acaba
a) X b) Y c) V d) W e) S en 5.
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3
4. Álgebra I.E.P. Corpus
Christi
11; 24; 37; 50;……;2598 a)840 b)843 c)942 d)823 e)834
a) 20 b) 42 c) 28 d) 30 e) 25
18)Busca información del tema de
10)¿Cuál es el término más cercano a Sumatorias y relaciona sus fórmulas
1000 que pertenece a la progresión con las referentes a Progresión
aritmética? Geométrica.
20; 39; 58; 77;….
a)999 b)989 c)908 ENCUENTRA EN CADA CASO EL NÚMERO QUE SIGUE:
d)1008 e)1029
19)5; 6; 9; 17; 34; ......
11)¿Cuántos términos tiene la siguiente a) 65 b) 60 c) 75 d) 59
sucesión de primer orden?
12n; 17n; 24n; 31n;........ 620n
20) 6, 7; 13; 20; 33; 53; . .
a) 73 b) 75 c) 77 d) 79 e) 81
a)73 b) 86 c) 90 d) 70
12)Si la siguiente sucesión:
9/4; 17/9; 27/16; 39/25;...... 21)3; 6; 11; 19; 31; .....
Tiene 20 términos. Determinar la a) 47 b) 48 c) 36 d) 52
diferencia de los términos de la última
fracción. 22)1; 1; 1; 2; 12; .....
a) 54 b) 70 c) 76 d) 62 e) 64 a) 250 b) 160 c) 288 d)24
13)Hallar el término de lugar ba de la 23) E; G; K; P;.....
siguiente P.A: a) Y b) V c) X d) W
a8b; a93; b04; ba5;....
a) 302 b)303 c)352 d)402 e)403
24) B, F; I; M; O...
14)Dada la sucesión de primer orden: a)R b) S c) T d) V
a2 + 1; 7a; 9a - 1;....
Hallar el primer término que contenga 3 25) 17; 29; 48; 76; 116; 172; ….
cifras. a) 249 b) 237 c) 194 d) 227
a)102 b)105 c)108 d)107 e)109
26)3, 6; 18; 66; ....
15)Calcular el último término de la fila 30 a)192 b) 258 c)266 d)272
del siguiente triángulo numérico:
1
27)40, 37; 33; 26; 14; . . . . .
3 5
5 7 9 a)-19 b) -5 c)-10 d) 0
7 9 11 13
9 11 13 15 17 28)1, 4; 3; -1; 9; -4; 27; . . . .
............................................. a)5 b) 10 c) -5 d)16
a)140 b)120 c)118 d)117 e)108
29)-2, -1; 1; 5; 13; . . . .
16)En el triángulo numérico, hallar la suma a)50 b) 29 c)25 d) 35
del primer y último término de la fila
20. 30)D; G; J; M; X; U; R ; ….
1 ….. F1 a) Ñ B) O C) P D) F
3 5 ….. F2
7 9 11 ….. F3
13 15 17 19 …. F4 31) 5, .?; 32; 68; 140; 284
21 23 25 27 29...... F5 a) 14 b) 10 c) 12 d) 20
.............................................
a)900 b)450 c)801 d)702 e)800 32)El número equivocado en: 2; 5, 10;
12; 26; 29; 58; 61; 122; es:
17)Calcular el término 30 de la sucesión: a)5 b) 10 c) 12 d) 26
2; 3; 6; 11;...................
progreSioneS ariTmÉTicaS
5. Ecuación Segundo Año
Exploración y Desequilibrio:
En un test de capacidad se dan las siguientes listas de números:
a) 3; 7 ; 11; 15; ............
b) 3; 6; 9; 12;.........
c) 4; 12; 20; 28; 34; 42………
d) -5; -1; 3; 7;...............
¿En cuál de ellas, la razón es constante?
¿Cuánto es la suma de los 10 primeros números naturales?
¿Cuánto es la suma de los 100 primeros números naturales? ¿Será fácil calcularlo?
Desarrollo del Tema:
Progresión: Es una sucesión de números que se caracteriza por aumentar o disminuir una
cantidad en forma constante, llamada razón. Pudiendo ser ésta por diferencia o cociente
Progresión Aritmética: Cuando la razón se obtiene por diferencia
La progresión aritmética es considerada creciente cuando la razón es positiva.
Ejemplo: 3; 9 ; 15; 21 ............
La progresión aritmética es considerada decreciente cuando la razón es negativa.
Ejemplo: 30; 26; 22; 18 ............
an = a1 + (n-1)r
n
Fórmulas S n = ( a1 + a n )
básicas 2
Donde:
a1 = Primer término
an = Ultimo término
n = número de términos
Sn = Suma de los “n” primeros términos
prÁcTica DirigiDa
1. Tres términos de una P.A, creciente tercero y séptimo término es igual a 8.
tienen como suma 42, y como producto Hallar al término 100 de la P.A.
2 688 el mayor es: a) 185 b) –80 c) –186 d) 200
a) 4 b) 8 c) 16 5. En una P.A. cuyo primer término es 16 la
d)32 suma del cuarto y noveno término es
igual a la semisuma del undécimo y
2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 11 decimoséptimo ¿Cuál es el valor del
y 173? quinto término?
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 a) 24 b) 32 c) 40 d) 48
3. En la P.A: X.....-59, -61, Hallar el número 6. En una P.A. creciente de 7 términos la
de términos, si la suma de todos los suma del 3ro. 4to. y 5to. término es 54 y
términos es nulo. el producto de los términos primero y
a) 62 b)63 c) 64 d)F.D. último es 180. Halla la razón de la P.A.
a)2 b)3 c) 4
4. La suma del segundo y quinto término de d)5
una P.A. es igual a 14; la suma del
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5
6. Álgebra I.E.P. Corpus
Christi
7. La suma de tres términos de una P.A. es
33. El cuadrado del último térmno excede 19. En la P.A: X.....-59, -61, Hallar el
a la suma de los cuadrados de los dos número de términos, si la suma de
primeros en 11 ¿Cúal de los sgtes no todos los términos es nulo.
pertenece a P.A? a) 62 b)63 c) 64 d)F.D.
a) 8 b)11 c) 14 d) 17
20. La suma del segundo y quinto término
8. Interpolemos, usando la fórmula de an de una P.A. es igual a 14; la suma del
en: tercero y séptimo término es igual a 8.
5 medios aritméticos entre 8 y 32 Hallar al término 100 de la P.A.
10 medios aritméticos entre -15 y a) 185 b) –80 c) –186 d) 200
40
6 medios aritméticos entre -7 y -56 21. En una P.A. cuyo primer término es 16
7 medios aritméticos entre 5 y 9 la suma del cuarto y noveno término es
igual a la semisuma del undécimo y
9. El duodécimo término de una progresión decimoséptimo ¿Cuál es el quinto
aritmética es 15 y la diferencia común término?
es -3. Determina el primer término. a) 24 b) 32 c) 40 d) 48
10. La diferencia común de una progresión 22. ¿Cuántos términos deben tomarse de la
aritmética es 2/5 y el décimo término es P.A.; -9, -6, -3.......; para que
30. Halla el primer término. la suma sea 66.
a) 9 b) 10 c)11 d)12
11. EL primer término de una progresión
aritmética es 6 y el noveno término es 23. La suma de todos los números naturales
-74. Halla la diferencia común. múltiplos de 6, menores que 200 es:
a)3366 b)3663 c)3636 d)3676
12. Determina la razón “r” de -4; …, 116;
donde 116 es décimo sexto término. 24. ¿Cuántos múltiplos de 13 existen entre
25 y 261?
