Este documento presenta un resumen de un trabajo de investigación sobre el movimiento armónico simple realizado por un estudiante para un curso de física. Explica conceptos clave como la cinemática, dinámica y ecuación básica del movimiento armónico simple, así como aplicaciones como el péndulo simple y compuesto. También cubre temas como vectores de rotación, energía cinética y potencial, y superposición de movimientos armónicos.
Autor: Luis G. Gorostiza
Departamento de Matemáticas
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
*Trabajo de ingreso a la Academia Mexicana de Ingeniería.
Este documento trata sobre vibraciones forzadas. Explica que una vibración forzada ocurre cuando un sistema se somete a una fuerza periódica o está elásticamente conectado a un apoyo con movimiento alternante. Luego describe los tres tipos de vibraciones forzadas (sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado) y cómo se calcula la amplitud de vibración en cada caso. Finalmente, explica el concepto de resonancia y cómo se produce una amplificación de la amplitud de vibración cuando la frecuencia
El documento introduce las ecuaciones en derivadas parciales y el método de separación de variables para resolverlas. Explica el problema clásico de la cuerda vibrante modelado por la ecuación de ondas unidimensional. Presenta la solución general de D'Alembert como la superposición de dos ondas que viajan en sentidos opuestos. Finalmente, aplica el método de separación de variables para resolver analíticamente el problema de la cuerda vibrante con condiciones iniciales y de contorno dadas.
Este documento analiza la vibración de una cuerda tensada anclada en sus extremos. Explica que la cuerda puede vibrar en diferentes modos, cada uno con su propia frecuencia. La vibración total de la cuerda es la suma de todos sus modos de vibración. Cada modo tiene una forma de onda característica y oscila de forma armónica. La combinación de modos activados depende de las condiciones iniciales que pongan a vibrar a la cuerda.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenAƞdrea DitƬerǐch
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones importantes en física, como el movimiento armónico simple. Al aplicar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton, se puede derivar una ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte. Esta ecuación puede resolverse para encontrar la función de movimiento x(t). El documento presenta ejemplos ilustrativos de cómo modelar problemas físicos usando ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Este documento describe el movimiento libre amortiguado de un sistema masa-resorte. Explica que la ecuación diferencial que rige este movimiento depende de un coeficiente de amortiguamiento. Luego, distingue tres casos posibles para este sistema dependiendo de si el amortiguamiento es sobrecrítico, crítico o subcrítico. Finalmente, presenta un problema de cálculo para un sistema críticamente amortiguado.
1) El documento describe la teoría de la relatividad de Einstein, incluyendo sus antecedentes y desarrollo.
2) El experimento de Michelson-Morley de 1887 mostró que la velocidad de la luz es constante e independiente del movimiento de la Tierra, lo que llevó al desarrollo de las transformaciones de Lorentz.
3) Las transformaciones de Lorentz, propuestas inicialmente por Lorentz en 1890, permiten explicar los resultados del experimento de Michelson-Morley y son consistentes con la teoría de la relatividad especial de Einstein de
Autor: Luis G. Gorostiza
Departamento de Matemáticas
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
*Trabajo de ingreso a la Academia Mexicana de Ingeniería.
Este documento trata sobre vibraciones forzadas. Explica que una vibración forzada ocurre cuando un sistema se somete a una fuerza periódica o está elásticamente conectado a un apoyo con movimiento alternante. Luego describe los tres tipos de vibraciones forzadas (sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado) y cómo se calcula la amplitud de vibración en cada caso. Finalmente, explica el concepto de resonancia y cómo se produce una amplificación de la amplitud de vibración cuando la frecuencia
El documento introduce las ecuaciones en derivadas parciales y el método de separación de variables para resolverlas. Explica el problema clásico de la cuerda vibrante modelado por la ecuación de ondas unidimensional. Presenta la solución general de D'Alembert como la superposición de dos ondas que viajan en sentidos opuestos. Finalmente, aplica el método de separación de variables para resolver analíticamente el problema de la cuerda vibrante con condiciones iniciales y de contorno dadas.
Este documento analiza la vibración de una cuerda tensada anclada en sus extremos. Explica que la cuerda puede vibrar en diferentes modos, cada uno con su propia frecuencia. La vibración total de la cuerda es la suma de todos sus modos de vibración. Cada modo tiene una forma de onda característica y oscila de forma armónica. La combinación de modos activados depende de las condiciones iniciales que pongan a vibrar a la cuerda.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo ordenAƞdrea DitƬerǐch
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones importantes en física, como el movimiento armónico simple. Al aplicar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton, se puede derivar una ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte. Esta ecuación puede resolverse para encontrar la función de movimiento x(t). El documento presenta ejemplos ilustrativos de cómo modelar problemas físicos usando ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Este documento describe el movimiento libre amortiguado de un sistema masa-resorte. Explica que la ecuación diferencial que rige este movimiento depende de un coeficiente de amortiguamiento. Luego, distingue tres casos posibles para este sistema dependiendo de si el amortiguamiento es sobrecrítico, crítico o subcrítico. Finalmente, presenta un problema de cálculo para un sistema críticamente amortiguado.
1) El documento describe la teoría de la relatividad de Einstein, incluyendo sus antecedentes y desarrollo.
2) El experimento de Michelson-Morley de 1887 mostró que la velocidad de la luz es constante e independiente del movimiento de la Tierra, lo que llevó al desarrollo de las transformaciones de Lorentz.
3) Las transformaciones de Lorentz, propuestas inicialmente por Lorentz en 1890, permiten explicar los resultados del experimento de Michelson-Morley y son consistentes con la teoría de la relatividad especial de Einstein de
1) El documento describe la teoría de la relatividad de Einstein, incluyendo sus antecedentes y desarrollo.
2) El experimento de Michelson-Morley de 1887 mostró que la velocidad de la luz es constante e independiente del movimiento de la Tierra, lo que llevó al desarrollo de las transformaciones de Lorentz.
3) Las transformaciones de Lorentz, propuestas inicialmente por Lorentz en 1890, permiten explicar los resultados del experimento de Michelson-Morley y son consistentes con la teoría de la relatividad especial de Einstein de
El documento describe el tema de las oscilaciones. Se explican conceptos como el movimiento armónico simple, incluyendo su ecuación básica y representación mediante vectores rotantes. También se analizan casos particulares como los péndulos simple y compuesto, la superposición de movimientos armónicos de igual y distinta frecuencia, y la dinámica y energía de un oscilador.
Este documento describe los sistemas masa-resorte y masa-resorte-amortiguador. Explica cómo modelar matemáticamente estos sistemas mediante ecuaciones diferenciales y cómo simular su comportamiento mediante circuitos electrónicos. También presenta gráficas que muestran el movimiento oscilatorio amortiguado de la masa para diferentes condiciones iniciales y la presencia o ausencia de una fuerza externa.
Este documento describe un experimento para estudiar las oscilaciones de un péndulo simple. Explica que el período de oscilación depende de la longitud del péndulo y de la gravedad, pero no de la amplitud ni de la masa colgante cuando las oscilaciones son pequeñas. El procedimiento experimental mantiene fijas variables como la longitud y gravedad para estudiar la dependencia del período con la masa y amplitud inicial mediante mediciones cronométricas.
Se investiga las propiedades de controlabilidad y estabilizacion para la
semidiscretizacion en una dimension de la ecuacion de onda, donde en esta semidis-
cretizacion, las mallas no son uniformes. Se estudia la controlabilidad en la frontera.
