Tema3. Estadística r investigación operativa pdf

TEMA 3:
NÚMEROS ÍNDICES
MARIOLA ESTUDILLO MARTÍNEZ
DPTO. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

INTRODUCCIÓN
•OBJETIVO
El objetivo es introducir el concepto de número índice, que
constituye una herramienta utilizada con frecuencia para la
descripción de magnitudes de naturaleza económica.
•DEFINICIÓN
Un número índice es una medida estadística que sirve para
caracterizar la evolución de una variable (fenómeno económico)
entre dos momentos de tiempo diferentes. Se define como el
cociente del valor de la magnitud en una situación o instante
cualquiera y el valor de la magnitud en una situación de
referencia. Por tanto, un número índice es siempre una cantidad
adimensional (sin unidades).

INTRODUCCIÓN
 Índices simples: sólo interviene un concepto o magnitud.
•CLASIFICACIÓN
Vamos a clasificar los números índices según el número de
magnitudes que mida el índice y según se tenga o no en cuenta la
importancia de estas magnitudes que intervienen en el número
índice. De esta forma tenemos:
 Índices compuestos: cuando intervienen varias magnitudes.
 Índices compuestos ponderados: aquellos en los que cada
magnitud tiene una ponderación o peso específicos, es decir,
las magnitudes que intervienen tienen distinta importancia.
 Índices compuestos sin ponderar: aquellos en los que todas
las magnitudes tienen la misma importancia o el mismo peso.

ÍNDICES SIMPLES
Los índices simples o elementales están referidos a una única
magnitud. Nos proporcionan la variación de una magnitud entre
dos periodos que desean compararse (por lo general se refiere al
tiempo).
Sea M una magnitud que toma los valores: m0, m1,…, mt,… en los
instantes sucesivos 0, 1,…,t,… (Aquí consideraremos magnitudes
temporales, pero en realidad la numeración 0, 1,…,t,… puede
referirse a cualquier criterio: espacial, temporal, etc).

ÍNDICES SIMPLES
- Al periodo 0, utilizado como periodo de comparación, se le
denomina “periodo base o de referencia”.
Un índice simple es, por tanto, una medida de la variabilidad
relativa que experimenta la magnitud o variable en el periodo
actual respecto al periodo base.
- Al periodo t que se compara se le denomina “periodo
comparativo, periodo corriente o periodo actual”.
•DEFINICIÓN
Se define el índice elemental de la magnitud simple M en el
instante t, respecto al periodo 0 como el cociente:
( ) 100
0
0
×
=
m
m
M
I t
t /

ÍNDICES SIMPLES
EJEMPLO 1
Dadas las inversiones, en millones de euros, de España en el
extranjero:
a) Calcular los índices simples con base en 2019.
b) Estudiar el incremento relativo porcentual de cada valor con
respecto al anterior.
AÑO INVERSIONES
2019
2020
2021
1855
2378
2175

ÍNDICES SIMPLES
 Propiedad circular
•PROPIEDADES
Consideremos las siguientes propiedades válidas para índices
expresados en tantos por uno.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
M
I
M
I
M
I
M
I
M
I
M
I
t
t
t
t
t
t
t
t
0
0
0
0
/
'
/
'
/
/
'
'
/
/
=
⇒
=
/0
t
I
'/0
t
I / '
t t
I
0 '
t t
 Propiedad de identidad
( ) 1
=
M
I t
t /

ÍNDICES SIMPLES
 Propiedad de encadenamiento (generalización de la circular)
•PROPIEDADES
 Propiedad de multiplicación
( ) ( ) ( )
'
/
/
'
/
M
I
M
I
M
M
I t
t
t 0
0
0
=
⋅
 Propiedad de división
( )
( )
'
/
/
'
/
M
I
M
I
M
M
I
t
t
t
0
0
0
=






( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M
I
M
I
M
I
M
I
M
I
M
I t
t
t
t
t 0
1
1
2
2
3
2
1
1
0 /
/
/
/
/
/

−
−
−
=
 Propiedad de inversión
( )
( )
( )
( )
M
I
M
I
ó
M
I
M
I
t
t
t
t
0
0
0
0
1
1
/
/
/
/
=
=

ÍNDICES COMPUESTOS
Consideremos una magnitud M compleja constituida por k
magnitudes simples M1, M2,…,Mi,…,Mk (por ejemplo, los precios de
los productos lácteos (leche, queso, yogur,…))
Los índices elementales o simples de las componentes Mi son:
( ) 100
0
0
×
= i
i
t
i
t
m
m
M
I /
donde mi
t es el valor de la magnitud Mi en el instante t.
Por simplicidad, notaremos mediante Ii
t/0, en lugar de It/0(Mi), el
índice simple de la magnitud Mi.