13. El primer término de una progresión a) 17 b) 18 c) 19 d) 20
aritmética es -42, el enésimo término 6
y la razón es 3. ¿cuál es el número de 25. La suma de los cinco términos de una
términos? progresión aritmética es 315, y la
diferencia entre el quinto y el primero
14. ¿Qué lugar ocupa el número 109 en la es 28, ¿cuál es la progresión?
P.A.: -15; -11; -7; .......?
a) 32 b) 24 c) 16 d)30 26. Un obrero debe depositar una carretilla
de arena, alrededor de cada uno de 30
15. El quincuagésimo (50) múltiplo de 3 es: árboles que están en línea recta,
a) 150 b) 144 c) 141 d)153 separados 6 metros. Si el montón de
arena está a 10m del primer árbol,
16. Tres términos de una P.A, creciente encontrar la distancia recorrida luego de
tienen como suma 42, y como producto realizado el trabajo.
2 688 el mayor es: a) 2910 b)5820 c)11640 d)4045
a) 4 b) 8 c) 16 d)32
17. Halla la suma de los números impares 27. Determinar el término central de una
desde 29 hasta 137. P.A. de 7 términos, Sabiendo que la
a) 4565 b) 4594 c) 4536 d) suma de los términos de lugar impar es
4702 77 y la de los de lugar par es 56.
a) 19 b) 14 c) 16 d)24
18. Halla el número de términos y la suma 28. En una P.A. creciente de 7 términos la
de ellos, en una P.A. cuya razón es 3, suma del 3ro. 4to. y 5to. término es 54
su primer término es 6 y su último y el producto de los términos primero y
término 123. último es 180. Halla la razón de la P.A.
a) 39 y 2577 b) 40 y 2586 a)2 b)3 c) 4 d)5
c) 39 y 2580 d) 40 y 2577
7. Ecuación Segundo Año
29. Desde los puntos A y B distantes entre 39. En una P.A, se cumple:
sí 510 m, se mueven simultáneamente a1 + a5 = 14 , a3 + a6 = 20
dos cuerpos, uno al encuentro del otro.
Calcular a4:
El I de ellos recorre en el primer minuto
50 metros y en cada minuto siguiente a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
dos metros más que el precedente. El II
cuerpo recorre en el primer minuto 40 40. Si: a, 2a, a2 son los 3 primeros términos
metros y en cada minuto siguiente 4 de una P.A. Calcular la suma de los 10
metros más que el precedente. primeros:
¿Después de cuántos minutos se a) 160 b) 165 c) 166
encuentran estos dos cuerpos?
a) 5 b)15 c) 34 d)30 d) 144 e) 150
30. Sabiendo que el término central de una
P.A. de 40 términos es 22,5. Calcular la 41. El primer término de una P.A. es 5. El
suma de todos sus términos último es 45; y la suma de todos los
a) 900 b) 843 c) 964 d)845 términos es 400. Calcular el # de
términos.
31. ¿Cuántos medios aritméticos se deben a) 14 b) 15 c) 16
interpolar entre 4 y 40 para que la suma
de la P.A. resultante sea de 220? d) 17 e) 18
a)8 b)10 c) 9 d) 5
42. En una P.A. de 25 términos, el décimo
32. El mayor de tres números que forman tercero es igual a 30. La suma de todos
una P.A. es el doble del menor. ¿Cuál es los términos de la P.A es:
el mayor de estos números, si su a) 1250 b) 1000 c) 875
producto es 17496.
a) 36 b) 27 c) 90 d)59 d) 750 e) 700
33. Determinar el décimo quinto término de 43. Hallar la razón de una P.A. de 3
una P.A.. Si la suma de sus “n” términos términos, tales que al adicionar 3; 10 y
está determinado por: Sn = n(n+8). 2 respectivamente se obtenga números
a) 37 b) 43 c) 64 d)45 proporcionales a 2, 4 y 3.
a) 2 b) 4 c) 5
34. Los tres términos en P.A. que
aumentados en 2, 3 y 8 d) 6 e) 7
respectivamente son proporcionales a
10, 25 y 50. ¿Cuál no es uno de sus
términos? 44. Considere una P.A. cuyo sexto término
a) 2 b) 7 c) 12 d)15 es 3/5 del tercer término, que es
positivo, si el producto de los mismos es
35. Si se sabe que a, a2 y 3a son los tres 15. Determinar el número de términos
términos de una P.A. entonces la suma que se debe tomar de esta P.A. para
de los diez primeros términos es: 1
a) 110 b) 84 c) 116 d)124 que sumen 30 .
3
36. La suma de cuatro números racionales
45. Los lados de un triángulo rectángulo forman
en P.A. es 20 y la suma de sus inversos
una progresión aritmética. Hallar la suma de
es 25/4. ¿Cuál de los siguientes no lo
las tangentes de sus dos ángulos agudos.
es?
a)4 b) 6 c) 8 d) 10 46. Se va a pagar una deuda de 150 soles en
letras que forman una progresión aritmética.
37. La suma de tres números en P.A. es El primer pago que se realizará será de 30
22,5. Si al centro se le resta 1,5 se soles y cada pago posterior será dos soles
transforma en una P.G.. Uno de los menos que el pago anterior. ¿En cuántas
números que no pertenece es: letras se terminará de pagar?
a) 7,5 b) 3 c) 12 d)5 a) 6 b) 7 c) 4
38. Busca información del tema de d) 25 e) 19
Sumatorias y relaciona sus fórmulas con
las referentes a Progresión Aritmética
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
7
8. Álgebra I.E.P. Corpus
Christi
progreSioneS geomÉTricaS
Exploración y Desequilibrio:
En las siguientes listas de números: ¿En cuál de ellas, la razón es constante?
a) 1; 8; 27; 64;...............
b) 3; 6; 12; 24;.........
c) 2; 6; 24; 120;.........
d) 1; 1 ; 1; 1;............
3 9 27
Calcular la suma de las áreas de todos los cuadrados que se pueden inscribir
sucesivamente a partir de un cuadrado de 1m de lado.
Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se
vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de 8 cortes. ¿Cuántos trocitos
de papel habrá?
Desarrollo del Tema:
Progresión Geométrica: Cuando la razón se obtiene por cociente.
an = a1.r n-1
Sn =a.
(r n
−1 )
1
( r − 1)
a1
Pn = ( a1 .a n ) n
S∞ =
(1 − r )
Donde:
a1 = Primer término
an = Ultimo término
n = número de términos
Sn = Suma de los “n” primeros términos
Pn = Producto de los n primeros términos
S∝ = Suma de los infinitos términos
RECUERDA:
Las progresiones geométricas pueden ser CRECIENTES y DECRECIENTES.
Una progresión geométrica es creciente si su primer término es positivo y la razón es
positiva y mayor que 1, y es decreciente si su primer término es positivo y la razón es
positiva y menor que 1.
Si la razón es negativa, los términos de la progresión resultan alternadamente positivo y
negativo; y por lo tanto, uno mayor, uno menor, uno mayor, etc.
Ejemplos:
1) 4; 8; 16; 32; 64; 128; …. es una progresión geométrica creciente; Porque su primer
término es positivo y la razón es 2, positiva y mayor que 1.
2) 81; 27; 9; 3; 1;, …… es una progresión geométrica decreciente; porque su primer
1
término es positivo y la razón es , positiva y menor que 1.
3
3) La progresión geométrica: -1; 5; -25; 125; …. no es creciente ni decreciente, pues la
razón es negativa que es -5.
