Actividad 3

1. 1
15
a) lim
𝑥→−1
√2+𝑥−√ 𝑥
𝑥
b) lim
𝑥→−1
𝑥2
+1
𝑥−1
c) lim
𝑥→0
(𝑥4
+𝑥3
−𝑥2
)
𝑥2
 Calcule los límites planteados escribiendo en forma explícita y clara todos los
pasos.
 Analice la continuidad de la función del punto c) en x =0.
 Analice la continuidad de la función del punto c) en x=1.
 Grafique las funciones.
RESPUESTAS.
 a)
lim
𝑥→−1
√2 + 𝑥 − √ 𝑥
𝑥
Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:
−1 ≠ 0
Habiendo controlado la condición de que el denominador no se anula, procedemos a
hacer sustitución directa en toda la función.
lim
𝑥→−1
√2 + 𝑥 − √ 𝑥
𝑥
=
√2 − 1 − √−1
−1
=
√1− √−1
−1
= −1 + 𝑖
Entonces concluimos que:
lim
𝑥→−1
√2 + 𝑥 − √ 𝑥
𝑥
= −1 + 𝑖
b)
lim
𝑥→−1
𝑥2
+1
𝑥−1
Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:
−1 − 1 ≠ 0
Habiendo controlado la condición de que el denominador no se anula, procedemos a
hacer sustitución directa en toda la función.
lim
𝑥→−1
𝑥2
+1
𝑥−1
=
−12
+1
−1−1
=
2
−2
= −1

2. 2
Entonces concluimos que:
lim
𝑥→−1
𝑥2
+ 1
𝑥 − 1
= −1
c)
lim
𝑥→0
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2
Lo primero que hacemos es sustitución directa en el denominador:
02
= 0
Entonces si realizamos la sustitución en la función obtendríamos:
lim
𝑥→0
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2
=
(04
+ 03
− 02
)
0
=
0
0
Obtenemos una indeterminación el cuál no puede ser el resultado de este límite.
lim
𝑥→0
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2
Factorizar:
𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
𝑥2
=
𝑥2
(𝑥2
+ 𝑥 − 1)
𝑥2
= (𝑥2
+ 𝑥 − 1)
Sustituimos la variable:
= 02
+ 0 − 1
Simplificamos:
= −1
Entonces concluimos que:
lim
𝑥→0
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2
= −1

3. 3
 Analizamos la continuidad de la función del punto c) en x=0:
𝑓( 𝑥) =
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2
Como 0  Df resulta de inmediato que 𝑓 no es continua en 𝑥 = 0
A partir de la teoría sabemos que:
𝑓 es continua en a si y sólo si lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑎).
Entonces para todo a  Df resulta que:
𝑓( 𝑎) =
(𝑎4
+ 𝑎3
− 𝑎2
)
𝑎2
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→𝑎
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2
=
(𝑎4
+ 𝑎3
− 𝑎2
)
𝑎2
Por lo que concluimos que: 𝑓 es continua para todo punto de su dominio
También se puede decir que: 𝑓 es continua en ℜ − {0}
 Analizamos la continuidad de la función del punto c) en x=1:
𝑓( 𝑥) =
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2
Por lo analizado anteriormente, sabemos que:
𝑓 es continua para todo punto de su dominio
Como el valor 1 pertenece al Dominio de la función, concluimos que:
𝑓 es continua en 1