ÍNDICES COMPUESTOS
Pretendemos sintetizar en un índice único, que se denominará
índice compuesto de la magnitud compleja M, la información
proporcionada por los índices simples de las componentes de M,
de forma que recoja la variación conjunta de todas las
magnitudes (unas crecerán, otras disminuirán o permanecerán
invariantes). El índice compuesto deberá poseer, si es posible,
propiedades análogas a las de los índices simples.
Para resumir la información proporcionada por los índices
simples, calcularemos una medida de tendencia central o
promedio de dichos índices simples.
Se utilizarán promedios ponderados cuando la importancia de las
magnitudes simples Mi no sea la misma, dando lugar a los índices
compuestos ponderados. En caso contrario, utilizaremos
promedios sin ponderar, con lo que tendremos los índices
compuestos sin ponderar

ÍNDICES COMPUESTOS
Partimos de la serie de índices elementales correspondientes a
las distintas magnitudes simples:
A partir de estos índices simples, calcularemos el índice
compuesto sin ponderar siguiendo dos criterios:
•ÍNDICES COMPUESTOS SIN PONDERAR
k
t
i
t
t
t
I
I
I
I 0
0
2
0
1
0 /
/
/
/
,
,
,
,
, 

- Criterio de la media simple: índice de Sauerbeck
- Criterio de la media agregativa simple: índice de Bradstreet-
Dûdot

ÍNDICES COMPUESTOS
 CRITERIO DE LA MEDIA SIMPLE: ÍNDICE DE SAUERBECK
Definición
Se define el índice de la media aritmética simple o de
Sauerbeck en el instante t, respecto al periodo 0, como la
media aritmética simple de los índices elementales. Es decir,
100
1
100
1
1 0
1
0
0
×








=
×






= ∑
∑ =
=
k
i
i
i
t
k
i
i
t
t
m
m
k
I
k
S /
/
Ventaja
Inconveniente
Fácilmente calculable e interpretable
No cumple la propiedad circular.

ÍNDICES COMPUESTOS
 CRITERIO DE LA MEDIA AGREGATIVA SIMPLE: ÍNDICE DE
BRADSTREET-DÛDOT
Cuando las medidas en que han sido expresadas las magnitudes
simples Mi sean homogéneas, se pueden comparar la media
aritmética de los valores de las magnitudes en el periodo
actual con la media de dichos valores en el periodo base. De
hecho, esto es equivalente a calcular el cociente entre la suma
de los valores de las magnitudes en el periodo actual y la suma
en el periodo base.

ÍNDICES COMPUESTOS
Definición
Se define el índice de Bradstreet-Dûdot como:
Inconveniente
Se ve afectado por la unidad de medida, es decir, si cambiamos
la unidad de alguna de las magnitudes, varía el valor del índice.
100
1
0
1
0
×
=
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
i
t
t
m
m
B /

EJEMPLO 2
Dados los precios medios de los combustibles (gasolina 95,
gasolina 98, gasóleo A) en Andalucía en los años 2014 y 2018,
calcular los índices compuestos con base en 2014 para
cuantificar la evolución del precio del combustible, suponiendo
que los 3 productos tienen la misma importancia en el mercado.
ÍNDICES COMPUESTOS
Año Gasolina 95 (€/l) Gasolina 98 (€/l) Gasóleo A (€/l)
2014
2018
1.289
1.253
1.428
1.378
1.220
1.134

ÍNDICES COMPUESTOS

ÍNDICES COMPUESTOS
Los índices compuestos ponderados también se determinan
promediando los índices elementales de cada una de las variables
que intervienen en la magnitud compleja, pero utilizando
promedios ponderados. De este modo, se tiene en cuenta la
importancia de cada una de las magnitudes mediante la
asignación de un peso.
Llamamos ωi
0 al peso de la i-ésima componente en el periodo base
(importancia relativa de la componente Mi en la magnitud
compleja M en el periodo base) y ωi
t al peso de la i-ésima
componente en el periodo actual (importancia relativa de la
componente Mi en la magnitud compleja M en dicho periodo).
•ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS

ÍNDICES COMPUESTOS
Se verifica que:
En función del tipo de media y de la ponderación utilizadas,
tenemos los siguientes tipos de índices compuestos ponderados:
1
1
1
0 =
= ∑
∑ =
=
k
i
i
t
k
i
i
ω
ω
- Índice de Laspeyres.
- Índice de Paasche.
- Índice de Fisher.