9. Ecuación Segundo Año
prÁcTica DirigiDa
1. Interpolemos, usando la fórmula de an y que la suma de los dos primeros es
en: igual a 60.
5 medios geométricos entre 3 y a)60 b) 764 c) 5/3 d) 768
192
4 medios geométricos entre 5 y 10. Si la suma de los 6 primeros términos de
-1215 una P.G. es igual a 9 veces la suma de los
5 medios geométricos entre 36 y tres primeros términos, entonces la razón
9/16 es:
4 medios geométricos entre ½ a) 2 b) 3 c) 4 d)8
y-1/2048
Dos medios geométricos entre 5 y 11. La diferencia del tercer término menos el
625 sexto de una P.G. es 26 y el cociente es
27. Calcular el primer término
2. El sexto término de una P.G. es 1024 y la a) 243 b) 234 c)5/9 d)1/9
razón es 4. Entonces el tercer término es:
a) 16 b) 4 c) 16 d)64 12. En una P.G. creciente de tres términos se
multiplica el primer término por 4, al
3. Si el producto de tres números que están segundo por 7 y al tercero por 6,
en P.G. es 1000 y la razón es 3. ¿Cúal de obteniéndose una P.A.. Hallar la razón de
los sgtes no pertenece a P.G.? la P.G.
a)10/3 b)10 c) 30 d) 3 a) 2 b) 3 c) 4 d)5
4. La suma de los 3 términos de una P.G. es 13. La suma de los 3 términos de una P.G.
10,5. Si el término medio es tres, hallar la es 10,5. Si el término medio es tres,
razón: hallar la razón:
a) 3,8 b)3,5 c) 1,5 d) 2 a)3,8 b)3,5 c) 1,5 d) 2
5. Calcula el primer término de una P.G. en 14. Calcula el primer término de una P.G.
el que el tercer término es 3 y el séptimo en el que el tercer término es 3 y el
es 3/16 séptimo es 3/16
a) 12 b) 8 c) 1/3 d) 1/9 a) 12 b) 8 c) 1/3 d) 1/9
6. Encontrar el primer término de una P.G. 15. Encontrar el primer término de una P.G.
en la cual el 3ro y 6to término son 1/18 y en la cual el 3ro y 6to término son 1/18
1/486 respectivamente. y 1/486 respectivamente.
a) 2 b) 3 c) 1/3 d) a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2
1/2 16. Hallar el número de términos de una
PG. cuyo primer término es 3, sabiendo
7. Los 4 medios geométricos interpolados que la suma de ellos es 1092 y la razón
entre 160 y 5 de una P.G. es: es 3.
A) 5, 10, 20, 40 B) 10, 30, 60, 90 a)6 b) 8 c) 4 d) 5
C) 80, 40, 20, 10 D) 120, 90, 60, 30
17. Los 4 medios geométricos interpolados
8. Hallar el número de términos de una PG.
entre 160 y 5 de una P.G. es:
cuyo primer término es 3, si la suma de
A) 5, 10, 20, 40 B) 10, 30, 60, 90
ellos es 1092 y la razón es 3.
C) 80, 40, 20, 10 D) 120, 90, 60, 30
a)6 b) 8 c) 4 d) 5
18. La diferencia del tercer término menos
el sexto de una P.G. es 26 y el cociente
9. Una P.G. tiene 4 términos, encuentre el es 27. Calcular el primer término
último término si se sabe que la razón a) 243 b) 234 c)5/9 d)1/9
común es igual a 1/3 del primer término
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
9
10. Álgebra I.E.P. Corpus
Christi
19. La cantidad que hay que sumar a 5, 13 transforma en una PG.. Uno de los
y 29, para que formen una P.G. es: números que no pertenece es:
a) 2 b) 3 c) 4 d)5 a) 7,5 b) 3 c) 12 d)5
20. ¿Cuántos antecesores (padre, abuelos, 30. Una PG. admite 4 términos, siendo la
bisabuelos,. . .) tiene una persona suma de sus extremos 27 y los
después de 6 generaciones? centrales 18. ¿Cual de los términos no
a)64 b)126 c) 128 )256 lo es?
a) 24 b) 3 c) 12 d) 5
31. Hallar el mayor de tres números
21. Tres madres impacientes esperan
positivos de una PG., sabiendo que la
consulta con niños de 1, 37, 289 días. El
suma es 26 y la suma de sus inversas
pediatra para entretenerlas, les pide
es 13/18.
que averigüen dentro de cuántos días
a) 18 b) 3 c) 6 d) 15
las edades de sus niños estarán en PG.
a) 5 b) 3 c) 4 d)6
32. Las edades de 4 personas están en P.G.
El producto de todas ellas es 3779136 y
22. ¿Cuántos antecesores el más joven de ellos tiene 24 años.
(padre, abuelos, bisabuelos,...) tiene
una persona después de 10 33. Calcular la suma de las áreas de todos
generaciones? los cuadrados que se pueden inscribir
a) 1024 b) 2048 c) 2046 d) 1349 sucesivamente a partir de un cuadrado
23. Alrededor de un punto se ha construido de 4m de lado
infinitos ángulos, cuyas medidas esta en a) 32m2 b)16m2 c)64m2 d) 48m2
progresión geométrica de razón ½. La
medida del primer ángulo es:
34. Sea una P.G. se tiene: que la razón
a) 90º b) 150º c)120º d) 180º
S5 31
entre: = . Hallar el término 8.
24. Se deja caer una pelota desde una S3 7
altura de 90m, si en cada rebote la
pelota se leva 1/3 de la altura de lo cuál 35. Si se aumenta una misma cantidad a los
cayó la última vez. ¿Qué distancia
números 20, 50 y 100, se forma una
recorre la pelota hasta quedar en
P.G. cuya razón es:
reposo?
a) 1/2 b) 1/3 c) 2
a) 180 b)135 c) 90 d)225
d) 4/3 e) 5/3
25. Los 4 medios geométricos interpolados
36. ¿Cuál es la razón de una PG. de 12
entre 1215 y 5 de una PG. es:
términos, siendo el primero 1 y el
B) 500, 100, 20,10 b) 10, 50, 150,
último 2048?
750
a) 1 b) 2 c) 4
C) 405, 135, 45, 15 d) 625, 250, 125, 25
d) 8 e) 16
26. En una PG. creciente de tres términos
se multiplica el primer término por 4, al
37. La suma de los 6 primeros términos de
una P.G. es igual a nueve veces a suma
segundo por 7 y al tercero por 6,
de los 3 primeros términos entonces la
obteniéndose una PA. Hallar la razón de
razón de la PG. es:
la PG.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8
a) 2 b) 3 c) 4 d)5
27. Si el producto de tres números que 38. Si le sumamos 3 números consecutivos
están en P.G. es 1000 y la razón es 3. a 3, 7 y 16 respectivamente, obtenemos
¿Cúal de los sgtes no pertenece a P.G.? una P.G. calcular la razón de la P.G.
a)10/3 b)10 c) 30 d) 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
28. Determinar el término central de una
PG. de 5 términos, Sabiendo que el 1 1 1
39. Sumar: + + + ...
producto de todos ellos es 1024 3 12 48
a) 3 b) 4 c) 5 d)6 a) 1 b) 2 c) 1/2
29. La suma de tres números en PA. es d) 1/4 e) 4/9
22,5. Si al centro se le resta 1,5 se
11. Ecuación Segundo Año
40. La suma de tres números en progresión Hallar el segundo término de la progresión
geométrica creciente es 70; si los extremos se geométrica dada.
multiplican por 4 y el intermedio por 5, los a) 15 b) 10 c) 30
productos están en progresión aritmética. d) 20 e) 18
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
11
12. Tema nº 02 : funcioneS
Capacidades:
Define y grafica funciones.
