Relaciones y funciones

1. MATEMÁTICA Y FÍSICA
ODONTILOGÍA
RELACIONES Y FUNCIONES
Melecio Paragua Morales
paraguamorales@gmail.com
meleparaguita@hotmail.com

2. RELACIONES: CORRESPONDENCIA
•Correspondencia es equivalente a Relación.
•En nuestra vida diaria se tiene experiencias con correspondencias o
RELACIONES.
•En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su
precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.
•A cada nombre en el directorio telefónico le corresponde uno o varios
números.
•A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones.
•Relación entre precio y cantidad consumida o producida de un bien.
•Relación entre la utilidad de la empresa y la cantidad producida.

3. Relación: Dominio y Rango
•Es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con
un segundo conjunto llamado Rango, de manera que a cada
elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del
Recorrido o Rango.

4. Gráfica de relaciones

5. Gráfica de relaciones

6. PAR ORDENDO Y EJERCICIOS
• Su nomenclatura es: (a, b). “a” se le denomina primera componente, y a “b” se le
denomina segunda componente.
• (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎)
• Dos pares ordenados son iguales, únicamente si sus componentes son iguales:
• 𝑎, 𝑏 = 𝑐, 𝑑 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑
• (x+5; 7) = (9; y-1) (3x; 1) = (12; 4+y) (5x -1; -8) = (9; 2y-2)
• (3 - x; 8) = (-7; 2+ y) (-3; 2y) = (x - 3; -12) (-13; 2 – 3y) = (1-2x; 7)
• (6-y; 4) = (-1; 3-x) (2x-1; 3) = (3; 4y+1) (1-4y; -1) = (9; 9-5x)
•
𝑥+3
2
;
1
3
= 4;
𝑦−1
2
2;
𝑦−3
2
=
𝑥+5
3
; −8
4−𝑥
2
;
−7
2
= 5;
5−𝑦
4
•
32
𝑥
;
−21
𝑦
= 8; −7
12
𝑥−1
; −2 = 6;
18
𝑦+3
−9;
54
3−𝑦
=
−27
𝑥−1
; 18

7. PRODUCTO CARTESIANO
• El producto cartesiano de A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,
b), tales que 𝑎 ∈ 𝐴 𝑦 𝑏 ∈ 𝐵 simbólicamente se representa de la siguiente
manera:
• 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝑎, 𝑏 ̸ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑦 𝑏 ∈ 𝐵
• Ejemplo: Halla AxB si: A = {3; 5; 7} y B = {2; 4; 6}
• Solución: A x B = {(3; 2), (3; 4), (3; 6), (5; 2), (5; 4), (5; 6), (7; 2), (7; 4), (7; 6)}
• Ejemplo: Halla ExF si: E = {x ε Z ̸ -3 < x ≤ 1} y F = {x ε N ̸ 2 ≤ x < 4}
• Solución: Se identifica los elementos de: E = {-2; -1; 0; 1} y F = {2; 3}
• Luego: E x F = {(-2; 2), (-2; 3), (-1; 2), (-1; 3), (0; 2), (0; 3), (1; 2), (1; 3)}

8. PRODUCTO CARTESIANO: EJERCICIOS
• Dados los siguientes conjuntos, halla los productos cartesianos que se indican:
• E = {-3; 4} y F = {5; 7; 9} E x F y F x E
• G = {4; -5; 8} y H = {-7; -1; 0} G x H y H x G
• A = {2 ≤ x < 5; x ε N} y B = {-3 < x ≤ 2; x ε Z } A x B
• C = {-4 < x ≤ 2; x ε Z} y D = {4 ≤ x < 9; x ε N } C x D
• E = {-4 ≤ x < 1; x ε Z} y F = {-2 < x ≤ 4; x ε Z } E x F
• G = {3x-2 ̸ -3 ≤ x ≤ 1; x ε Z} y H = {4x+1 ̸ -3 < x < 1; x ε Z } G x H
• K = {x2-2 ̸ -4 < x ≤ 0; x ε Z} y L = {x/(x+4) ̸ -2 < x < 3; x ε Z } K x L
• M = {(x+2)/3 ̸ -5 < x < 0; x ε Z} y P = {2x-3 ̸ -2 x ≤ 4; x ε Z } M x P
• A = {x2+4 ̸ -2 ≤ x < 2; x ε Z} A2
• E = {x2-5 ̸ -3 < x ≤ 0; x ε Z} E2
• D = {-2x-8 ̸ -7 ≤ x < -4; x ε Z} D2

9. RELACIONES BINARIAS
• Se tiene A = {Carlos, Sergio; Ernesto, María} y B = {fútbol, vóley, básquet,
atletismo, natación}, si se relaciona ambos conjuntos, cada flecha que
relaciona dirá: “…. Practica …..”
• Del conjunto A = {c, s, e, m} salen flechas hacia el conjunto B = {f, v, b, a, n}.
• Es la razón para que A sea el conjunto de partida, y B sea el conjunto de
llegada.
• La relación R se puede representar como un conjunto de pares ordenados:
• R = {(c, b), (s, f), (s, a), (m, v), (m, a)}
• La relación R es un subconjunto del producto cartesiano A x B.
• Toda relación binaria denota una conexión, un enlace, una correspondencia
entre los elementos de dos conjuntos iguales o diferentes.