Se usa un esquema de elementos nitos mixtos, y se construye una sucesion de con-
troles discretos vn para la ecuacion de onda semidiscreta. Analizamos la convergencia de esta sucesion y se prueba que asumiendo M- regularidad de las mallas la sucesionvn converge a un control continuo.
Este documento trata sobre la aplicación de ecuaciones diferenciales a la mecánica y física. Explica que los modelos matemáticos a menudo producen ecuaciones diferenciales y que éstas se usan comúnmente para comprender fenómenos como la dinámica de poblaciones, la desintegración radiactiva, el enfriamiento de cuerpos y la propagación de enfermedades. También presenta algunos ejemplos de problemas resueltos usando ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el movimiento de sistemas estructurales sometidos a cargas dinámicas. Introduce conceptos como grados de libertad, ecuaciones de movimiento para sistemas de un grado de libertad, y métodos analíticos y numéricos para resolver dichas ecuaciones, incluyendo la solución clásica, la integral de Duhamel y métodos de integración directa como diferencias finitas. El documento es útil para comprender el análisis dinámico de e
1. El documento presenta tres ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que describen el movimiento de objetos sujetos a resortes. El primer ejemplo resuelve la ecuación para un peso que se suelta desde una posición estirada de un muelle. El segundo ejemplo encuentra la ecuación para el movimiento de una masa sujeta a un resorte que se suelta desde el equilibrio. El tercer ejemplo resuelve la ecuación para un peso que se suelta desde abajo de la posición de equilibrio de un resorte con una velocidad inicial hacia ar
Este documento describe la ecuación que modela el movimiento forzado de una masa oscilante sujeta a un resorte bajo la influencia de una fuerza externa. Explica cómo dividir la ecuación de Newton para la masa lleva a una ecuación diferencial no homogénea cuya solución puede obtenerse por métodos de coeficientes indeterminados o variación de parámetros. Además, analiza cómo multiplicar la ecuación inicial por una constante y reemplazar términos permite interpretar y graficar las soluciones transitoria
Física II vibraciones mecánicas teoría ejercicios resueltos, ejercicios propuestos lo mas didáctico posible, este libro es usado en universidades como; la cesar vallejo, la UNI, UNASAM, LAS ALAS PERUANAS. bueno para entender los principios básicos de la física, comiencen por este libro los demás serán fáciles
Este documento presenta 9 ejercicios resueltos sobre oscilaciones y ondas. Los ejercicios cubren temas como sistemas masa-resorte, movimientos pendulares, ecuaciones de movimiento armónico y cálculo de energía cinética y potencial. Se resuelven ejercicios prácticos utilizando conceptos como frecuencia, período, amplitud y constante elástica.
El documento describe el modelo teórico de membranas vibrantes bidimensionales. Explica que las membranas vibrantes se comportan como láminas elásticas y tensadas que oscilan en el eje vertical cuando se desplazan ligeramente de su posición de equilibrio. También presenta la ecuación de onda bidimensional que rige el movimiento vibratorio de las membranas y analiza específicamente el caso de una membrana circular.
1) El documento describe diferentes tipos de vibraciones y amortiguamientos en sistemas dinámicos. Explica vibraciones libres causadas por condiciones iniciales y vibraciones forzadas causadas por fuerzas externas.
2) También analiza el factor de amplificación dinámica que puede ocurrir durante la resonancia cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural del sistema.
3) Finalmente, describe tres tipos de amortiguamiento: viscoso, Coulomb y histerético, los cuales disipan la energía en
El documento describe diferentes tipos de movimiento circular y las fuerzas involucradas. Explica que para un movimiento circular uniforme, se requiere una fuerza central dirigida hacia el centro. Luego analiza ejemplos como una bola girando en el extremo de una cuerda, un satélite en órbita y un auto en una curva, identificando en cada caso la fuerza central involucrada. Finalmente, discute el movimiento circular no uniforme.
Trabajo Final del equipo No. 1 del curso de Ecuaciones Diferenciales del semestre Enero-Julio del 2013 que impartí en el Instituto Tecnológico de la Laguna.
1) Galileo descubrió el principio del péndulo y estableció que el periodo de oscilación de un péndulo depende de su longitud pero no de su amplitud.
2) El movimiento armónico simple ocurre cuando una fuerza proporcional al desplazamiento actúa sobre un cuerpo, haciéndolo oscilar alrededor de un punto de equilibrio.
3) La ecuación matemática que describe el movimiento armónico simple es una ecuación diferencial cuya solución es una función seno o coseno con argumento pro
La mecánica se define como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se divide en mecánica de cuerpos rígidos, mecánica de cuerpos deformables y mecánica de fluidos. Los principios fundamentales incluyen las leyes de Newton y la ley del paralelogramo de fuerzas.
El documento describe el movimiento armónico simple (MAS), el cual es un tipo de movimiento vibratorio causado por la proyección de un movimiento circular uniforme en una línea recta. El MAS se caracteriza por una oscilación periódica entre dos puntos de retorno, siguiendo funciones senoidales y con velocidad y aceleración máximas en los puntos de retorno y mínimas en el punto de equilibrio. Algunos ejemplos de MAS son una masa colgada de un resorte y un péndulo simple.
El documento trata sobre el movimiento oscilatorio y el movimiento armónico simple. Explica que el movimiento oscilatorio ocurre cuando una masa oscila de un lado a otro de su punto de equilibrio debido a una fuerza recuperadora, como la de un resorte. Define el movimiento armónico simple y presenta ecuaciones que describen la elongación, velocidad y aceleración de un cuerpo que oscila de esta manera. También cubre conceptos como periodo, frecuencia, energía potencial y energía cinética en el contexto del movimiento armónico simple.
O documento discute cinemática de partículas, incluindo movimento retilíneo e curvilíneo. Aborda conceitos como posição, velocidade, aceleração e como determinar o movimento de uma partícula a partir destas grandezas. Apresenta exemplos numéricos de problemas de movimento retilíneo uniforme e uniformemente acelerado.
Este documento presenta información sobre el análisis de vibraciones aplicado al mantenimiento de máquinas. Explica diferentes tipos de vibraciones, defectos comunes que pueden ser identificados a través del análisis de vibraciones como desbalance, fallas en rodamientos, problemas en bandas y engranes. También describe ventajas del análisis de vibraciones como detección temprana de defectos y programación anticipada de mantenimiento.
1) El documento describe la teoría de la relatividad de Einstein, incluyendo sus antecedentes y desarrollo.
2) El experimento de Michelson-Morley de 1887 mostró que la velocidad de la luz es constante e independiente del movimiento de la Tierra, lo que llevó al desarrollo de las transformaciones de Lorentz.
3) Las transformaciones de Lorentz, propuestas inicialmente por Lorentz en 1890, permiten explicar los resultados del experimento de Michelson-Morley y son consistentes con la teoría de la relatividad especial de Einstein de
El documento describe el tema de las oscilaciones. Se explican conceptos como el movimiento armónico simple, incluyendo su ecuación básica y representación mediante vectores rotantes. También se analizan casos particulares como los péndulos simple y compuesto, la superposición de movimientos armónicos de igual y distinta frecuencia, y la dinámica y energía de un oscilador.
Este documento describe los sistemas masa-resorte y masa-resorte-amortiguador. Explica cómo modelar matemáticamente estos sistemas mediante ecuaciones diferenciales y cómo simular su comportamiento mediante circuitos electrónicos. También presenta gráficas que muestran el movimiento oscilatorio amortiguado de la masa para diferentes condiciones iniciales y la presencia o ausencia de una fuerza externa.