Resuelve problemas con funciones.
Desarrollo del Tema:
PAR ORDENADO R: A → B
Es un conjunto que consta de 2 elementos al subconjunto de A × B obtenido mediante:
dispuestos en un determinado orden.
R = {(a ;b ) ∈ A × B /a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ a R b }
( A ; B )
P r im e ra Segunda
a R b Indica que entre a ∈ A y b ∈ B se cumple
c o m p o n e n te c o m p o n e n te
alguna condición establecida.
Propiedades: • Ejemplo: Dado A = {1, 2, 3, 4} y B = {5, 6}
1. (A;B) ≠ (B;A) Construir una relación de A en B, definida por:
2. Si: (A;B) = (C;D) → A = C ∧ B = D R = {(a;b) ∈ A × B/a + b < 9}
• Ejemplo: Resolución:
Hallar (x + y), si se sabe que: * Obteniendo A × B:
(4x - 1;13) = (7; 2y - 1) A × B = {(1;5),(1;6),(2;5),(2;6),(3;5),(3;6),(4;5),(4;6)}
Resolución: Igualando las componentes: * Analizando cada par ordenado:
* 4x - 1 = 7 →x=2 (1;5) → 1 + 5 = 6 < 9 (cumple)
* 2y - 1 = 13 →y=7 (1;6) → 1 + 6 = 7 < 9 (cumple)
∴x+y=9 (2;5) → 2 + 5 = 7 < 9 (cumple)
(2;6) → 2 + 6 = 8 < 9 (cumple)
PRODUCTO CARTESIANO (3;5) → 3 + 5 = 8 < 9 (cumple)
Dados 2 conjuntos "A" y "B" no vacíos; se llama
(3;6) → 3 + 6 = 9 = 9 (no cumple)
"producto cartesiano de A y B" (A × B) al
conjunto de pares ordenados obtenido mediante: (4;5) → 4 + 5 = 9 = 9 (no cumple)
(4;6) → 4 + 6 = 10 > 9 (no cumple)
A × B = { (a ;b )/a ∈ A ∧ b ∈ B } ∴ R = {(1;5),(1;6),(2;5),(2;6),(3;5)}
• Ejemplo: Del ejemplo anterior podemos establecer:
Siendo: A = {3; 4; 5} 1. Como R es una relación de A en B, entonces:
B = {1; 2} * A: conjunto de partida de la relación.
A × B = { ( 3 ; 1 ) ,( 3 ;2 ) ,( 4 ; 1 ) ,(4 ; 2 ) ,( 5 ; 1 ) ,( 5 ;2 ) } * B: conjunto de llegada de la relación.
B × A = { ( 1 ; 3 ) ,( 1 ;4 ) ,( 1 ; 5 ) ,(2 ; 3 ) ,( 2 ; 4 ) ,( 2 ;5 ) }
2. Dominio de R: Dom(R) = {1; 2; 3}
Propiedades: (Conjunto de las primeras componentes)
1. A × B ≠ B × A (observar ejemplo anterior)
2. Siendo n(A) = número de elementos del 3. Rango de R: Ran(R) = {5;6}
conjunto A, (Conjunto de las segundas
→ n(A × B) = n(A) . n(B)
componentes)
RELACIÓN BINARIA
Dados 2 conjuntos "A" y "B" no vacíos; se define
"relación binaria de A en B":
13. Funciones Cuarto Año
Ejemplos:
1. En la siguiente igualdad de pares ordenados: Resolución: Obteniendo cada conjunto.
(2a +3b;-1) = (4;3a + b) A = {2; 3; 4}
Calcular el valor de "a + b" B = {2; 3; 4}
Resolución: Luego:
Por igualdad de pares ordenados se debe A×B=
cumplir: {(2;2),(2;3);(2;4),(3;2),(3;3),(3;4),(4;2), (4;3),(4;4)}
2a + 3b = 4.......... 1)
....( Graficando:
B
3a + b = −1.......... 2)
....(
4
Resolviendo:
(1 ) × 3 : 6a + 9b = 12 A × B
3
(2 ) x -2 : -6 a - 2 b = 2
2
7b = 14
b = 2 1
A
E n (1 ): a = -1
0 1 2 3 4
piden : a + b = 1
b. A = {x ∈ IN /3 < x + 2 ≤ 5}
B = {x ∈ IR / |x - 4| ≤ 1}
2. Sea A = {1; 2; 3} y dadas las relaciones: R y Resolución: Obteniendo cada conjunto.
1
R en "A" definida por: A = {2; 3}
2 B = [3; 5]
R = {(x;y) ∈ A × A/x < y} El conjunto "A" posee sólo 2 elementos; en
1
R = {(x;y) ∈ A × A/x + y = 5} cambio el conjunto "B" está dado por un
2 intervalo.
Calcule el número de elementos de R ∪ R
1 2
Resolución: Graficando:
B
Para determinar: R y R debemos construir el
1 2
producto cartesiano así: 5
A×A=
E le m e n t o s
{(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3),(3;1), (3;2),
de "B"
(3;3)} 3
Luego:
* Los elementos de R son todos aquellas
1 A
(x;y) donde x < y: R = {(1;2),(1;3),(2;3)} 0 1 2 3 4 5
1
* Los elementos de R son todos aquellos
2 E le m e n t o s
(x;y) donde x + y = 5: R = {(2;3),(3;2)} de "A "
2
Finalmente, el conjunto R ∪ R , viene a ser: c. A = {x ∈ IR/3 < x ≤ 6}
1 2
R ∪ R = {(1;2),(1;3),(2;3),(2;3),(3;2)} ó B = {x ∈ IR/1 ≤ x < 5}
1 2
R ∪ R = {(1;2),(1;3),(2;3),(3;2)} Resolución: Los dos conjuntos están dados por
1 2
∴ n(R ∪ R ) = 4 intervalos.
1 2 Graficando en el plano cartesiano.
3. En cada caso, se dan 2 conjuntos "A" y "B",
calcular:
"A × B" y graficarlos sobre el plano cartesiano.