ÍNDICES COMPUESTOS
Se define el índice de Laspeyres
como la media aritmética de los
índices elementales ponderados por
los coeficientes del periodo base.
 ÍNDICE DE LASPEYRES
100
1 0
0
0
×








= ∑
=
k
i
i
i
t
i
t
m
m
L ω
/
Se define el índice de Paasche como
la media armónica de los índices
elementales ponderados por los
coeficientes del periodo actual.
 ÍNDICE DE PAASCHE
100
1
1
0
0
×
=
∑
=
k
i
i
t
i
i
t
t
m
m
P
ω
/
Se define el índice de Fisher como
la media geométrica de los índices
de Laspeyres y Paasche.
 ÍNDICE DE FISHER
( )( )
0
0
0 /
/
/ t
t
t
P
L
F =

ÍNDICES COMPUESTOS
 PROPIEDADES DE LOS ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS
1. La ventaja práctica del índice de Laspeyres sobre los otros
dos es la de exigir para su cálculo una información menos
actualizada (coeficientes de ponderación del periodo base).
Mientras que el de Paasche necesita actualizar las
ponderaciones en cada nuevo periodo t. Por este motivo se
utiliza más el de Laspeyres.
2. Ninguno de los tres índices cumplen la propiedad circular.
3. Los índices de Laspeyres y Paasche no cumplen la propiedad
de inversión. El índice de Fisher sí la cumple (de ahí que
reciba a veces la denominación de “índice ideal”).

EJEMPLO 3
Para los datos del ejemplo 2, calcular los índices de Laspeyres,
Paasche y Fisher con base 2014, suponiendo que:
ÍNDICES COMPUESTOS
- En 2014, la importancia de los 3 combustibles es la misma.
- En 2018, el gasóleo A tiene doble importancia en comparación
con los otros dos combustibles.
Año Gasolina 95 (€/l) Gasolina 98 (€/l) Gasóleo A (€/l)
2014
2018
1.289
1.253
1.428
1.378
1.220
1.134

ÍNDICES COMPUESTOS

ÍNDICES DE PRECIOS,
CANTIDADES Y VALORES
Las magnitudes económicas se expresan en función de precios,
cantidades y valores.
Consideremos que los precios y cantidades de una colección de k
artículos en los periodos base y actual son:
1 2
0 0 0 0
1 2
Periodo base: , , , , ,
Periodo actual: , , , , ,
i k
i k
t t t t
p p p p
p p p p
 
 
Precios
1 2
0 0 0 0
1 2
Periodo base: , , , , ,
Periodo actual: , , , , ,
i k
i k
t t t t
q q q q
q q q q
 
 
Cantidades
Valor del i-ésimo artículo 0 0 0
Periodo base:
Periodo actual:
i i i
i i i
t t t
v p q
v p q
= ×
= ×
Valor total de los k artículos
0 0 0 0
1 1
1 1
Periodo base:
Periodo actual:
k k
i i i
i i
k k
i i i
t t t t
i i
V v p q
V v p q
= =
= =
= = ×
= = ×
∑ ∑
∑ ∑

•ÍNDICES SIMPLES
( ) 100
0
0
×
= i
i
t
i
t
p
p
P
I
PRECIO /
:
( ) 100
0
0
×
= i
i
t
i
t
q
q
Q
I
CANTIDAD /
:
( ) 100
0
0
×
= i
i
t
i
t
v
v
V
I
VALOR /
:
Por la propiedad de la multiplicación se verifica que:
( ) ( ) ( ) k
i
Q
I
P
I
V
I i
t
i
t
i
t
,
,
/
/
/

1
0
0
0
=
∀
=

 ÍNDICE DE SAUERBECK v
q
p
m
m
m
k
S
k
i
i
i
t
t
,
,
/
=
×








= ∑
=
100
1
1 0
0
 ÍNDICE DE BRADSTREET-DÛDOT v
q
p
m
m
m
B k
i
i
k
i
i
t
t
,
,
/
=
×
=
∑
∑
=
=
100
1
0
1
0
Se utilizan las mismas fórmulas que vimos para los índices sin
ponderar, particularizando para las magnitudes: precios,
cantidades y valores.