Este documento describe un experimento para estudiar las oscilaciones de un péndulo simple. Explica que el período de oscilación depende de la longitud del péndulo y de la gravedad, pero no de la amplitud ni de la masa colgante cuando las oscilaciones son pequeñas. El procedimiento experimental mantiene fijas variables como la longitud y gravedad para estudiar la dependencia del período con la masa y amplitud inicial mediante mediciones cronométricas.
Se investiga las propiedades de controlabilidad y estabilizacion para la
semidiscretizacion en una dimension de la ecuacion de onda, donde en esta semidis-
cretizacion, las mallas no son uniformes. Se estudia la controlabilidad en la frontera.
Se usa un esquema de elementos nitos mixtos, y se construye una sucesion de con-
troles discretos vn para la ecuacion de onda semidiscreta. Analizamos la convergencia de esta sucesion y se prueba que asumiendo M- regularidad de las mallas la sucesionvn converge a un control continuo.
Este documento trata sobre la aplicación de ecuaciones diferenciales a la mecánica y física. Explica que los modelos matemáticos a menudo producen ecuaciones diferenciales y que éstas se usan comúnmente para comprender fenómenos como la dinámica de poblaciones, la desintegración radiactiva, el enfriamiento de cuerpos y la propagación de enfermedades. También presenta algunos ejemplos de problemas resueltos usando ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el movimiento de sistemas estructurales sometidos a cargas dinámicas. Introduce conceptos como grados de libertad, ecuaciones de movimiento para sistemas de un grado de libertad, y métodos analíticos y numéricos para resolver dichas ecuaciones, incluyendo la solución clásica, la integral de Duhamel y métodos de integración directa como diferencias finitas. El documento es útil para comprender el análisis dinámico de e
1. El documento presenta tres ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que describen el movimiento de objetos sujetos a resortes. El primer ejemplo resuelve la ecuación para un peso que se suelta desde una posición estirada de un muelle. El segundo ejemplo encuentra la ecuación para el movimiento de una masa sujeta a un resorte que se suelta desde el equilibrio. El tercer ejemplo resuelve la ecuación para un peso que se suelta desde abajo de la posición de equilibrio de un resorte con una velocidad inicial hacia ar
Este documento describe la ecuación que modela el movimiento forzado de una masa oscilante sujeta a un resorte bajo la influencia de una fuerza externa. Explica cómo dividir la ecuación de Newton para la masa lleva a una ecuación diferencial no homogénea cuya solución puede obtenerse por métodos de coeficientes indeterminados o variación de parámetros. Además, analiza cómo multiplicar la ecuación inicial por una constante y reemplazar términos permite interpretar y graficar las soluciones transitoria
Física II vibraciones mecánicas teoría ejercicios resueltos, ejercicios propuestos lo mas didáctico posible, este libro es usado en universidades como; la cesar vallejo, la UNI, UNASAM, LAS ALAS PERUANAS. bueno para entender los principios básicos de la física, comiencen por este libro los demás serán fáciles
Este documento presenta 9 ejercicios resueltos sobre oscilaciones y ondas. Los ejercicios cubren temas como sistemas masa-resorte, movimientos pendulares, ecuaciones de movimiento armónico y cálculo de energía cinética y potencial. Se resuelven ejercicios prácticos utilizando conceptos como frecuencia, período, amplitud y constante elástica.
El documento describe el modelo teórico de membranas vibrantes bidimensionales. Explica que las membranas vibrantes se comportan como láminas elásticas y tensadas que oscilan en el eje vertical cuando se desplazan ligeramente de su posición de equilibrio. También presenta la ecuación de onda bidimensional que rige el movimiento vibratorio de las membranas y analiza específicamente el caso de una membrana circular.
1) El documento describe diferentes tipos de vibraciones y amortiguamientos en sistemas dinámicos. Explica vibraciones libres causadas por condiciones iniciales y vibraciones forzadas causadas por fuerzas externas.
2) También analiza el factor de amplificación dinámica que puede ocurrir durante la resonancia cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural del sistema.
3) Finalmente, describe tres tipos de amortiguamiento: viscoso, Coulomb y histerético, los cuales disipan la energía en
El documento describe diferentes tipos de movimiento circular y las fuerzas involucradas. Explica que para un movimiento circular uniforme, se requiere una fuerza central dirigida hacia el centro. Luego analiza ejemplos como una bola girando en el extremo de una cuerda, un satélite en órbita y un auto en una curva, identificando en cada caso la fuerza central involucrada. Finalmente, discute el movimiento circular no uniforme.
Trabajo Final del equipo No. 1 del curso de Ecuaciones Diferenciales del semestre Enero-Julio del 2013 que impartí en el Instituto Tecnológico de la Laguna.
1) Galileo descubrió el principio del péndulo y estableció que el periodo de oscilación de un péndulo depende de su longitud pero no de su amplitud.
2) El movimiento armónico simple ocurre cuando una fuerza proporcional al desplazamiento actúa sobre un cuerpo, haciéndolo oscilar alrededor de un punto de equilibrio.
3) La ecuación matemática que describe el movimiento armónico simple es una ecuación diferencial cuya solución es una función seno o coseno con argumento pro
La mecánica se define como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se divide en mecánica de cuerpos rígidos, mecánica de cuerpos deformables y mecánica de fluidos. Los principios fundamentales incluyen las leyes de Newton y la ley del paralelogramo de fuerzas.
El documento describe el movimiento armónico simple (MAS), el cual es un tipo de movimiento vibratorio causado por la proyección de un movimiento circular uniforme en una línea recta. El MAS se caracteriza por una oscilación periódica entre dos puntos de retorno, siguiendo funciones senoidales y con velocidad y aceleración máximas en los puntos de retorno y mínimas en el punto de equilibrio. Algunos ejemplos de MAS son una masa colgada de un resorte y un péndulo simple.
El documento trata sobre el movimiento oscilatorio y el movimiento armónico simple. Explica que el movimiento oscilatorio ocurre cuando una masa oscila de un lado a otro de su punto de equilibrio debido a una fuerza recuperadora, como la de un resorte. Define el movimiento armónico simple y presenta ecuaciones que describen la elongación, velocidad y aceleración de un cuerpo que oscila de esta manera. También cubre conceptos como periodo, frecuencia, energía potencial y energía cinética en el contexto del movimiento armónico simple.
O documento discute cinemática de partículas, incluindo movimento retilíneo e curvilíneo. Aborda conceitos como posição, velocidade, aceleração e como determinar o movimento de uma partícula a partir destas grandezas. Apresenta exemplos numéricos de problemas de movimento retilíneo uniforme e uniformemente acelerado.
Este documento presenta información sobre el análisis de vibraciones aplicado al mantenimiento de máquinas. Explica diferentes tipos de vibraciones, defectos comunes que pueden ser identificados a través del análisis de vibraciones como desbalance, fallas en rodamientos, problemas en bandas y engranes. También describe ventajas del análisis de vibraciones como detección temprana de defectos y programación anticipada de mantenimiento.
El documento trata sobre los riesgos de las vibraciones en el equipo pesado y las herramientas. Explica que la exposición frecuente a vibraciones altas puede causar lesiones permanentes en las manos, brazos y espalda. También describe cómo reducir los riesgos mediante el uso correcto del equipo, rotación de tareas, y mantenimiento preventivo. El objetivo es crear conciencia sobre este peligro ocupacional y promover prácticas seguras.
