series infinitas

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”
Escuela de arquitectura extensión san Cristóbal
Series infinitas
Autora: Katherine Sánchez
C.I 20.716.353
Prof. Lcdo. Domingo Méndez
Sección S1
San Cristóbal Septiembre 2017

2. Serie Infinita
Una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos de
una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:
𝑠 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 + 𝛼4 + 𝛼5 + 𝛼6 + ⋯
Lo que suele escribirse en forma más compacta con el símbolo
de sumatorio:
S=∑ 𝑎𝑖𝑛
𝑖=1
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de
términos sucesivos, y mediante un paso al límite identificar el comportamiento de la serie a
medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en
cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una
determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción
suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series
infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente
comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la
naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar
explícitamente los cálculos.
1. Serie de una suma infinita: considere que ∑ ∪ 𝑛+∞
𝑛=1 denota una serie infinita dada,
para la cual 𝑆 𝑛 es la sucesión de sumas parciales. Si lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 existe y es igual a S, la
serie es convergente y S es la suma. De lo contrario, la serie diverge y no tiene suma.
2. Serie armónica: es una serie infinita que se expresa de la siguiente forma:
∑
𝟏
𝒌
∞
𝒌=𝟏 =1+
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟔
+
𝟏
𝟕
…

3. 3. Teorema: es toda proposición que partiendo supuesto (hipótesis), afirma una verdad
(tesis) no evidente por sí misma.
La serie geométrica converge a la suma 𝑠 𝑛 =
𝛼
1−𝑟
si ІrІ˂1, y diverge si ІrІ˂1 o ІrІ= 1
4. serie geométrica: La serie geométrica es una serie infinita en la que cada término se
obtiene multiplicando al término anterior por una constante. Donde α es un número y 𝑟 es
la constante o razón de la serie.
∑ 𝑎. 1 𝑛−1+∞
𝑛=1 ꞊𝛼 + 𝛼.𝑟 + 𝛼. 𝑟2
+ 𝛼. 𝑟3
+ ⋯ + 𝛼. 𝑟 𝑛−1
+ ⋯
Ejemplo

4. 5. series telescópica: para este tipo de serie también es posible 𝑠 𝑛, se lo hace
empleando fracciones parciales
Ejemplo
Sea la serie ∑
1
( 𝑛+1)( 𝑛+2)
∞
𝑛=1 obtener 𝑠 𝑛
Solución
Empleando fracciones parciales, tenemos:
1
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)
=
𝐴
𝑛 + 1
+
𝐵
𝑛 + 2
1 = 𝐴(𝑛 + 2) + 𝐵(𝑛 + 1)
Si 𝑛 = −1 entonces:
1= 𝐴(−1 + 2) + 𝐵(−1 + 1)
1= 𝐴
Si 𝑛 = −2 entonces:
1= 𝐴(−2 + 2) + 𝐵(−2 + 1)
1= −𝐵
B= −1
Por tanto:
∑
𝟏
(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)
∞
𝒏+𝟏
= ∑(
𝟏
𝒏 + 𝟏
−
𝟏
𝒏 + 𝟐
∞
𝒏+𝟏
)
Obteniendo algunos términos de su desarrollo
∑(
𝟏
𝒏 + 𝟏
∞
𝒏=𝟏
−
𝟏
𝒏 + 𝟐
) = (
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟑
) + (
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟒
)+ (
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟓
+ ⋯+ (
𝟏
𝒏 + 𝟏
−
𝟏
𝒏 + 𝟐
)
Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer
y el último término.
Entonces 𝑠 𝑛=1−
1
𝑛+2
, por tanto lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛= lim
𝑛→∞
(1−
1
𝑛+2
)=1

5. Referencia
V.M. (2013). Series numéricas infinitas. Recuperado de:
https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/6/7419.pdf
J.A. (2014). Serie infinita. Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=SalCDT5acfc