a. A = {x ∈ IN / |x - 3| < 2}
x+2
1< ≤2
B = {x ∈ IN / 3 }
14. B Resolución:
5 * Construyendo la relación: 2x - y = 3
4
si: x = 1 → reemp.: 2(1) - y = 3
3 E le m e n t o s
de "B" → y = -1 ∉ M
2
1
x=2 → reemp.: 2(2) - y = 3
A → y=1∈M
0 1 2 3 4 5 6
E le m e n t o s d e " A " Luego (2;1) ∈ R
El rectángulo sombreado contiene todos los
pares ordenados (x;y) ∈ A × B. Las líneas x=3 → reemp.: 2(3) - y = 3
punteadas del rectángulo indican que en dicha → y=3∈M
parte de la gráfica el intervalo es abierto (A:
<3;6]; B: [1;5>) Luego (3;3) ∈ R
En el caso que la línea sea contínua, el
extremo del intervalo correspondiente es x=4 → reemp.: 2(4) - y = 3
cerrado. y=5∉M
4. Sea: M = {1; 2; 3; 4} un conjunto sobre el Se concluye que: R = {(2;1); (3;3)}
cual se define la relación: Dom(R) = {2;3} → a = 2 + 3 = 5
R = {(x,y)/2x - y = 3} Ran(r) = {1;3} → b = 1 + 3 = 4
Si "a" representa la suma de todos los elementos ∴a-b=1
del dominio de R y "b" a la suma de todos los
elementos del rango de R, calcular (a - b)
problemaS para la claSe
Bloque I Calcular: n(R)
a) 1 b) 2 c) 3
1. A partir de la igualdad: d) 4 e) 5
(a + b; 3a - 5) = (5; 4)
Hallar "2b - a" 6. Dados los conjuntos:
a) 1 b) 2 c) 3 A = {x ∈ IN/2 < x - 1 < 7}
d) 4 e) 5 B = {x ∈ IN/|x - 5| = 2}
Calcular: n(A × B)
2. Dada la operación: a) 7 b) 4 c) 8
(3x - 1;4) + (2x + 1;y + 2) = (y + 1;10) d) 6 e) 5
Hallar "x + y"
a) 1 b) 3 c) 5 7. Si: A = {1; 2; 3} ∧ B = {2; 4; 6}
d) 7 e) 9 Expresar por extensión la relación R; de "A" en
"B" definida así: R = {(x;y) ∈ A × B/y = 2x}
3. Teniendo lo siguiente: a) R = {(1;2),(2;4)}
(x + 1;y) + (3x - 1; 6) = (12;x + 7) b) R = {(1;1),(2;4),(3;5)}
Calcular "x + y" c) R = {(2;4),(1;6)}
a) 1 b) 3 c) 5 d) R = {(1;2),(2;4),(3;6)}
d) 7 e) 9 e) R = {(1;2),(2;4),(4;8)}
4. A partir de los conjuntos: 8. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 5; 6} A = {x ∈ IR/3 ≤ x + 1 ≤ 4}
B = {3; 5; 7} B = {x ∈ IR/0 ≤ x - 2 ≤ 2}
Construir la relación "R" definida por: Hallar "A × B", "B × A" y graficar cada caso:
R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 8}
9. Determinar los pares ordenados (x; y) que
5. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4}, se define una 2
verifican la igualdad: (x ; x + y) = (y; 2)
relación "R", mediante:
a) {(-2; 1), (4; 1)} b) {(1; -2), (1; 4)}
2
R = {(x;y) ∈ A /x + y = 3º} c) {(-3; 1), (4; 2)} d) {(-2; 4), (1; 1)}
15. Funciones Cuarto Año
e) {(4; -2), (1; 1)} Indicar cuál de todos los pares ordenados
dados, no pertenecen al conjunto A × B; ni al
10.De la gráfica: conjunto B × A.
y a) (1; 6) b) (5; 4) c) (4; 4)
(8 ;1 1 ) d) (1; 7) e) (2; 5)
7. Sean los conjuntos:
A = {x ∈ ZZ /-1 ≤ x < 5}
(a + b ;5 ) B = {x ∈ ZZ / 2 ≤ x ≤ 4} y las
(1 2 ;a + 2 ) correspondencias:
R = {(x;y) ∈ A × B/x < y}
1
R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 3}
2
x
Hallar el número de elementos de:
Hallar "ab" Dom (R ) ∧ Ran (R )
1 2
a) 5 b) 10 c) 15
a) 0 b) 1 c) 2
d) 20 e) 25
d) 3 e) 4
Bloque II
8. Dados:
1. Dados los conjuntos:
A = {x ∈ IN / x = impar ∧ 3 < x < 11}
A = {x ∈ ZZ /|x - 1| ≤ 1}
3
2 B = {x ∈ IN / x ≤ 100 ∧ x = 12}
B = {x ∈ ZZ /x = 5x}
Cuáles de las relaciones:
Hallar "A × B", "B × A" y graficar cada caso.
I. R = {(9;2),(5;4),(7;3)}
1
2. Dados los conjuntos: II. R = {(3;1),(5;2),(7;3),(9;4)}
2
III. R = {(5;12),(7;4)}
A = {x ∈ ZZ /|x| < 2} 3
x +1 están definidas de "A" en "B"
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
B = {x ∈ ZZ /-1 < 3
< 0} d) I y III e) II y III
Hallar "A × B" y "B × A", graficar en cada
caso: 9. Si: A = {1; 2; 3; 4; 5}
Se define la relación:
3. Dados los conjuntos: R = {(1;1),(2;2),(3;3),(5;1),(2;4),(5;4),(5;2),
P = {x ∈ IR /4 ≤ 3x - 2 ≤ 7} (4;3),(3;5)}
Q = {x ∈ IR /0 ≤ x - 2 ≤ 1} Si: M = {x ∈ A/(x;2) ∈ R}
Hallar "P × Q" y "Q × P", graficar en cada N = {y ∈ A/(3;y) ∈ R}
caso: P = {x ∈ A/(x;5) ∈ R}
Entonces (M ∪ N) - P es:
4. Dados los conjuntos: a) {2;5} b) {3;5} c) {3}
A = {x ∈ IN /|x - 6| = 5} d) {5} e) {1;2;4;5}
x −1
10.Dados los conjuntos:
B = {x ∈ IN /1 < 2 < 3} A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Hallar: n(B × A) B = {1; 3; 5}
a) 1 b) 6 c) 4 C = {2; 4; 6}
d) 8 e) 5 y las correspondencias:
P = {(x;y) ∈ B × A/x + y es par}
2 2 2 Q = {(x;y) ∈ C × B/x + y es impar}
5. Si: A = {-1; 0; 1} y R = {(x;y) ∈ A /y = x }
Hallar el número de elementos de "P v Q" si
Hallar: n(R)
existe.
a) 5 b) 4 c) 3
a) 15 b) 18 c) 21
d) 2 e) 1
d) 27 e) 30
6. Dados los conjuntos:
Bloque III
+
A = {x ∈ ZZ /|x - 1| < 4} 2
1. Dados los conjuntos: F = {x ∈ ZZ /x + 5 =
3x − 1 6x}
B = {x ∈ ZZ /2 < 4 < 5} 2
G = {x ∈ IR / x + 8 ≤ 6x}
16. entonces: F × G, tiene la forma:
6. Dados los conjuntos:
a) b) c) A = {1;4} ∪ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 3}
B = {x ∈ IR / 5 ≤ x ≤ 7}
d) e) entonces A × B tiene la forma:
2. Dados los conjuntos: a) b) c)
A = {1;5} ∪ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 4} d) e)
B = {x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 3} 7. Si: A = {x ∈ ZZ /4 < x + 4 < 9}
entonces "A × B", tiene la forma: 3 2
B = {x ∈ IR / x - 5x - x + 5 = 0}
a) b) c) Definimos: R = {(x;y) ∈ A × B/x < y}
Hallar la suma de los elementos que
conforman el dominio de la relación "R".
d) e) a) 6 b) 7 c) 9
d) 10 e) 11
3. Si "A" y "B" son los conjuntos definidos por:
A = {x ∈ IR / 3 ≤ x ≤ 6} 2
B = {y ∈ IR / -1 ≤ y ≤ 4} 8. Sean los conjuntos: A = {x ∈ IR / |x| ≤ 1}
Entonces, el área de la región limitada por el B = {x ∈ IR / 6 ≤ 3x ≤ 12}
gráfico de A × B, es: indicar la gráfica aproximada de A × B
2
a) 10u b) 15 c) 20
d) 12 e) 18 a) b) c)
4. Dados los pares ordenados:
P = (2; 3a - b); Q = (-5; 7); R = (a - 3b; -1) d) e)
cuya representación en el plano cartesiano
genera tres puntos. Los puntos "P" y "Q" están 9. Dados los conjuntos:
sobre una misma recta horizontal, mientras 2
M = {x ∈ IN / (x - 2)(x - 3) = (x - 2)2x}
que "Q" y "R" sobre una misma recta vertical. 2
Luego "a + b" es igual a: N = {x ∈ IR / x ≤ |x| + 2}
a) 3 b) -3 c) 2 Indicar lo incorrecto:
d) -2 e) 6 a) (2; 0) ∈ M × N b) (3; 1) ∈ M × N
5
( ; 0)
5. La gráfica del conjunto: A={1; 2};× ∈ <1; 2> es: c) (0; 3) ∈ N × M d) 2 ∈M×N
2 2
e) (3; -2) ∈ M × N
1 1
10.En el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} se define una
a) 1 2 b) 1 2 2 2
relación "R" por: R = {(x;y) ∈ A / x - 2 ≤ y}
2
2
Si: m = suma de elementos del dominio de R.