El documento describe las vibraciones mecánicas. Explica que las vibraciones son oscilaciones alternativas alrededor de una posición de equilibrio. Las vibraciones pueden ser libres o forzadas dependiendo de si hay una fuerza externa aplicada. También cubre la clasificación de las vibraciones, la ecuación diferencial que las describe, y el fenómeno de resonancia que ocurre cuando la frecuencia forzada es igual a la frecuencia natural del sistema.
El documento consiste en repetidas entradas idénticas que presentan la información de Josué Arturo Cedeño González, estudiante de Ingeniería Mecánica Industrial en la Universidad Tecnológica de Panamá.
1) El documento presenta antecedentes históricos sobre el estudio de las vibraciones, desde instrumentos musicales antiguos hasta los descubrimientos de Pitágoras, Galileo y otros. 2) Explica conceptos básicos como grados de libertad, vibración libre y forzada, y clasifica las vibraciones. 3) Detalla aplicaciones e importancia de estudiar las vibraciones en ingeniería, incluyendo efectos en máquinas, estructuras y diseño.
Este documento describe diferentes técnicas de análisis de vibraciones utilizadas para el mantenimiento predictivo de maquinaria, incluyendo análisis espectral, de forma de onda, de fase, promedios sincrónicos y transformadas tiempo-frecuencia. También discute la normativa aplicable para la evaluación de vibraciones en máquinas rotatorias, de movimiento alternativo, estructuras y su efecto en personas. El objetivo general del análisis de vibraciones es extraer información sobre el estado de la maquinaria para predecir fallas y
Este documento trata sobre el análisis de vibraciones mecánicas. Explica que cada máquina tiene una firma de vibración única determinada por su diseño y componentes. Mediante el análisis espectral de vibraciones se pueden detectar problemas en máquinas con suficiente anticipación. Describe conceptos como amplitud, frecuencia, desbalance, desalineamiento, resonancia y etapas de falla en rodamientos, así como su detección a través del análisis de vibraciones.
Este documento trata sobre las vibraciones y la resonancia en sistemas mecánicos. Explica las frecuencias naturales de vibración en sistemas resorte-masa y el movimiento armónico simple. También describe el batimiento, las oscilaciones amortiguadas y la resonancia. Para que ocurra la resonancia, se requiere de un sistema elástico con frecuencias naturales, una fuerza externa periódica, y una coincidencia entre ambas frecuencias.
Este documento presenta información sobre vibraciones y vibraciones libres amortiguadas. Explica que las vibraciones son movimientos oscilatorios alrededor de una posición de equilibrio y que cuando existe rozamiento viscoso no despreciable se denominan vibraciones amortiguadas. Luego describe los tres tipos de amortiguamiento: sobrecrítico, críticamente amortiguado y subcrítico. Finalmente, presenta un ejercicio sobre el decremento logarítmico y concluye explicando que las estructuras civiles son sistemas sub
El documento describe los principales aspectos de los cuidados respiratorios. Explica la anatomía del aparato respiratorio, el intercambio gaseoso, el funcionamiento del diafragma y los patrones respiratorios. Además, detalla diferentes técnicas para la tos, la expectoración y la permeabilización de las vías respiratorias, así como el uso de aparatología como el espirómetro y el flutter.
Este documento presenta conceptos clave sobre ondas mecánicas. Explica que una onda mecánica es una perturbación física que se propaga a través de un medio elástico, y define términos como periodo, frecuencia, longitud de onda y velocidad de onda. También distingue entre ondas transversales y longitudinales, y describe cómo se forman ondas estacionarias a través de la interferencia de ondas. Finalmente, presenta fórmulas para calcular la velocidad, frecuencia característica y energía de diferentes
Este documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Explica la cinemática, dinámica y ecuación básica del movimiento armónico simple, así como conceptos como vectores de rotación, energía del oscilador, péndulos y superposición de movimientos armónicos simples. También incluye una bibliografía al final.
Este documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Incluye secciones sobre la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple, vectores de rotación, ecuación básica del movimiento armónico simple, péndulos y superposición de movimientos armónicos simples. Explica conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, fase y energía asociada al movimiento armónico simple.
Este documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Incluye secciones sobre la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple, vectores de rotación, ecuación básica del movimiento armónico simple, péndulos y superposición de movimientos armónicos simples. Explica conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, fase y energía asociada al movimiento armónico simple.
Este documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Incluye secciones sobre la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple, vectores de rotación, ecuación básica del movimiento armónico simple, péndulos y superposición de movimientos armónicos simples. Explica conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, fase y energía asociada al movimiento armónico simple.
Este documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Incluye secciones sobre la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple, vectores de rotación, ecuación básica del movimiento armónico simple, péndulos y superposición de movimientos armónicos simples. Explica conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, fase y energía asociada al movimiento armónico simple.
Este documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Incluye secciones sobre la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple, vectores de rotación, ecuación básica del movimiento armónico simple, péndulos y superposición de movimientos armónicos simples. Explica conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, fase y energía asociada al movimiento armónico simple.
Este documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Incluye secciones sobre la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple, vectores de rotación, ecuación básica del movimiento armónico simple, péndulos y superposición de movimientos armónicos simples. Explica conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, fase y energía asociada al movimiento armónico simple.
El documento trata sobre la cinemática y dinámica de la vibración. Explica conceptos básicos como grados de libertad, movimiento armónico, uso de fasores y clasificación de vibraciones. Luego describe el movimiento armónico simple, incluyendo su cinemática, representación con vectores de rotación, ecuación básica y energía asociada. Finalmente, menciona brevemente los péndulos como un ejemplo de sistema oscilatorio.
El documento trata sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Explica la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple, incluyendo vectores de rotación, energía, ecuación básica y ejemplos como péndulos. También cubre superposición de movimientos armónicos simples.
Este documento presenta el tema 7 sobre movimientos oscilatorio y ondulatorio. Introduce el movimiento armónico simple (MAS), describiendo su cinemática, dinámica y energía. Explica que un MAS ocurre cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza proporcional a su desplazamiento. Presenta ejemplos como el péndulo simple y analiza conceptos como amplitud, frecuencia, periodo, fase y resonancia. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre movimiento ondulatorio y tipos de
Este documento presenta el tema 7 sobre movimientos oscilatorio y ondulatorio. Introduce el movimiento armónico simple (MAS), describiendo su cinemática, dinámica y energía. Explica que un MAS ocurre cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza proporcional a su desplazamiento. Presenta ejemplos como el péndulo simple y analiza conceptos como amplitud, frecuencia, periodo, fase y resonancia. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre movimiento ondulatorio y tipos de
Este documento presenta el tema 7 sobre movimientos oscilatorio y ondulatorio. Introduce el movimiento armónico simple (MAS), describiendo su cinemática, dinámica y energía. Explica que un MAS ocurre cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza proporcional a su desplazamiento. Presenta ejemplos como el péndulo simple y analiza conceptos como amplitud, frecuencia, periodo, fase y energía de un oscilador armónico. Finalmente introduce conceptos básicos sobre movimiento on
1) El documento presenta información sobre varios temas de física como movimiento armónico simple, sistemas masa-resorte, péndulo simple y oscilaciones, y hidrostática. 2) Incluye ecuaciones y definiciones clave de cada tema así como descripciones de experimentos realizados. 3) El autor es Humberto Rodríguez y la materia es física para el semestre 1.