4. 4
 Grafique las funciones.
a) 𝑓( 𝑥) =
√2+𝑥−√𝑥
𝑥
b) 𝑓( 𝑥) =
𝑥2+1
𝑥−1

5. 5
𝑐) 𝑓( 𝑥) =
(𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
)
𝑥2

6. 6
18.
Sea ℎ( 𝑥) = {
−𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < −3
3𝑥2 − 9𝑥 − 30 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥
a) Calcule el lim
𝑥→−3
ℎ(𝑥)
b) Analice la continuidad en 𝑥 = −3.
c) Analice la continuidad en [−4,0)
d) Calcule los límites al infinito.
e) Grafique la función definida a trozos.
RESPUESTAS.
a) El límite en este caso tiende a -3 por lo tanto usaremos la segunda función ya es la que
debemos utilizar en caso de que x sea mayor o igual a -3
lim
𝑥→−3
ℎ( 𝑥) = 3𝑥2
− 9𝑥 − 30
= 3(−3)2 − 9(−3) − 30
= 27 + 27 − 30
= 24
b) Para que la función sea continua deben cumplirse las siguientes condiciones:
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) → lim
𝑥→𝑎−
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓( 𝑥)
 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑎 → 𝑓(𝑎)
 lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑎)
ℎ( 𝑥) = {
−𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < −3
3𝑥2 − 9𝑥 − 30 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥
Analizamos la continuidad en 𝑥 = −3

7. 7
 Nos acercamos allímite por la izquierda:
lim
𝑥→−3−
−𝑥 + 2 = −(−3) + 2 = 5
Ahora nos acercamos allímite por la derecha:
lim
𝑥→−3+
3𝑥2 − 9𝑥 − 30 =3(−3)2 − 9(−3) − 30 = 24
Observamos que los límites laterales no son iguales, por lo tanto no se cumple
con la primera condición dado que:
lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) → lim
𝑥→−3−
𝑓( 𝑥) ≠ lim
𝑥→−3+
𝑓( 𝑥)
A partir de ello concluimos:
𝑓 No es continua en 𝑥 = −3
c) Analice la continuidad en [−4,0)
Una función es continua en un intervalo [a,b), si es continua en todos los puntos del
intervalo abierto (a,b) y, además,es continua a la derecha en a.
Para ℎ(−3) = 24 debido a como lo hemos analizado en el punto anterior.
Pero recordemos que:
lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) → lim
𝑥→−3−
𝑓( 𝑥) ≠ lim
𝑥→−3+
𝑓( 𝑥)
Por lo tanto ℎ es discontinua en el intervalo [−4,0)
d) Calcule los límites al infinito.
Para ℎ( 𝑥) = {
−𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < −3
3𝑥2 − 9𝑥 − 30 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥

8. 8
Al calcular lim
𝑥→−∞
ℎ(𝑥) utilizamos la función −𝑥 + 2
Aplicamos la siguiente propiedad algebraica: 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 1 +
𝑏
𝑎
lim
𝑥→−∞
ℎ( 𝑥) − 𝑥 + 2 = 𝑥(−1 +
2
𝑥
)
= lim
𝑥→−∞
ℎ(𝑥) ( 𝑥(−1 +
2
𝑥
))
Aplicamos la propiedad para límites en el infinito:
= (−1 + 0)(−∞)
Simplificamos:
= ∞
Concluimos que:
lim
𝑥→−∞
ℎ(𝑥) − 𝑥 + 2 = ∞
Si calculamos lim
𝑥→∞
ℎ( 𝑥) utilizamos la función 3𝑥2 − 9𝑥 − 30
Aplicamos la siguiente propiedad algebraica: 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 1 +
𝑏
𝑎
lim
𝑥→∞
ℎ( 𝑥) 3𝑥2 − 9𝑥 − 30 = 𝑥2 (3 −
9
𝑥
−
30
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
( 𝑥2 (3 −
9
𝑥
−
30
𝑥2
))
Aplicar el teorema del límite algebraico:
lim
𝑥→∞
( 𝑥2)(3 − lim
𝑥→∞
(
9
𝑥
) − lim
𝑥→∞
(
30
𝑥2
))
lim
𝑥→∞
( 𝑥2) = ∞
lim
𝑥→∞
(
9
𝑥
) = 0
lim
𝑥→∞
(
30
𝑥2
) = 0
= ∞(3 − 0 − 0)
Aplicar las propiedades para límites en el infinito:
= (3 − 0 − 0)∞
Simplificar:
= ∞

9. 9
Entonces concluimos que:
lim
𝑥→∞
ℎ( 𝑥) 3𝑥2 − 9𝑥 − 30 = ∞
e) Gráfico de la función definida a trozos de
ℎ( 𝑥) = {
−𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < −3
3𝑥2 − 9𝑥 − 30 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