Se utilizan las mismas fórmulas que vimos para los índices
ponderados, particularizando para las magnitudes: precios,
cantidades y valores y utilizando como factor de ponderación el
valor relativo de cada artículo respecto al valor total:
0 0 0
0
0 0 0
1 1
i i i
i
k k
j j j
j
v p q
v p q
ω
= =
= =
∑ ∑ 1 1
i i i
i t t t
t k k
j j j
t t t
j j
v p q
v p q
ω
= =
= =
∑ ∑
j

 ÍNDICE DE PRECIOS DE LASPEYRES
( ) 100
1
0
0
1
0
0
×
=
∑
∑
=
=
k
i
i
i
k
i
i
i
t
t
q
p
q
p
P
L /
El índice de Laspeyres de precios nos
proporciona una medida de las
variaciones de los precios para
cantidades fijas (las del periodo base).
Nota: el IPC es un índice de precios de Laspeyres (cuando los
artículos seleccionados son unos determinados).
 ÍNDICE DE CANTIDADES DE LASPEYRES
( ) 100
1
0
0
1
0
0
×
=
∑
∑
=
=
k
i
i
i
k
i
i
t
i
t
q
p
q
p
Q
L /
El índice de Laspeyres de cantidades
nos proporciona una medida de las
variaciones de las cantidades a precios
fijos (los del periodo base).

 ÍNDICE DE PRECIOS DE PAASCHE
( ) 100
1
0
1
0
×
=
∑
∑
=
=
k
i
i
t
i
k
i
i
t
i
t
t
q
p
q
p
P
P /
El índice de Paasche de precios nos
variaciones de los precios para
cantidades fijas (las del periodo actual).
 ÍNDICE DE CANTIDADES DE PAASCHE
( ) 100
1
0
1
0
×
=
∑
∑
=
=
k
i
i
i
t
k
i
i
t
i
t
t
q
p
q
p
Q
P /
El índice de Paasche de cantidades nos
variaciones de las cantidades a precios
fijos (los del periodo actual).

 ÍNDICE DE PRECIOS DE FISHER
( ) ( ) ( )
P
P
P
L
P
F t
t
t 0
0
0 /
/
/
=
 ÍNDICE DE CANTIDADES DE FISHER
( ) ( ) ( )
Q
P
Q
L
Q
F t
t
t 0
0
0 /
/
/
=

EJEMPLO 4
Dados los siguientes datos:
Artículo 1 Artículo 2 Artículo 3
Año Precio Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad
2019
2020
2021
2
3
4
6
7
8
8
9
10
4
3
5
1
2
2
7
9
10
Calcular los índices compuestos ponderados de precios con base
2019.

CAMBIO DE PERIODO BASE,
RENOVACIÓN Y ENLACE
La elaboración de un índice conlleva tomar una serie de
decisiones como:
Además, son necesarias las siguientes técnicas: cambio de base,
renovación y enlace.
- Seleccionar los artículos que deben ser elegidos como los más
representativos.
- Seleccionar el periodo base.
- Seleccionar la fórmula más adecuada.

Se utiliza cuando queremos expresar los números índices
calculados con base a un periodo determinado, en otra base. El
cambio de base se obtiene directamente de la propiedad
circular, teniendo en cuenta que no todos los índices la verifican,
por lo que los resultados que obtenemos son aproximados.
•CAMBIO DE BASE

Considerando la siguiente serie de números índices, efectuar un
cambio de base al año 2013.
•CAMBIO DE BASE
EJEMPLO 5
Año It/2008
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
100
108
112
114
115
117
119
123

•CAMBIO DE BASE

La renovación de un índice puede venir exigida por un cambio de
las ponderaciones, o bien porque haya que elegir otros artículos,
etc. Esto implica empezar desde el principio: selección de
artículos, del periodo base, de las ponderaciones… dando lugar, a
partir del periodo de renovación a una nueva serie de índices
referidos a una nueva base.
•RENOVACIÓN

Al tener que modificar el periodo base en el proceso de
renovación, nos encontramos con dos series de índices referidos
al mismo fenómeno, pero con distintos periodos base. Desde el
punto de vista económico interesa enlazar ambas series para
obtener una única serie en la que todos los números índices
estén construidos con el mismo periodo base, para facilitar
posibles comparaciones.
•ENLACE
El problema es, nuevamente, que los índices compuestos más
usuales no verifican la propiedad circular. A pesar de ello, el
procedimiento práctico para enlazar dos series de índices
consiste en actuar como si se verificase dicha propiedad.

