Este documento explica el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce el método, muestra un ejemplo completo del proceso de escalonamiento de una matriz aumentada, y explica las operaciones fundamentales como intercambiar, sumar y multiplicar renglones para obtener la forma escalonada equivalente. El objetivo final es hallar las soluciones de las incógnitas mediante sustitución hacia atrás.

1. A* x  b
Mtro. Javier Solis Noyola

2. Objetivos
 Conocer y comprender El Método de Solución de
Eliminación Gaussiana para solucionar sistemas de
Ecuaciones Lineales.
 Aplicar la el Método de Solución de Eliminación
Gaussiana para la solución de ejercicios de sistemas
de ecuaciones lineales.

3. Carl Friedrich Gauss
(1777- 1855)
Gauss nació en Brunswick, Alemania
El más grande matemático del siglo XIX, Johann
Carl Friedrich Gauss se considera uno de los tres
matemáticos más importante de todos los tiempos,
siendo Arquímedes y Newton los otros dos.
Las aportaciones de Gauss en todos los campos
de la Matemática son inestimables: Teoría de
números, Astronomía, Magnetismo, Geometría,
Análisis... Cualquier gran descubrimiento
matemático a lo largo de este siglo encuentra
detrás la alargada sombra de Gauss.
Junto con el físico alemán Eduard Weber,
investigó sobre el magnetismo y la electricidad;
una unidad de inducción magnética recibe su
nombre.

4. ¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias
incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las
ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen
muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de
reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto
que son muy fáciles de asimilar.
donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos
independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

5. •Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus
soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las
ecuaciones.
•Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales
podemos clasificarlos en tres tipos:
•Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.
•Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,
podemos hablar de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..
a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones
Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

6. Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en
un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin
solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.
Solución
Única
(x,y,z)

7. ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES DE nxn
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A*X = B. Consiste en escalonar la
matriz aumentada original (inicial) de un sistema de ecuaciones lineales de nxn. Ésta otra matriz
(escalonada) es equivalente, de la cual se puede obtener el sistema de ecuaciones lineales escalonado,
donde la última xi tiene un valor definido, el cual podrá ser sustituido hacia atrás para obtener las demás
soluciones.
0
0 0
Sistema de Ecuaciones Original Matriz Aumentada Original
Matriz Escalonada
(equivalente)
Donde la notación a‘ sistema escalonado equivalente: ij se usa simplemente para
denotar que el elemento aij cambió. Se despejan
las incógnitas comenzando con la última ecuación
y hacia
arriba. Por esta razón, muchas veces se dice
que el método de eliminación Gaussiana
consiste en la eliminación hacia adelante y
sustitución hacia atrás.

8. ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES DE nxn
El objetivo del escalonamiento es la obtención de equivalencia, y de ésta manera facilitar la
obtención de las soluciones de las incógnitas xi
~
sistema escalonado equivalente:
0
0 0
Sistema de Ecuaciones Original
Matriz Aumentada Original Matriz Escalonada
(equivalente)

9. ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES DE nxn
Ejemplo de un sistema escalonado:
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 -8 -4 - 7
~ ~ ~
De este modo, el sistema tiene
la solución única:
x = 35/28 ; y = -19/28, z = 87/28
x + 2y + z = 3
y -3z = -10
z = 87/28
*
Matriz
Aumentada
Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:
Matriz Escalonada
Sistema Escalonado
Aplicando el proceso de
sustitución hacia atrás
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 0 1 87/28
*

10. Operaciones Fundamentales para escalonar una matriz
aumentada y obtener su equivalencia
sistema escalonado
equivalente:
Sistema de
Ecuaciones Original
~
…
0
0 0
•Multiplicar un Renglón o fila por un escalar K . Rin = KRi ;
donde: Rin = Renglón i nuevo (equivalente); K es el escalar; Ri = Renglón i (anterior)
• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;
Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2
• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;
Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2

11. ELIMINACIÓN GAUSSINA PARA UN EJEMPLO CONCRETO
Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:
• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;
Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2
R R1 ↔ R2 1
R2
R3
R1
R2
R3
Matriz Aumentada
Original
Matriz Aumentada
Equivalente

12. Proceso de escalonado de Matriz aumentada (continuación):
• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;
Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2
R1
R2
R3
• Sumar Renglones R1 y R2 R2n = -2R1 + R2
-2R1 = -2 (1 2 1 │ 3 ) = -2 -4 -2 │ -6
R2 = 2 5 -1 │-4 = 2 5 -1 │ -4
R2n = 0 1 -3 │ -10
• Sumar Renglones R1 y R3 R3n = -3R1 + R3
-3R1 = -3 (1 2 1 │ 3 ) = -3 -6 -3 │ -9
R3 = 3 -2 -1 │2 ) = 3 -2 -1 │ 2
R3n = 0 -8 -4 │ -7
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 -8 -4 - 7
R1
R2
R3

13. Proceso de escalonado de Matriz aumentada (continuación):
• Sumar Renglones R2 y R3 R3n = 8R2 + R3
8R2 = 8 ( 0 1 -3 │-10 ) = 0 8 -24 │ -80
R3 = 0 -8 -4 │ -7 = 0 -8 -4 │ -7
R3n = 0 0 -28 │ -87
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 -8 -4 - 7
R1
R2
R3
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 0 -28 -87
R1
R2
R3
•Multiplicar un R3 por un escalar K . R3n = (-1/28) R3
R3n = (-1/28) ( 0 0 -28 │ -87 )
R3n = 0 0 -28/-28 │ -87/-28
R3n = 0 0 1 │ 87/28
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 0 1 87/28
R1
R2
R3
X + 2 Y + Z = 3
Y - 3Z = -10
Z = 87/28
Solución única
X = 35/28
Y = -19/28
Z = 87/28

14. REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):
•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA
SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.
•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN,
ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.
•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.
•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.
•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.
•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc
Graw Hill