1 1 n = suma de elementos del rango de R
c) 1 2 d) 1 2 Hallar "m + n"
2
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
1
e) 1 2
Tarea Domiciliaria
1. Dada la igualdad: sabiendo que:
(4x - 3; 5x + 2y) = (1;11) A = {1; 2; 3}
Hallar "x + y" B = {2; 4; 5}
2 e indicar el número de elementos de "R"
2. Sabiendo que: (a ;a + 1) = (9;-2)
Hallar "a"
4. Si: A = {x/x ∈ IN ∧ 1 < x < 4}
B = {x/x ∈ IN ∧ 3 ≤ x ≤ 5}
3. Construir la relación "R", donde:
R = {(x; y) ∈ A × B/x + y > 6} Indicar un par ordenado de A × B
5. Si: P = {y/y ∈ IN ; y = 3x + 1 ∧ 2 < x < 7}
17. Funciones Cuarto Año
N = {x/x ∈ ZZ ; x = y -3 ∧ -1 ≤ y ≤ 1} 17.Realizar la gráfica de la relación:
Indicar: n(P × N) 2
R = {(x;y) ∈ R /x ∈ [-2;5>; y ∈ [-1;4]}
3
6. Si: A = {1;2}; B = {1;2}
18.Realizar la gráfica de la relación:
Hallar: M = {(x;y) ∈ A × B/y = 2x}
2
R = {(x;y) ∈ R / x ∈ [-3;5>; y ∈ [-2;4]}
2
7. Si: A = {x ∈ IN / "x" es impar ∧ 7 ≤ x ≤ 12} 19.Sean los conjuntos:
B = {x ∈ IN / "x" es par ∧ 5 < x < 11} A = {1;2;3;4;5;6}
determinar: R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 15} B = {1;4;9;16;25;36;49}
dar como resultado n(R) 2
R = {(x;y) ∈ A x B/y = (2x + 1) }
Halle su dominio y su rango.
8. Si: P = {x ∈ IN /5 < x + 5 < 10}
2 20.Sean las relaciones:
Q = {x ∈ IR /x - 4 = 0}
Definimos la relación: R = {(x; y) ∈ P × Q/x > y} 2
R = {(x;y)/y = x - 1, x ∈ {1;2;3;4}}
Hallar la suma de los elementos que S = {(x;y)/y = 2x + 1, x ∈ {1;2;3;4}}
conforman el rango de la relación. Halle: n(Dom(R)) + n(Ran(S))
9. Dados los conjuntos: 21.Determinar los pares ordenados (x;y) que
2 2
M = {x ∈ ZZ /x + 2 = 38} verifican la igualdad: (x ; x + y) = (y;2)
2
N = {x ∈ IR / x + 8 ≤ 6x}
22.Si: A = {1;2;3;4;5}
Entonces, M × N, tiene la forma:
R ∧R ⊂A×A
1 2
10.Dados los conjuntos: R = {(x;y)/x < y}
1
A = {2;4} ∪ {x ∈ IR /3 ≤ x ≤ 7/2 }
R = {(x;y)/x + y = 6}; Hallar: Dom(R ∩ R )
B = {x ∈ IR /3 ≤ x ≤ 5} 2 1 2
Entonces: A × B; tiene la forma:
23.Dados los conjuntos:
11.Si: A = {x ∈ IN / "x" es impar; x ∈ ]1;8[} P = {x ∈ IN /1 < x < 4}
Q = {x ∈ IN /1 ≤ x ≤ 4}
B = {x ∈ IN / "x" es par; x ∈ [4;10]}
de las afirmaciones:
Determinar: V = {(x;y) ∈ A x B/x + y < 12}
I. (1;1) ∈ P × Q
II. (2;1) ∈ Q × P
12.Del siguiente enunciado: III.(3;3) ∈ P × Q
S = {(2; 3), (1; 5), (2; 4),(1; 7)} ¿Cuáles son verdaderas?
Determinar el dominio de "S"
24.Dados los conjuntos:
13.Si: A = {1;2;3}; B = {2;5} A = {3;5;7}; B = {2;4;6}
M = {(x;y) ∈ A × B/x + y ≤ 5} se definen las relaciones:
R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 9}
Determinar el n(M) 1
R = {(x;y) ∈ A × B/y = 4}
2
14.Sea: A = {1;2;3;4;5} y las relaciones en "A" Hallar: Dom(R - R )
F = {(x;y) ∈ A x A/x < y} 1 2
G = {(x;y) ∈ A x A/x + y = 5}
25.De B = {1;2;3;4} y las relaciones:
¿Cuántos elementos tiene F ∪ G?
R = {(x;y) ∈ B × B/y = x}
1
15.R es una relación en A = {2; 3; 9} definida R = {(x;y) ∈ B × B/y < x}
2
2 R = {(x;y) ∈ B x B/x < y}
por: R = {(x;y)/y + 1 ≤ x }; hallar: n(R) 3
Hallar: n(R ) + n(R ) - n(R )
3 2 1
16.Sabiendo que:
A = {x ∈ IN/4 < x < 7} ; B = {-1; 0; 1}
26.De A = {x ∈ IN/x ≤ 9} y definimos:
Indicar lo correcto: 2
a) (-1; 0) ∈ A × B b) 7 ∈ A R = {(x,y) ∈ A /y = x}
c) (4; 7) ∈ A × B d) (5; 0) ∈ A × B e) 0 ∈ A 2
T = {(x,y) ∈ A /x < 4 ∧ y > 7}
18. 2 R = {(x;y) ∈ Z × Z/y = ax + b}
S = {(x,y) ∈ A /y = 2x}
Hallar el valor de "a + b"
Hallar: n(R) + n(S) + n(T)
29.Graficar: R = {(x;y)/y = 2x + 1, x ∈ A} donde:
27.Traza la gráfica de la relación:
A = {-1; 0; 2; 3}
2
R = {(x;y) ∈ R /x ∈ <-1;5>; y ∈ <-2;4>}
2
30.Traza la gráfica de la siguiente relación:
R = {(x;y) ∈ R × R/5x - 3y + 7 = 0; x ∈ <-2;4]}
28.Si los pares ordenados (2n;0), (0;-n) y (n;1) 1
pertenecen a la relación:
CLASES DE RELACIONES 2. La relación:
Sabemos que, a partir de un conjunto "A", se "x es hermano de y"
puede definir una relación "R" en "A", es decir: también es simétrica, puesto que:
R∈A×A "Alberto es hermano de José"
Expresar mediante: entonces:
R = {(x;y) ∈ A × A/x Ry} "José es hermano de Alberto"
donde "x R y" indica la condición que debe
cumplirse para que el par ordenado (x;y) ∈ R.