10. DOMINIO Y RANGO
•El Dominio de una relación es el conjunto cuyos únicos elementos
son todas las primeras componentes de los pares ordenados de la
relación.
•El Rango de una relación es el conjunto cuyos únicos elementos
son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la
relación.
•Toda relación binaria consta de tres componentes: a) Un conjunto
de partida. b) Un conjunto de llegada. c) Una regla de
correspondencia.

11. Ejemplo
Dado los conjuntos A = {3; 7; 9} y B = {2; 6; 8}, se define la relación 𝑅1: 𝐴 →
𝐵 ̸ " … 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 … . . ". Haga un estudio completo de la relación
• Solución
• El conjunto de partida de R1 es A = {3; 7; 9}.
• El conjunto de llegada de R1 es B = {2; 6; 8}.
• La regla de correspondencia es: “…… es menor que ……”
• Dominio = {3; 7}.
• Rango = {6; 8}.
• R1 = {(3; 6), (3; 8), (7; 8)}
• Simbolización de: 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 𝑥 𝐵 ̸ 𝑥 < 𝑦}

12. Ejemplo
Representa la relación siguiente como un conjunto de pares ordenados: 𝐾 =
{2𝑥 ̸ 5 ≤ 𝑥 < 10; 𝑥 ∈ 𝑍} y 𝑆 = {2𝑥 − 1 ̸ 1 < 𝑥 ≤ 5; 𝑥 ∈ 𝑁}, 𝑅2 =
{ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾𝑥𝑆 ̸ 𝑦 =
𝑥
2
}. Halla el Dominio y el Rango
• Solución
• Conjunto de partida K = {10; 12; 14; 16; 18}
• Conjunto de llegada S = {3; 5; 7; 9}
• La regla de correspondencia es: R2 = { 𝑦 =
𝑥
2
}
• Luego R2 = {(10; 5), (14; 7), (18; 9)}
• Dominio de R2 = {10; 14; 18}
• Rango de R2 = {5; 7; 9}

13. Halla el dominio y rango en las siguientes relaciones,
definidas en RxR:
•2𝑥 − 3𝑦 = 7
• 𝑦 =
3𝑥−2
𝑥+2
• 𝑦 = 𝑥
• 𝑦 − 5 = −3𝑥 + 1
• 𝑥2
− 1 = 𝑦
• 𝑦 =
2𝑥−1
𝑥+2

14. Un caso particular
Por ejemplo, dada la relación: R = {(1,5); (2,4); (3,7)}
Se estable un conjunto de partida y un conjunto de llegada en el que, a cada
elemento del dominio le corresponde exactamente un valor del rango.
Conjunto
de Partida
Conjunto
de Llegada
1
2
3
4
5
7

15. Función
•Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada
número de entrada un único número de salida.
Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la regla
se llama el dominio de la función. Al conjunto de números de salida
se llama rango.
•Una variable que representa a los números de entradas para una
función se denomina variable independiente. Una variable que
representa a los números de salida se denomina variable
dependiente, ya que su valor depende del valor de la variable
independiente. Decimos que la variable dependiente es función de
la variable independiente.

16. Notación funcional
•Si decidimos llamar f a una función y, x es una de las entradas
en el dominio de f, entonces f(x), que se lee “f de x”,
representará el número de salida en el rango de f que
corresponde a la entrada x.
•Así:
•Nombre de la función: 𝑓(𝑥) que es una entrada y la salida también
es una función.
•Determina el dominio de:
• 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 15
•ℎ 𝑥 =
4
3𝑥−18

17. Altas en un Hospital
•Una compañía de seguros examinó el registro de un grupo de
individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se
encontró que la proporción total de quienes habían sido dados de
alta al final de t días de hospitalización está dada por:
• 𝑓 𝑡 = 1 −
300
300+𝑡
3
•Halla e interpreta 𝑓(0)
•Halla e interpreta 𝑓(100)
•¿Cuántos días después se habrá dado de alta al 99% del grupo?

18. Ejemplo de funciones
• Halla el dominio y rango de la función 𝑓 𝑥 = 2 + 𝑥 − 𝑥2
• Solución
• Se calcula el dominio:
• 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 = 𝑓 𝑥 → 𝑦 = 2 + 𝑥 − 𝑥2 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 y 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑠𝑖, 2 + 𝑥 − 𝑥2
≥ 0
• 𝑥2
− 𝑥 − 2 ≤ 0 → 𝑥 − 2 𝑥 + 1 ≤ 0 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐷𝑓 = [−1; 2]

19. Dominio y rango de funciones
• Halla el rango de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 7.
• El gráfico muestra: Dominio = R y Rango = [3; +∞)