Artículo que rescata la construcción de los conceptos de límite superior y límite inferior de una sucesión de números reales, la forma de calcularlos, las definiciones formales y sus propiedades.

1. Universidad Nacional de la Patagonia 1
L´
ımite superior y L´
ımite inferior
de una sucesi´n
o
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
L´
ımite superior y L´
ımite inferior de una sucesi´n by Ana Mar´ Teresa Lucca is licensed
o ıa
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1. L´
ımite de una sucesi´n
o
Definici´n: Diremos que un n´mero real l es el l´
o u ımite de una sucesi´n
o
xn , y lo denotaremos por
l´ xn
ım
n→∞
si:
∀ > 0, ∃ N ∈ N : |xn − l| < , ∀n ≥ N .
La definici´n nos dice que a partir del N -´simo todos los t´rminos de la
o e e
sucesi´n est´n en una vecindad de l de radio .
o a
Geom´tricamente:
e

2. 2 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Extenderemos esta definici´n de l´
o ımite de una sucesi´n incluyendo el valor
o
∞ como sigue:
Definici´n: l´ xn = ∞ si se verifica que:
o ım
n→∞
∀∆ > 0, ∃ N ∈ N : xn > ∆, ∀n ≥ N .
Definici´n: Una sucesi´n que tiene l´
o o ımite se dice convergente; en otro
caso se dice divergente.
Esta definici´n resulta un tanto ambigua, pues depende de si se considera
o
al l´
ımite como un n´mero real extendido. Para evitar confusiones usualmente
u
se hacen expl´ıcitas frases tales como converge a un n´mero real o converge
u
en el conjunto de los n´meros reales extendidos, donde este conjunto es el
u
que resulta de agregarle ∞ y −∞ al conjunto R de los n´meros reales de
u
modo que:
−∞ < x < ∞, ∀x ∈ R.
Definici´n: Un n´mero real l es un punto de adherencia de la suce-
o u
si´n xn si es el l´
o ımite de alguna subsucesi´n de xn .
o
2. Construcci´n del l´
o ımite superior y del l´
ımite
inferior
Consideremos una sucesi´n acotada xn de n´meros reales, digamos
o u
a ≤ xn ≤ b, ∀n ∈ N, con a, b ∈ R.
Sean los conjuntos:
Xn = {xn , xn+1 , . . .}, n ∈ N.
Resulta entonces:
[a, b] ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ . . . ⊃ Xn ⊃ . . .
Luego, cada Xn est´ acotado superior e inferiormente y es no vac´ por lo
a ıo,
cual posee supremo e ´
ınfimo. Sean:
an = ´ Xn = ´ {xn , xn+1 , . . .} = ´ xk ,
ınf ınf ınf
k≥n
bn = sup Xn = sup {xn , xn+1 , . . .} = sup xk ,
k≥n

3. Universidad Nacional de la Patagonia 3
Resulta entonces:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Como las sucesiones formadas por los an y los bn est´n acotadas (superior
a
e inferiormente) y son creciente y decreciente respectivamente, tiene sentido
hablar del l´
ımite de ambas. As´ ı,
l´ an = sup an = sup ´ xk = lim xn
ım ınf
n→∞ n n k≥n
l´ bn = ´ bn = ´ sup xk = lim xn
ım ınf ınf
n→∞ n n k≥n
Por tanto, para la sucesi´n acotada de n´meros reales xn hemos cons-
o u
truido las definiciones de
L´
ımite inferior: lim xn = sup ´ xk
ınf
n k≥n
ımite superior: lim xn = ´ sup xk
L´ ınf
n k≥n
Observaci´n: El l´
o ımite superior y el l´
ımite inferior de una sucesi´n son
o
el mayor y menor punto de adherencia respectivamente. (La demostraci´n o
de este resultado se deja como ejercicio).
3. Ejemplos
Ejemplo 1: Consideremos la sucesi´n xn donde xn = (−1)n , ∀n ∈ N.
o
Es claro que esta sucesi´n no es convergente, pero posee dos subsucesiones
o
convergentes, a saber: yn con yn = 1, ∀n ∈ N, y zn con zn = −1, ∀n ∈ N.
Tanto 1 como −1 son puntos de adherencia de la sucesi´n xn , siendo
o
lim xn = 1
lim xn = −1
1
Ejemplo 2: Consideremos la sucesi´n xn con xn = (−1)n + n , ∀n ∈ N.
o

4. 4 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
De la Figura se desprende claramente la existencia de dos sucesiones con-
vergentes: 2n+1 que converge a 1 y 2n−1 que converge a −1. Luego,
2n
2n−2
lim xn = 1
lim xn = −1
1 ∞
Ejemplo 3: Consideremos la sucesi´n 1 +
o n + cos nπ
2 n=1
.
En este caso estamos ante la presencia de tres subsucesiones convergentes,
como muestra la Figura arriba. Una de las subsucesiones converge a 2, la

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otra a 0 y otra a 1. Luego,
lim xn = 2
lim xn = 0
4. Definici´n formal y propiedades
o
Definici´n: Dada la sucesi´n xn diremos que l = lim xn si y s´lo si
o o o
se verifican las siguientes condiciones:
i. Dado > 0, ∃ N ∈ N : xk < l + , ∀ k ≥ N ;
ii. Dados > 0 y N, ∃ k ≥ N : xk > l − .
Geom´tricamente, dado > 0, existe a lo sumo un n´mero finito de
e u
elementos de xn mayores que l + , y un n´mero infinito de elementos
u
mayores que l − .
Se deja al lector el enunciado de una definici´n an´loga para l´
o a ımite infe-
rior de una sucesi´n y su interpretaci´n geom´trica.
o o e
Definici´n: Diremos que lim xn = ∞ si y s´lo si:
o o
Dados ∆ y N , ∃ k ≥ N : xk > ∆.
Definici´n: El n´mero real extendido −∞ es el l´
o u ımite superior de una
sucesi´n si y s´lo si
o o
−∞ = l´ xn .
ım
n→∞
Propiedades 1 Se verifican las siguientes:
1. lim − xn = −lim xn
2. lim xn ≤ lim xn
3. La sucesi´n xn converge a un n´mero real l si y s´lo si
o u o
lim xn = lim xn = l

6. 6 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
4. Si xn y yn son dos sucesiones tenemos:
lim xn + lim yn ≤ lim(xn + yn )
≤ lim xn + lim yn
≤ lim(xn + yn )
≤ lim xn + lim yn .
Bibliograf´
ıa:
Royden, H. L. (1968) Real Analysis, Second Edition, The Macmillan
Company, New York.
Takeuchi, Yu (1983) Sucesiones y series, Tomo I, Editorial Limusa,
M´xico
e
Lima, E. L. (1976) Curso de an´lise. Vol 1, Projeto Euclides, IMPA,
a
Rio de Janeiro.