C. "R" es transitiva, si se cumple:
• Ejemplo: (x ;y ) ∈ R ∧ (y ;z ) ∈ R → (x ;z ) ∈ R
Dado: A = {2;3;4;5;6;7}, el conjunto
R = {(x;y) A × A/x + y = 9} Ejemplos:
es una relación en A, cuyos elementos son: 1. Dado el conjunto A = {2;4;6}
(2;7), (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), (7;2) se define la relación:
Siendo "R" una relación de "A" en "A" (relación en R = {(2;2),(2;4),(4;4),(6;6),(4;2)}
A), se puede realizar la siguiente clasificación:
si:
A. "R" es reflexiva, si cumple: (2 ;2 ) ∈ R ∧ (2 ;4 ) ∈ R → (2 ;4 ) ∈ R
∀ x ∈ A → (x ;x ) ∈ R (correcto)
es decir, cualquier elemento del conjunto "A",
(2 ;4 ) ∈ R ∧ (4 ;4 ) ∈ R → (2 ;4 ) ∈ R
se relaciona consigo mismo mediante la (Correcto)
relación "R" (4 ;4 ) ∈ R ∧ (4 ;2 ) ∈ R → (4 ;2 ) ∈ R
Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2; 3; 4}
se define: (Correcto)
R = {(2;2), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4)} (2 ;4 ) ∈ R ∧ (4 ;2 ) ∈ R → (2 ;2 ) ∈ R
si: 2 ∈ A → (2;2) ∈ R (correcto)
(Correcto)
3∈A → (3;3) ∈ R (correcto)
∴ R es transitiva.
4∈A → (4;4) ∈ R (correcto)
∴ R es reflexiva.
2. La relación entre conjuntos:
x ⊂ y ("x" está incluido en "y")
B. "R" es simétrica, si cumple:
es transitiva, puesto que:
(x ;y ) ∈ R → (y ;x ) ∈ R A ⊂ B ∧ B ⊂ C → A ⊂ C
Ejemplos:
En forma gráfica:
1. Dado el conjunto: A = {4; 7; 9}
U
se define la relación:
R = {(4;7), (7;9), (7;4), (9;7), (4;4)} C
B
si: (4;7) ∈ R → (7;4) ∈ R (correcto) A
(7;9) ∈ R → (9;7) ∈ R (correcto)
(4;4) ∈ R → (4;4) ∈ R (correcto)
∴ R es simétrica.
19. Funciones Cuarto Año
D. "R" es una relación de equivalencia, si es Este conjunto de pares ordenados conforma el
reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. plano cartesiano:
Ejemplos:
y
1. Con el conjunto A = {1; 3; 5}
analicemos la relación definida en "A" P (a ;b )
R = {(1;1),(3;3),(5;5),(1;3),(3;1)} II I
veamos si "R" es reflexiva
si: 1 ∈ A →(1;1)∈R 0 x
(1 ;1 ) ∈ R ∧ (1 ;3 ) ∈ R → (1 ;3 ) ∈ R
(correcto)
III IV
3 ∈ A → (3;3) ∈ R
(3 ;3 ) ∈ R ∧ (3 ;1 ) ∈ R → (3 ;1 ) ∈ R
(correcto) donde: eje x: eje de abscisas
eje y: eje de ordenadas
5 ∈ A → (5;5) ∈ R 0: origen de coordenadas
(1 ;3 ) ∈ R ∧ (3 ;1 ) ∈ R → (1 ;1 ) ∈ R I, II, III, IV: cuadrantes
(correcto)
luego, R es reflexiva.
Cada par ordenado (a;b) del conjunto R , se
2
Veamos si "R" es simétrica puede representar en el plano mediante un punto
si: (1;1) ∈ R → (1;1) ∈ R (correcto) P, donde:
(1;3) ∈ R → (3;1) ∈ R (correcto) a: coordenada de "P" en el eje "x"
(5;5) ∈ R → (5;5) ∈ R (correcto) b: coordenada de "P" en el eje "y"
Entonces, si definimos una relación "R",
luego "R" es transitiva mediante:
2
R = {(x;y) ∈ R /x R y}
como la relación "R" es reflexiva, simétrica
y transitiva a la vez Se dice que la gráfica de la relación R es un
∴ R es de equivalencia
conjunto de puntos representados en el plano
cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen dicha
2. La relación de igualdad:
relación.
R = {(x;y)/x = y}
es reflexiva, pues ∴∀ x → (x,x) ∈ R
• Ejemplo: A partir del conjunto A = {-2; 0; 4}
es simétrica, pues (x;y) ∈ R→ x = y
graficar la relación R, dada por:
→y=x
→ (y;x) ∈ R R = {(x;y) ∈ A × A/x + y > 0}
Resolución:
es transitiva, pues * Construyendo la relación:
( x ,y ) ∈ R ∧ ( y ; z ) ∈ R R = {(-2;4),(0;4),(4;-2),(4;0),(4;4)}
→x=y∧y=z * Los 5 pares representan 5 puntos que se
→x=z ubican en el plano:
→ (x;z) ∈ R
∴ R es relación de equivalencia.
GRÁFICA DE RELACIONES
Se sabe que el producto cartesiano de 2
conjuntos "A" y "B", está dado por:
A × B = {(x;y)/x ∈ A ∧ y ∈ B}
si hacemos: A = B = R (conjunto de número
reales) se tiene el conjunto.
2
R × R = R = {(x;y)/x ∈ R ∧ y = R}
20. y
se define una relación:
4 2 2 2
R = {(x;y) ∈ A /x + y = 1}
3 indicar verdadero (V) o falso (F)
2 I. R es reflexiva
1 II. R es simétrica
-4 -3 -2 -1 x
0 1 2 3 4 III. R es transitiva
IV. R es de equivalencia
-1
Resolución: Construyendo la relación:
-2 G r á f ic a d e la
R = {(-1;0),(1;0),(0;1),(0;-1)}
-3
r e la c ió n " R "
Ahora, analizando cada proposición:
-4 I. ¿R es reflexiva?
No es necesario conocer todos los pares si: -1 ∈ A → (-1;-1) ∈ R (incorrecto)
ordenados de una relación para graficarla; 0 ∈ A → (0;0) ∈ R (incorrecto)
solamente con obtener algunos puntos y después 1 ∈ A → (1;1) ∈ R (incorrecto)
unirlos mediante segmentos es suficiente
(tabulación). luego, R no es reflexiva.
II. ¿R es simétrica?
• Ejemplo: Graficar la relación:
si: (-1;0) ∈ R → (0;-1) ∈ R (correcto)
2
R = {(x;y) ∈ R / x + y - 2 = 0} (1;0) ∈ R → (0;1) ∈ R (correcto)
Resolución: luego, R es simétrica.
* Calculamos algunos pares ordenados
(tabulando): III. ¿R es transitiva?
si: x = -2→ reempl.: -2 + y - 2 = 0→ y = 4 si:
x = -1→ reempl.: -1 + y - 2 = 0→ y = 3 (-1 ;0 ) ∈ R ∧ (0 ;-1 ) ∈ R → (-1 ;-1 ) ∈ R
x = 0→ reempl.: 0 + y -2 = 0→ y = 2
x = 1→ reempl.: 1 + y - 2 = 0→ y = 1 (incorrecto)
x = 2→ reempl.: 2 + y - 2 = 0→ y = 0 basta que no cumpla con esta condición
con estos calculos se construye la tabla: para decir que R no es transitiva.
x -2 -1 0 1 2
IV. Como R no es reflexiva ni transitiva, luego
y 4 3 2 1 0 R no es de equivalencia.
