Diapositivas de Ecuaciones diferenciales líneas no homogénea

1. Unidad 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
(MÉTODO DE VARIACIÓN DE
PARÁMETROS)

2. Introducción
 Para adaptar el método de variación de
parámetros a una ecuación diferencial de
segundo orden:
primeramente se debe escribir la ecuación en
la forma estándar
 Esta última ecuación es la análoga de segundo
orden de la forma estándar de una ecuación
lineal de primer orden
)
(
)
(
´
)
(
´´
)
( x
g
y
x
a
y
x
a
y
x
a 

 0
1
2
)
(
)
(
´
)
(
´´ x
f
y
x
Q
y
x
P
y 


)
(
)
(
´ x
f
y
x
P
y 


3. Suposiciones
 Al resolver una EDLNH de primer orden, se
supuso que yp=u(x)y1(x).
 Supondremos ahora que la forma de la solución
para la ecuación de orden 2 es
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
Al utilizar la regla del producto para diferenciar
dos veces yp se obtiene:
yp´= u1y1´+y1u1´+u2y2´+y2u2´
yp´´= u1y1´´+y1´u1´+y1u1´´+u1´y1´+u2y2´´+y2´u2´+y2u2´´+ u2´y2´

4. Suposiciones…
Al sustituir yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) y sus
derivadas en la ecuación
tenemos:
De donde:
)
(
)
(
´
)
(
´´ x
f
y
x
Q
y
x
P
y 




































2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
u
y
u
y
u
y
u
y
P
y
u
u
y
y
u
u
y
Qy
Py
y
u
Qy
Py
y
u
y
x
Q
y
x
P
y
Cero
Cero
p
p
p
]
[
]
[
]
[
)
(
)
(

 

 


 

 

























2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
u
y
u
y
u
y
u
y
P
u
y
u
y
dx
d
u
y
u
y
u
y
u
y
P
u
y
dx
d
u
y
dx
d
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
)
(
]
[
]
[ x
f
u
y
u
y
u
y
u
y
P
u
y
u
y
dx
d












2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1

5. Suposiciones…
Como se busca determinar dos funciones
desconocidas u1 y u2, es necesario tener dos
ecuaciones.
 Estas dos ecuaciones se obtienen con la
suposición adicional de que u1 y u2 satisfacen:
Con ello la ecuación
Se reduce a:
)
(
]
[
]
[ x
f
u
y
u
y
u
y
u
y
P
u
y
u
y
dx
d












2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
)
(x
f
u
y
u
y 



2
2
1
1
0
2
2
1
1 



u
y
u
y

6. Suposiciones…
 Ahora se cuenta con las dos ecuaciones
deseadas
Por la regla de Cramer la solución del sistema
de ecuaciones puede expresarse en términos
de determinantes:
)
(x
f
u
y
u
y
u
y
u
y








2
2
1
1
2
2
1
1 0
.
)
(
´
,
´
)
(
,
´
´
:
)
(
)
(
x
f
y
y
W
y
x
f
y
W
y
y
y
y
W
donde
W
x
f
y
W
W
u
y
W
x
f
y
W
W
u
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
0
0











7. Suposiciones…
 Finalmente se encuentran u1 y u2 integrando los
resultados anteriores.
 Con ello:
dx
W
x
f
y
u
y
dx
W
x
f
y
u 
 


)
(
)
( 1
2
2
1

8. Resumen del método
 Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y´´ + P(X)y´ + Q(x)y = f(x)
 Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x).
 Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).

9. Resumen del método…
 Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x),
obtenemos después de arreglar términos, el
sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas
 Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
)
(x
f
u
y
u
y
u
y
u
y








2
2
1
1
2
2
1
1 0

10. Resumen del método…
 Integramos estas dos ecuaciones para
obtener u1(x) y u2(x).
 Sustituimos estas dos funciones en la
solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).
 Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.
W
x
f
y
y
y
y
y
x
f
y
y
u
y
W
x
f
y
y
y
y
y
y
x
f
y
u
)
(
´
´
)
(
´
)
(
´
´
´
)
( 1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
0
0







dx
W
x
f
y
u
y
dx
W
x
f
y
u 
 


)
(
)
( 1
2
2
1

11. Ejemplo
 Resuelva 4y´´+36y=Csc(3x)
 La forma estándar de la EDLNH es:
y´´-9y=(1/4)Csc(3x)
 La ecuación auxiliar m2+9 tiene raíces
conjunadas m1=3i y m2=-3i, por ello:
yh=c1Cos(3x)+c2Sen(3x).
 Con y1=Cos(3x), y2=Sen(3x) y f(x)=(1/4) Csc(3x)
se obtiene:

12. Ejemplo…
 A partir de esto:
x
Sen
x
Cos
x
Csc
x
Sen
x
Cos
W
x
Cos
x
Csc
x
Sen
W
x
Cos
x
Sen
x
Sen
x
Cos
x
Sen
x
Cos
W
3
3
4
1
3
4
1
3
3
0
3
4
1
3
3
3
4
1
3
0
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1









)
,
(
x
Sen
x
Cos
x
Sen
x
Cos
u
y
u
3
3
12
1
3
3
3
4
1
12
1
3
4
1
2
1 








13. Ejemplo…
 Integrando:
 Con esto:
 Y finalmente, como:

 


 x
Sen
dx
x
Sen
x
Cos
u
y
x
dx
u 3
36
1
3
3
12
1
12
12
1
2
1 ln
x
Sen
x
Sen
x
Cos
x
y
u
y
u
yp 3
3
36
1
3
12
2
2
1
1 ln




x
Sen
x
Sen
x
Cos
x
x
Sen
c
x
Cos
c
y
x
Sen
x
Sen
x
Cos
x
y
x
Sen
c
x
Cos
c
y
p
h
3
3
36
1
3
12
3
3
3
3
36
1
3
12
3
3
2
1
2
1
ln
ln









14. Generalización del
método
 Para resolver la EDLNH en forma estándar:
y(n)+Pn-1(X)y(n-1)+ P1(x)y´+P0(x)y= f(x)
 Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH
original, para determinar la solución
homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x)+ …+ cnyn(x)
 Se supone que la solución particular de la
EDLNH se puede obtener a partir de la
solución de la EDLH variando los
parámetros, esto es: suponiendo que
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ … +un(x)yn(x)

15. Generalización del
método…
 Sustituyendo esta última ecuación en la
EDLNH original, con el propósito de obtener
las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), ...
un(x),, obtenemos después de arreglar
términos, el sistema de n ecuaciones con n
incógnitas
)
(
´
...
´
´
´
´
´´
...
´
´´
´
´´
´
´´
´
´
...
´
´
´
´
´
´
´
...
´
´
´
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
u
y
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n




















3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
0
0
0


16. Generalización del
método…
 Resolviendo este sistema de ecuaciones
simultaneas por la Regla de Cramer
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
´
´
´
)
(
´
´
,...,
´
´
´
)
(
´
´
,
´
´
´
)
(
´
´
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
f
y
y
y
y
y
y
u
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
f
y
y
y
y
y
u
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
f
y
y
y
y
u










































2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
0
0
0
0
0
0







17. Generalización del
método…
 Integramos estas las ecuaciones para obtener
u1(x) y u2(x), …, un(x).
 Sustituimos estas n funciones en la solución
propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ un(x)yn(x).
 Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

18. Problemas
 Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales:
Tanx
y
y
e
y
y
y
Secx
y
y
x

















1
1
2
3