Este documento describe el movimiento armónico simple (MAS), incluyendo que la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él, y que para pequeñas oscilaciones un péndulo simple se comporta como un oscilador armónico. También explica que la energía cinética de un oscilador puede convertirse en energía potencial elástica y viceversa, y que la resonancia ocurre cuando la frecuencia externa coincide con la frecuencia natural del oscilador.
El documento trata sobre vibraciones y ondas. Explica el movimiento oscilatorio armónico simple, describiendo su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También analiza las características de las ondas, como su periodicidad espacial y temporal y su velocidad de propagación. Por último, diferencia las propiedades de las ondas y las partículas.
El documento trata sobre el movimiento oscilatorio armónico simple (M.O.A.S.). Explica que la posición en el M.O.A.S. puede describirse mediante una función periódica del coseno o seno. Presenta la ecuación que relaciona la posición con el tiempo y define los parámetros de amplitud, pulsación y fase. Luego analiza las expresiones para la velocidad y aceleración en términos de estos parámetros. Finalmente, relaciona la pulsación con las características del oscilador a través
Este documento describe los aspectos generales del movimiento periódico y oscilatorio, incluidos ejemplos comunes en la naturaleza como el movimiento de un péndulo o una masa sujeta a un resorte. Luego, se enfoca en describir el movimiento armónico simple (MAS), cuya característica fundamental es que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. Finalmente, analiza la cinemática de un MAS, relacionando la posición, velocidad y aceleración a través de funciones coseno y seno
El movimiento armónico simple (MAS) describe la oscilación periódica de un objeto alrededor de una posición de equilibrio debido a una fuerza recuperadora proporcional a su desplazamiento. Un ejemplo clásico es el sistema masa-resorte, donde la fuerza del resorte es proporcional a la elongación de la masa de su posición de equilibrio y dirigida hacia ésta, dando lugar a oscilaciones sinusoidales descritas por la ecuación diferencial característica del MAS.
El documento describe el movimiento oscilatorio y el movimiento armónico simple. Explica que un movimiento oscilatorio implica que un objeto se mueve hacia atrás y hacia adelante alrededor de una posición de equilibrio debido a una fuerza restauradora. El movimiento armónico simple sigue una función senoidal y ocurre cuando la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. También se relaciona el movimiento armónico simple con el movimiento circular uniforme a través de la proyección de la posición de un objeto en rot
Este documento describe el movimiento oscilatorio y el movimiento armónico simple. Explica que el movimiento oscilatorio involucra vibraciones o oscilaciones de sistemas mecánicos como masas suspendidas de resortes u objetos como péndulos. El movimiento armónico simple se produce cuando una fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y sigue una función sinusoidal. Las ecuaciones que describen este movimiento contienen términos como la amplitud, la frecuencia y la fase inicial. Finalmente, se relaciona el movimiento armónico
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
1. ALUMNO: CCORIMANYA CALDERON,
JOEL
DOCENTE: Ing. Jorge Sánchez
Espinoza.
CURSO: FISICA
TEMA: Movimiento armónico simple (en que
consiste), el péndulo, centro de
oscilación.
TRABAJO DE INVESTIGACION
2. Movimiento armónico simple
.
6.1.- Cinemática del movimiento armónico simple (M.A.S.).6.1.- Cinemática del movimiento armónico simple (M.A.S.).
6.2.- Vectores de rotación o fasores.6.2.- Vectores de rotación o fasores.
6.3.- Dinámica de un oscilador libre. Energía del M.A.S.6.3.- Dinámica de un oscilador libre. Energía del M.A.S.
6.4.- Ecuación básica del M.A.S.6.4.- Ecuación básica del M.A.S.
6.5.- Péndulos.6.5.- Péndulos.
6.6.- Superposición de MM.AA.SS.6.6.- Superposición de MM.AA.SS.
6.7.- Dinámica de un oscilador amortiguado.6.7.- Dinámica de un oscilador amortiguado.
6.8.- Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias.6.8.- Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias.
Bibliografía:Bibliografía:
Título: Física. Aut.: M. Alonso, E. J. Finn Ed.: Addison-Wesley Año: 1995. Tema: 10.Título: Física. Aut.: M. Alonso, E. J. Finn Ed.: Addison-Wesley Año: 1995. Tema: 10.
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3. 6.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).
• ¿Qué es un movimiento oscilatorio?¿Qué es un movimiento oscilatorio?
Una partícula tiene unUna partícula tiene un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio cuando se mueve periódicamentecuando se mueve periódicamente
alrededor de una posición de equilibrio (movimiento de un péndulo, de un peso unidoalrededor de una posición de equilibrio (movimiento de un péndulo, de un peso unido
a un resorte, de los átomos en un sólido y en una molécula, de los electrones en unaa un resorte, de los átomos en un sólido y en una molécula, de los electrones en una
antena,...). Su estudio es esencial para entender el movimiento ondulatorio.antena,...). Su estudio es esencial para entender el movimiento ondulatorio.
• ¿Qué es un movimiento armónico simple (MAS)?¿Qué es un movimiento armónico simple (MAS)?
Es elEs el más importantemás importante de los movimientos oscilatorios (representa a muchasde los movimientos oscilatorios (representa a muchas
oscilaciones presentes en la naturaleza), pero también eloscilaciones presentes en la naturaleza), pero también el más sencillomás sencillo de describir yde describir y
analizar.analizar. No todos los movimientos oscilatorios son armónicosNo todos los movimientos oscilatorios son armónicos..
• Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)
Una partícula tiene unUna partícula tiene un MASMAS si susi su desplazamientodesplazamiento xx respecto el origen es,respecto el origen es,
( )0cos ϕ+ω= tAx
0ϕ+ωt Ángulo de fase o faseÁngulo de fase o fase
0ϕ Fase inicial (fase cuandoFase inicial (fase cuando t =0t =0))
Como el coseno varía entreComo el coseno varía entre +1+1 yy –1–1,, xx toma valores entretoma valores entre AA yy -A-A
A Amplitud (máximo desplazamiento)Amplitud (máximo desplazamiento)
ωπ= 2P Periodo (intervalo de tiempo paraPeriodo (intervalo de tiempo para
el que el valor deel que el valor de xx se repite)se repite)
Equilibrio
P1=ν Frecuencia (se mide enFrecuencia (se mide en hertzhertz))
πν=π=ω 22 P Frecuencia angularFrecuencia angular
3
4. 6.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).
LaLa velocidadvelocidad vv de una partícula que tiene unde una partícula que tiene un MASMAS es,es,
( )0sen ϕ+ωω−== tA
dt
dx
v Varía periódicamente entre los valoresVaría periódicamente entre los valores ωωAA yy
--ωωAA
LaLa aceleraciónaceleración aa de una partícula que tiene unde una partícula que tiene un MASMAS es,es,
( ) xtA
dt
dv
a 2
0
2
cos ω−=ϕ+ωω−== Varía periódicamente entre los valoresVaría periódicamente entre los valores ωω22
AA yy --ωω22
AA..
En el MASEn el MAS aa es proporcional y opuesta aes proporcional y opuesta a xx..
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
Representación del desplazamiento en
función del tiempo
4
5. 6.2 – Vectores de rotación o fasores.
• Vectores de rotación o fasores.Vectores de rotación o fasores.