Rpta.: I - F / II - V / III - F / IV - F
hemos obtenido los puntos:
(-2;4), (-1;3), (0;2), (1;1), (2;0)
2. En el conjunto: A = {1;2;4;5;6} se define la
relación:
* Ahora, los ubicamos en el plano y los
a+9
unimos con segmentos.
y R = {(4;1),(1;6),(5;2),(2;5),(4; 2 ),(5;3b -
4 4),(6;6)}
si "R" es una relación transitiva, calcular "a + b"
3
Resolución: Como la relación es transitiva.
2 * (4;1) ∈ R ∧ (1;6) ∈ R → (4;6) ∈ R
a+9
1
Como: (4; 2 ) es el único par con
primera componente 4, entonces:
-2 -1 0 1 2 x a+9 a+9
(4; 2 ) = (4; 6) → 2 =6
La figura corresponde a la gráfica de una
→ a=3
recta.
* (5;2) ∈ R ∧ (2;5) ∈ R → (5;5) ∈ R
Ejemplos:
Como en el caso anterior:
1. Sea el conjunto: A = {-1;0;1}
21. Funciones Cuarto Año
(5; 3b - 4) = (5;5) → 3b - 4 = 5 obtenga la gráfica de dicha relación.
→ b=3
∴a+b=6 Resolución:
Dando diversos valores a "x" y calculando los
3. Se define la siguiente relación en Z: valores correspondientes a "y", obtenemos los
R = {(x ; y) ∈Z x Z / x ≤ y} pares de valores que figuran en la siguiente
La relación R es transitiva. tabla:
¿Verdadero o Falso?
Resolución: x 0 1 2 3 4 5 6 -1
Para que la relación "R" sea transitiva, debe y 0 8 6 0 -4 0 1 8 -2 4
cumplir lo siguiente:
(x ;y ) ∈ R ∧ (y ;z ) ∈ R → (x ;z ) ∈ R cada par de valores corresponde a un punto en
el plano. Al ubicarlos en el plano, se unen
veamos: mediante segmentos y tenemos la gráfica de la
considerando los pares ordenados: relación.
(x,y) ∈ R ∧ (y;z) ∈ R → (x;z) ∈ R
De la figura:
luego, estos elementos deben satisfacer la
condición dada:
20
x≤y∧y≤z→x≤z
→ (x;z) ∈ R 10
lo que queríamos comprobar: 0 3 5
∴ R es transitiva. -2 -2 1 2 4 6
4. Se define una relación en R mediante: -1 0
3 2
(x;y) ∈ R ↔ y = x - 8x + 15x -2 0
problemaS para la claSe
Bloque I a) 1 b) 2 c) 3
1. A partir del conjunto A = {3;4;5} d) 4 e) 5
Se definen las relaciones en A:
R = {(3;3),(4;3), (4;5), (5;5)} 4. Para el conjunto: A = {1;3;5}
1
Se define la relación reflexiva.
R = {(3;3),(3;5), (4;4), (5;4)}
2 R = {(1;a-2), (3;3), (5;b+3), (1;3), (3; a - b)}
R = {(3;3),(4;4), (5;3), (5;5)} Indicar verdadero (V) o falso (F).
3
Indicar cuáles son reflexivas. I. R es simétrica.
a) Sólo R b) R y R b) Sólo R II. R es transitiva.
1 1 2 3 III. R es de equivalencia.
d) Sólo R e) R y R a) VVF b) VFF c) FVV
2 2 3
d) FFF e) VVV
2. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}
Se definen las relaciones siguientes: 5. Se define una relación simétrica S, de tal
R = {(1;1), (2;1), (1;2), (3;3)} forma que:
S = {(1;4), (4;1), (3;4), (4;3)} (4; 2) ∈ S → (2; 2a + b) ∈ S
T = {(2;4), (4;2), (3;2), (3;3)} (5; 1) ∈ S → (1; a + 2) ∈ S
¿Cuáles son simétricas? Hallar el valor de "b".
a) R b) S c) Todas a) 2 b) -3 c) -6
d) R y S e) R y T d) 3 e) -2
3. Se tiene la relación simétrica: 6. Sea T una relación transitiva tal que:
R = {(5; 7), (7; 2a + b), (1; 8), (3b - 1; 1)} (2; 9) ∈ T ∧ (9; m + 2) ∈ T → (2; 11) ∈ T
Definida sobre un conjunto "A". (5; 7) ∈ T ∧ (7; 9) ∈ T → (5; n+2) ∈ T
Calcular (a + b).
22. I. R es reflexiva.
Calcular: m+n II. R es simétrica.
a) 9 b) 7 c) 16 III. R es transitiva.
d) 2 e) 4 a) Sólo I b) I y II c) Sólo III
d) II y III e) Todas
7. La relación R = {(2;a+b), (4;5), (5b;9)}
Tiene por gráfica: 2
B 2. Si el par ordenado (a - 16; a+ 2) pertenece al
segundo cuadrante de un plano cartesiano,
9 calcular la suma de los valores enteros de "a"
que verifican esta condición.
6+b a) 3 b) 2 c) -1
d) 4 e) 5
5
3. Dada la siguiente gráfica.
y
0 A
2 4 a+ 4
Hallar "a . b". 3
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20 2
1
8. Dada la gráfica de una relación reflexiva en: -3 -2 -1
A = {1, 3, 4, 7} A 0 1 2 3 x
Calcular "m + n + p" (3 p -2 )
-1
a) 4 b) 5 4 -2
c) 6 d) 7
e) 8
(2 n -1 ) -3
m Indicar a qué relación corresponde:
0 A a) y = 2x b) y = 2x -1 c) y = 2x +1
9. Dada la gráfica de una relación R en 1A. 3 4 7
A d) y = x + 1 e) y = x - 1
5
4. Las siguientes relaciones:
3 R = {(a;b), (b;c), (a;c), (c;c)}
S = {(a;a), (b;b), (a;c), (a;b)}
T = {(a;a), (b;a), (c;c)}
1
Se definen a partir de A = {a; b; c}
A Indicar lo correcto.
0 1 3 5 a) R es transitiva
con A = {1;3;5}. Luego: b) S es transitiva
a) R es reflexiva b) R es simétrica c) T es transitiva
c) R es transitiva d) R es equivalencia d) Ninguna es transitiva
e) Todas e) R y S son transitivas
10.Con el conjunto: A = {1;3;4} 5. Con el conjunto A = {1; 2; 3}
Se define la relación: Se define la relación:
S = {(x;y) ∈ A x A / (x + y) es par} R = {(1;1), (2;2), (3;3), (1;2), (2;1)}
Indique lo correcto. Señale lo correcto.
a) S es reflexiva b) S es simétrica a) R no es reflexiva
c) S es transitiva d) S es equivalencia b) R no es simétrica
e) Todas c) R no es transitiva
d) R es de equivalencia
Bloque II e) Todas son correctas
1. En el conjunto A = {2; 3; 5; 6} 6. Graficar la relación en R:
Se considera la relación: 2
S = {(x;y) ∈ R / 2x - y + 1 = 0}
2
R = {(x;y) ∈ A / x = y ∨ x + y = 8 }
Podemos afirmar que: