Funciones reales

Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Escuela: Ing. Eléctrica
Cátedra: Matemática
Profesor:
Pedro Beltrán
Bachiller:
Jorge Carico
C.I: 26.237.150
Barcelona, junio del 2016

Relaciones y funciones :Entender los conceptos de Relación y de Función es de
suma importancia en Matemática.
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción
de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y
funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra
lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada
artículo le corresponde un precio.
En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada
nombre de la guía le corresponde un número.

Definición matemática de Relación y de Función: En matemática, Relación es la
correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto,
llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde
uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada
valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones,
pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es
una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas
ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo,
una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.

Representación gráfica de las relaciones
Los pares por ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas
sagitales o medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla
R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Clasificación de funciones:
•Función inyectiva: La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene
como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no
pueden haber más de un valor de X que tenga la misma.

Ejemplo de función inyectiva:
La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.
Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

•Función sobreyectiva: Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento
del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde.
Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.
En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Ejemplo de función sobreyectiva: La función en los números reales definida
por f(x) = x+1 es sobreyectiva.
:
Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
función son todos los números reales.
El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es
sobreyectiva.

•Función biyectiva: Una función f es biyectiva si es al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un
único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función
sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el
conjunto final Y(condición de función inyectiva).
Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Escuela: 42 Ing. Civil
Cátedra: Hidrología
Ejemplo de función biyectiva: La función f(x) = 2x definida en los números reales
es biyectiva.
Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por
la condición de inyectividad:

Dominio de un función: En matemáticas, el dominio (conjunto de
definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella
misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de
todos los objetos que puede transformar, el dominio de definición de una
función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales
la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada,
llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:

Rango de una función: Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de
los valores reales que toma la variable y o f(x).

Función inversa: Una función f es inyectiva o uno a uno si f(a) es distinto de f(b)
cuando a es distinto de b. Cuando al invertir los pares de que consta una función se
obtiene otra función, decimos que dicha función tiene inversa (también llamada
recíproca). Por lo dicho anteriormente, sólo tienen inversas las funciones inyectivas.
Ejemplos:
La función f definida por y=2x-3, es decir, f = { (x, y) / y=2x-3 } = { (x, 2x-3) } tiene inversa
y su inversa será f-1 = { (y, x) / y=2x-3 } = { (x, y) / x=2y-3 } = { (2x-3, x) }
La función g definida por y=x2-2x-2, es decir, g = { (x, y) / y=x2-2x-2 } = { (x, x2-2x-2) } no
tiene inversa. Por ejemplo, los pares (0, -2) y (2, -2) pertenecen a g y por lo tanto, g no es
inyectiva.

Operaciones con funciones:
•Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama
suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por:
•Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos
funciones reales de variable real f y g, como la función:
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

•Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se
llama función producto de f y g a la función definida por:
•Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se
llama función cociente de f y g a la función definida por:
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Composición de una función
Es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones.
De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está
contenida en el dominio de g, se define la función
composición (g ∘ f ): X →Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.
También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos,
mediante un diagrama conmutativo:

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