ElEl desplazamientodesplazamiento de una partícula que se mueve con unde una partícula que se mueve con un MASMAS se puede considerarse puede considerar
como la ccomo la componenteomponente XX de un vector de longitudde un vector de longitud OP’= AOP’= A; este vector rota en sentido; este vector rota en sentido
contrario a las agujas del reloj alrededor decontrario a las agujas del reloj alrededor de OO con velocidad angularcon velocidad angular ωω y en caday en cada
instante forma un ánguloinstante forma un ángulo ((ωωt+t+ αα)) con el ejecon el eje XX..
X
O
Para t > 0
Y
P’
A
ωt+ϕ0 P
( )0cos ϕ+ω= tAx
ωt
X
Y
O
P’
A
ϕ0 P
0cosϕ= Ax
Para t = 0
( )0cos ϕ+ω= tAx
X
Y
O
P’
A
ωt+ ϕ0
P
ωt
X
Y
P’
A
ωt+ ϕ0
x
ωA
ω2
A
V’
A’
va O
π/2
π
( )
( ) ( )
( ) ( )π+ϕ+ωω=α+ωω−=
π+ϕ+ωω=α+ωω−=
ϕ+ω==
0
22
0
0
coscos
2cossen
cos
tAtAa
tAtAv
tAOPx
5
6. 6.3 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.
• Aplicando laAplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton, se tiene que, se tiene que la fuerzala fuerza que tiene que actuar sobreque tiene que actuar sobre
una partícula de masa m que se mueve con ununa partícula de masa m que se mueve con un MASMAS es,es,
maF =
ComoComo xa 2
ω−=
xmF 2
ω−=
En un MASEn un MAS FF es proporcional y opuesta aes proporcional y opuesta a
xx
kxF −=
LlamandoLlamando
2
ω= mk Constante elásticaConstante elástica
• De este modo, se puede escribirDe este modo, se puede escribir
• Dinámica del MAS.Dinámica del MAS.
mk=ω2
ω= mk
k
m
P π= 2ωπ= 2P
m
k
π
=ν
2
1
P1=ν
6
7. 6.3 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.
• Se obtiene laSe obtiene la energía potencialenergía potencial a partir dea partir de
dx
dEp
Fx −=
ComoComo kxFx −=
kx
dx
dEp
= ∫∫ =
xEp
kxdxdEp
00
IntegrandoIntegrando
22
2
12
2
1
xmkxEp ω==
LaLa EpEp es cero en el centroes cero en el centro ((x=0x=0)) y máximay máxima
en los extremos de oscilaciónen los extremos de oscilación ((x=x=±±AA))
• LaLa energía totalenergía total del MAS esdel MAS es
( ) 22
2
1222
2
1
xmxAmEpEcE ω+−ω=+= 2
2
122
2
1
kAAmE =ω= EE es constantees constante
• LaLa energía cinéticaenergía cinética de una partícula que se mueve con un MAS esde una partícula que se mueve con un MAS es
( ) ( )[ ]0
222
2
1
0
222
2
12
2
1
cos1sen
2
ϕ+ω−ω=ϕ+ωω== tAmtAmmvEc
v
( )0cos ϕ+ω= tAxComoComo
[ ] [ ]22
2
1222
2
1
xAkxAmEc −=−ω=LaLa EcEc es máxima en el centroes máxima en el centro ((x=0x=0)) y ceroy cero
en los extremos de oscilaciónen los extremos de oscilación ((x=x=±±AA))
• Energía del MAS.Energía del MAS.
7
8. 6.3 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.
Ec
Ep
Epm
Ecm
Ep
Ep
Ep
Ec
Representación de la energía cinética y potencial
frente al tiempo
Representación de la energía potencial
frente al desplazamiento
8
9. 6.4 – Ecuación básica del MAS.
• Se obtiene combinando laSe obtiene combinando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton con la expresión de lacon la expresión de la fuerza quefuerza que
produce un MASproduce un MAS. Esto es,. Esto es,
−=
==
kxF
dt
xd
mmaF 2
2
Ecuación básicaEcuación básica
del MASdel MAS
kx
dt
xd
m −=2
2
02
2
=+ kx
dt
xd
m
ComoComo mk=ω2
02
2
2
=ω+ x
dt
xd
• EsEs soluciónsolución de esta ecuación (puede verificarse sustituyendo la solución en lade esta ecuación (puede verificarse sustituyendo la solución en la
ecuación)ecuación)
( )0cos ϕ+ω= tAx
• Y también sonY también son soluciónsolución de la mismade la misma
( ) tBtAxtAx ω+ω=ϕ+ω= cossen,sen 0
• EstaEsta ecuación básicaecuación básica aparece en muchasaparece en muchas situaciones físicassituaciones físicas. Siempre que aparezca. Siempre que aparezca
es una indicación de que eles una indicación de que el fenómeno es oscilatoriofenómeno es oscilatorio y corresponde ay corresponde a un MASun MAS..
9
10. 6.5 – Péndulos.
• Péndulo simple.Péndulo simple.
• Se define como una partícula de masaSe define como una partícula de masa mm suspendida de un puntosuspendida de un punto OO mediante una cuerda demediante una cuerda de
longitudlongitud ll y masa despreciable.y masa despreciable.
• CuandoCuando mm se separa de la posición de equilibrio y se sueltase separa de la posición de equilibrio y se suelta
describe undescribe un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio, que se debe a la, que se debe a la
componente tangencial del pesocomponente tangencial del peso..
• Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencialAplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial
se obtienese obtiene
α== mlmaF tt 2
2
sen
dt
d
mlmg
θ
=θ− 0sen2
2
=θ+
θ
l
g
dt
d
• Que difiere de laQue difiere de la ecuación básica de un MASecuación básica de un MAS por el términopor el término
sensenθθ. Sin embargo si el. Sin embargo si el ánguloángulo θθ eses muy pequeñomuy pequeño, entonces, entonces
sensenθθ ≅≅ θθ y se tieney se tiene
02
2
=θ+
θ
l
g
dt
d Ecuación básica de un MASEcuación básica de un MAS
de frecuenciade frecuencia lg=ω2
• Y su solución es unY su solución es un MASMAS cuya expresión escuya expresión es
( )00 cos ϕ+ωθ=θ t
siendo elsiendo el periodo de oscilaciónperiodo de oscilación
g
l
P π= 2
10
11. 6.5 – Péndulos.
• Péndulo compuesto.Péndulo compuesto.
• Se define como unSe define como un sólido rígidosólido rígido suspendida de un puntosuspendida de un punto OO que pasa por un pivote.que pasa por un pivote.
• Cuando el sólido se separa de la posición de equilibrio y seCuando el sólido se separa de la posición de equilibrio y se
suelta describe unsuelta describe un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio, debido al momento, debido al momento
de la fuerza producido por el peso.de la fuerza producido por el peso.
• Aplicando la ecuación fundamental de la dinámicaAplicando la ecuación fundamental de la dinámica
α= IMO 2
2
sen
dt
d
ImgD
θ
=θ− 0sen2
2
=θ+
θ
I
mgD
dt
d
• Que difiere de laQue difiere de la ecuación básica de un MASecuación básica de un MAS por el términopor el término
sensenθθ. Sin embargo si el. Sin embargo si el ánguloángulo θθ eses muy pequeñomuy pequeño, entonces, entonces
sensenθθ ≅≅ θθ y se tieney se tiene
02
2
=θ+
θ
I
mgD
dt
d Ecuación básica de un MASEcuación básica de un MAS
de frecuenciade frecuencia ImgD=ω2
• Y su solución es unY su solución es un MASMAS cuya expresión escuya expresión es
( )00 cos ϕ+ωθ=θ t
siendo elsiendo el periodo de oscilaciónperiodo de oscilación
mgD
I
P π= 2
Pivote
O
11
12. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Superposición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia.Superposición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia.