Para el periodo 2008-2015 se tienen dos series de números
índices. Enlazar las dos series para obtener una sola.
EJEMPLO 6
•ENLACE
Año It/2001 It/2011
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
250
260
280
290
115
122
127
135

•ENLACE

DEFLACIÓN DE SERIES
Un problema frecuente consiste en el análisis del crecimiento o
decrecimiento de una sucesión de valores expresados en
unidades monetarias corrientes de cada año. Para poder
comparar tales cantidades, es necesario homogeneizarlas, es
decir, expresar todos los valores en unidades monetarias de un
mismo año.
El procedimiento utilizado para conseguir esta homogeneización
se denomina DEFLACIÓN y consiste en dividir los valores de la
serie económica entre un índice de precios adecuado,
denominado DEFLACTOR.

Se denomina serie a precios corrientes de cada año o serie de
valores nominales a una serie de valores de una variable a lo
largo del tiempo V0, V1,…, Vt,…
El valor viene dado en las mismas unidades monetarias que el
precio, pero debido a la inflación y deflación de éste, no
podemos comparar los valores de un año a otro, sino que habrá
que realizar una traducción del valor nominal, al valor que se
obtendría si los precios fueran los del año que se toma como
base.
 DEFINICIÓN
A la serie ajustada según las variaciones de la unidad monetaria
se le denomina serie a precios constantes del año tomado como
base o serie de valores reales.
 DEFINICIÓN

Se llama deflación a la operación de pasar de una serie de
valores nominales a la correspondiente serie de valores reales.
 DEFINICIÓN
Para deflactar una serie hay que dividir la serie de valores
nominales por un índice de precios adecuado (llamado deflactor)
con el fin de obtener una valoración de las cantidades a los
precios (constantes) del año base.
El procedimiento más correcto para deflactar una serie de
valores nominales sería tomar como deflactor el índice de
precios de Paasche referido al año base.
 PROCEDIMIENTO

De esta forma, se obtiene la siguiente expresión:
Es decir, se obtiene el valor de la cantidad actual a precios
constantes del periodo base, que es el objetivo.
( ) ∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
k
i
i
t
i
k
i
i
t
i
k
i
i
t
i
t
k
i
i
t
i
t
t
t
q
p
q
p
q
p
q
p
P
P
V
1
0
1
0
1
1
0
/
Si se utilizase como deflactor el índice de Laspeyres no se
obtendría exactamente la serie de valores a precios
constantes:

A pesar de ello, con frecuencia en la práctica no se dispone del
índice de Paasche (ya que requiere una información más
actualizada que el de Laspeyres), en cuyo caso se utiliza como
deflactor el índice de Laspeyres, por ser el único disponible.
( )
( )
Q
P
V
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
P
L
V
t
k
i
i
i
t
k
i
i
t
i
t
k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
i
t
k
i
i
t
i
t
t
t
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
/
/
⋅
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=

La ganancia de una empresa, en miles de euros, expresada en
euros corrientes ha sido la siguiente en el periodo 2017-2021:
250, 275, 300, 325, 350. Para el mismo periodo de tiempo, los
valores del IPC han sido: 100, 105, 107, 110, 112.
EJEMPLO 7
a) Estudiar la modificación de la ganancia a precios constantes,
es decir, como si los precios fuesen del periodo base.
b) ¿Cuál ha sido el incremento relativo de la ganancia a euros
corrientes en ese periodo?
c) ¿Cuál ha sido el incremento relativo de la ganancia a euros
constantes en ese periodo?

Los sueldos mensuales de un trabajador en € corrientes y los
valores del IPC en el periodo 2017-2020 han sido los siguientes.
EJEMPLO 8
a) Estudiar la modificación real del salario del trabajador a
moneda constante del 2017.
b) ¿Cuál ha sido la variación del salario en ese periodo?
Años Salarios IPCt/2013
2017
2018
2019
2020
190.55
199.15
208.05
215.19
110
115.1
119.2
121.6

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