Cuando una partícula está sometida a más de una fuerza armónica se dice que existeCuando una partícula está sometida a más de una fuerza armónica se dice que existe
unauna interferencia o superposicióninterferencia o superposición de movimientos armónicos simples. Se observande movimientos armónicos simples. Se observan
sobre la superficie del agua cuando se lanzan dos piedras, y son importantes ensobre la superficie del agua cuando se lanzan dos piedras, y son importantes en
óptica y en acústica.óptica y en acústica.
Sea una partícula sometida a dos MAS que actúan en laSea una partícula sometida a dos MAS que actúan en la misma direcciónmisma dirección y quey que
tienen latienen la misma frecuenciamisma frecuencia. El. El desplazamientodesplazamiento producido por cada MAS esproducido por cada MAS es
( )δ+ω=
ω=
tAx
tAx
cos
cos
22
11 La fase de xLa fase de x11 es ceroes cero
La fase de xLa fase de x22 eses δδ (diferencia de fase)(diferencia de fase)
ElEl desplazamiento resultantedesplazamiento resultante de la partícula viene dado porde la partícula viene dado por
( )δ+ω+ω=+= tAtAxxx coscos 2121
y como se verá es un MAS con periodoy como se verá es un MAS con periodo
ωπ= 2P
12
13. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
A
A1
A2
x
tO x
ωt
y P’
P1’
P2’
• Primer caso especial. SiPrimer caso especial. Si δδ = 0= 0 ⇒⇒ los dos movimientos estánlos dos movimientos están en faseen fase..
ElEl movimiento resultantemovimiento resultante eses
( ) tAAtAtAxxx ω+=ω+ω=+= coscoscos 212121
y se trata de uny se trata de un MASMAS de lade la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular, que tiene, que tiene una amplituduna amplitud que esque es
igual aigual a
21 AAA +=
O
13
14. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Segundo caso especial. SiSegundo caso especial. Si δδ == ππ radrad ⇒⇒ los dos movimientos estánlos dos movimientos están en oposiciónen oposición..
En este caso el desplazamiento xEn este caso el desplazamiento x22 eses
( ) tAAtAtAxxx ω−=ω−ω=+= coscoscos 212121
y se trata de uny se trata de un MASMAS de lade la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular, que tiene, que tiene una amplituduna amplitud que esque es
igual aigual a
21 AAA −=
( ) tAtAx ω−=π+ω= coscos 222
y ely el movimiento resultantemovimiento resultante eses
A
A1
A2
x
tO x
ωt
y
P’
P1’
P2’
π
O
14
15. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Caso general. SiCaso general. Si δδ toma un valor arbitrario.toma un valor arbitrario.
De la representación como vectores rotantes se observa que el movimientoDe la representación como vectores rotantes se observa que el movimiento
resultante es unresultante es un MASMAS de lade la misma frecuenciamisma frecuencia yy una amplituduna amplitud dada pordada por
( ) ( )02121 coscoscos ϕ+ω=δ+ω+ω=+= tAtAtAxxx
y cuyoy cuyo desplazamiento resultantedesplazamiento resultante eses
A
A1
A2
x
tO
δ++= cos2 21
2
2
2
1 AAAAA
x
ωt
y
P’
P1’
P2’
δ ϕ0
O
A1
A2
A
15
16. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Superposición de dos MAS de la misma dirección pero distinta frecuencia.Superposición de dos MAS de la misma dirección pero distinta frecuencia.
Es el tipo de interferencia que resulta cuando dos señales de radio son trasmitidasEs el tipo de interferencia que resulta cuando dos señales de radio son trasmitidas
con frecuencias cercanas pero no iguales.con frecuencias cercanas pero no iguales.
Consideremos que los MAS que se superponen vienen dados por las ecuacionesConsideremos que los MAS que se superponen vienen dados por las ecuaciones
tAxtAx 222111 cos,cos ω=ω= La fase inicial de ambos es cero por simplicidadLa fase inicial de ambos es cero por simplicidad
x
ω1t
y
P’
P1’
P2’
ω2t
(ω2- ω1)t
O
A
A1
A2
ElEl ánguloángulo entre los vectores de rotaciónentre los vectores de rotación OPOP11’’ yy OPOP22’’ eses
( )ttt 1212 ω−ω=ω−ω No es constanteNo es constante
Por lo que el vectorPor lo que el vector OP’OP’ no tiene longitud constante y lano tiene longitud constante y la amplitudamplitud
del movimiento resultantedel movimiento resultante eses
( )tAAAAA 1221
2
2
2
1 cos2 ω−ω++=
EstaEsta amplitud varía u oscilaamplitud varía u oscila entre los valoresentre los valores
21 AAA += sisi ( ) π=ω−ω nt 212
21 AAA −= sisi ( ) π+π=ω−ω nt 212
A
tO
A1+A2
A1−A2
Amplitud moduladaAmplitud modulada
Por tanto el movimiento resultante en este casoPor tanto el movimiento resultante en este caso
21 xxx += No es un MASNo es un MAS
16
17. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Caso especialCaso especial ⇒⇒ cuandocuando AA11==AA22
Entonces la amplitud del movimiento resultante esEntonces la amplitud del movimiento resultante es
( ) ( )[ ]tAtAAA 12112
2
1
2
1 cos12cos22 ω−ω+=ω−ω+=
ComoComo θ=θ+ 2
12
cos2cos1
( )tAA 122
1
1cos2 ω−ω= Que oscila entreQue oscila entre 00 yy 22AA11
x
x1,x2
A
x1+x2
x1
x2
17
18. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 18
• En unEn un MASMAS lala amplitudamplitud y lay la energíaenergía de la partícula que oscilade la partícula que oscila se mantienen constantese mantienen constante..
• Sin embargo en unSin embargo en un sistema realsistema real, como un péndulo o resorte, se observa, como un péndulo o resorte, se observa
queque la amplitud de la vibración disminuye con el tiempola amplitud de la vibración disminuye con el tiempo, ya que hay una, ya que hay una
pérdida de energíapérdida de energía. Se dice que la. Se dice que la oscilación está amortiguadaoscilación está amortiguada..
• Para el análisis dinámico del oscilador dinámico, se puede suponer quePara el análisis dinámico del oscilador dinámico, se puede suponer que
además de la fuerza elástica, también actúa unaademás de la fuerza elástica, también actúa una fuerza disipativa que sefuerza disipativa que se
opone a la velocidadopone a la velocidad, de la forma, de la forma
bvFd −= bb es una constante que indica la intensidad de laes una constante que indica la intensidad de la
fuerza disipativafuerza disipativa
• Aplicando laAplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton se tiene entonces quese tiene entonces que
mabvkx
del FF
=−−
2
2
dt
xd
m
dt
dx
bkx =−− 02
2
=++ kx
dt
dx
b
dt
xd
m
dividiendo pordividiendo por mm
02 2
02
2
=ω+γ+ x
dt
dx
dt
xd dondedonde
mk
mb
=ω
=γ
0
2
FrecuenciaFrecuencia
naturalnatural
• LaLa frecuencia naturalfrecuencia natural es aquella que tendría el oscilador si la fuerza disipativa noes aquella que tendría el oscilador si la fuerza disipativa no
estuviera presente.estuviera presente.
Ecuación básica de unEcuación básica de un
oscilador amortiguadooscilador amortiguado
19. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 19
1.-1.- Si laSi la fuerza disipativafuerza disipativa eses relativamente pequeñarelativamente pequeña ((bb pequeñopequeño yy γγ << ωω00).).
• ElEl desplazamientodesplazamiento está descrito porestá descrito por
m
b
m
k
2
2
22
0 −=γ−ω=ω
( )00 cos ϕ+ω= γ−
teAx t
observándose que laobservándose que la amplitud no es constanteamplitud no es constante (disminuye exponencialmente con(disminuye exponencialmente con tt))
• LaLa frecuenciafrecuencia viene dada porviene dada por
Se observa queSe observa que ωω << ωω00
A0
AmplitudAmplitud A=AA=A00ee--γγ tt
DesplazamientoDesplazamiento xx
PeriodoPeriodo PP
20. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 20
• Al ser laAl ser la energía proporcional a la amplitud al cuadradoenergía proporcional a la amplitud al cuadrado, también, también disminuye condisminuye con tt
exponencialmenteexponencialmente
• Se define elSe define el tiempo de relajacióntiempo de relajación comocomo
( ) tt
eAmeAmAmE γ−γ−
ω=ω=ω= 22
0
2
2
1
2
0
2
2
122
2
1
LlamandoLlamando
2
0
2
2
1
0 AmE ω=
t
eEE γ−
= 2
0
b
m
==τ γ2
1 Es el tiempo necesario para que la energía se reduzcaEs el tiempo necesario para que la energía se reduzca
un número e de veces su valor originalun número e de veces su valor original
y lay la energíaenergía se puede expresar comose puede expresar como τ−
= t
eEE 0
• Se define elSe define el factor de calidadfactor de calidad comocomo
b
m
Q 0
0
ω
=τω=
Está relacionado con la pérdida relativa de energía porEstá relacionado con la pérdida relativa de energía por
ciclo.ciclo.
se puede demostrar que else puede demostrar que el factor de calidadfactor de calidad es igual aes igual a
( )ciclo
2
EE
Q
∆
π
= Es inversamente proporcional a la pérdida de energíaEs inversamente proporcional a la pérdida de energía
relativa por ciclo.relativa por ciclo.
21. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 21
2.-2.- Si laSi la fuerza disipativafuerza disipativa alcanza unalcanza un valor críticovalor crítico (( γγ == ωω00 yy bb ==2m2m ωω00 ).).
• En este caso la frecuencia del movimiento seráEn este caso la frecuencia del movimiento será
El sistema al ser desplazado de su posición de equilibrio vuelve a éstaEl sistema al ser desplazado de su posición de equilibrio vuelve a ésta sin oscilarsin oscilar. Se. Se
dice que el sistema estádice que el sistema está amortiguado críticamenteamortiguado críticamente..
022
0 =γ−ω=ω No es un movimientoNo es un movimiento
oscilatorio.oscilatorio.
3.-3.- Si laSi la fuerza disipativafuerza disipativa supera estesupera este valor críticovalor crítico (( γγ >> ωω00 yy bb >>2m2m ωω00 ).).
• En este casoEn este caso tampoco hay oscilacióntampoco hay oscilación, y el sistema al desplazarse vuelve a la posición, y el sistema al desplazarse vuelve a la posición
de equilibrio, perode equilibrio, pero más lentamente que con amortiguación críticamás lentamente que con amortiguación crítica. Se dice que el. Se dice que el
sistema estásistema está sobremortiguado.sobremortiguado.
Amortiguado críticamenteAmortiguado críticamente
SobreamortiguadoSobreamortiguado
22. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias 22
• Un oscilador forzado dejará de moverse transcurrido un tiempo. Podemos mantenerUn oscilador forzado dejará de moverse transcurrido un tiempo. Podemos mantener
una partícula oscilando con amplitud constante aplicando unauna partícula oscilando con amplitud constante aplicando una fuerza externafuerza externa que varíeque varíe
con el tiempo de forma periódica. En este caso el movimiento resultante se dice que escon el tiempo de forma periódica. En este caso el movimiento resultante se dice que es
unauna oscilación forzadaoscilación forzada..
• Para el análisis dinámico del oscilador forzadoo, se puedePara el análisis dinámico del oscilador forzadoo, se puede
suponer que además de la fuerza elástica y la fuerzasuponer que además de la fuerza elástica y la fuerza
disipativa, también actúa unadisipativa, también actúa una fuerza externafuerza externa, de la forma, de la forma
tFF fext ω= cos0
• Aplicando laAplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton se tiene entonces quese tiene entonces que
mabvkxtF
del
ext
FF
F
f =−−ω
cos0 tFkx
dt
dx
b
dt
xd
m fω=++ cos02
2
0F
fω
Amplitud de la fuerza externaAmplitud de la fuerza externa
Frecuencia de la fuerza externaFrecuencia de la fuerza externa
dividiendo pordividiendo por mm
t
m
F
x
dt
dx
dt
xd
fω=ω+γ+ cos2 02
02
2
Ecuación básica de unEcuación básica de un
oscilador forzadooscilador forzado
dondedonde
mk
mb
=ω
=γ
0
2
FrecuenciaFrecuencia
naturalnatural
23. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias. 23
• La solución de esta ecuación consta de dos partes, laLa solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoriasolución transitoria y lay la soluciónsolución
estacionariaestacionaria. La. La parte transitoriaparte transitoria es idéntica a la de un oscilador amortiguado yes idéntica a la de un oscilador amortiguado y
transcurrido cierto tiempo se hace despreciable (disminuye exponencialmente con eltranscurrido cierto tiempo se hace despreciable (disminuye exponencialmente con el
tiempo). Así solo queda latiempo). Así solo queda la parte estacionariaparte estacionaria que puede expresarse comoque puede expresarse como
( )δ−ω= tAx fsen La partícula oscila con laLa partícula oscila con la
frecuencia de la fuerza externafrecuencia de la fuerza externa
x
tO
SoluciónSolución
transitoriatransitoria
Solución estacionariaSolución estacionaria
24. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias. 24
( ) ( ) 2222
0
2
0
22
0
ffff
f
bmm
F
bkm
F
A
ω+ω−ω
=
+ω−ω
ω
=
donde ladonde la amplitudamplitud yy la fase inicial de la oscilación forzadala fase inicial de la oscilación forzada vienen dadas porvienen dadas por
f
f
γω
ω−ω
=δ
2
tan
22
0
A
F0/k
ωf0 ω0
bb22
bb11
b = 0b = 0
• LaLa amplitud es máximaamplitud es máxima cuandocuando
22
0 2γ−ω=ωf
• LaLa velocidadvelocidad de un oscilador forzado esde un oscilador forzado es
Resonancia enResonancia en
amplitudamplitud
( )δ−ωω== tA
dt
dx
v ff cos
• LaLa amplitud de la velocidadamplitud de la velocidad eses
( ) 22
0
0
bkm
F
Av
ff
f
+ω−ω
=ω=
bb22 >> bb11 >> bb=0=0
25. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias. 25
• Cuando hayCuando hay resonancia en energíaresonancia en energía se tiene quese tiene que
• EnEn resonanciaresonancia, la, la velocidad está en fase con lavelocidad está en fase con la
fuerza aplicadafuerza aplicada. Como la. Como la potencia transmitida alpotencia transmitida al
osciladoroscilador por la fuerza aplicada espor la fuerza aplicada es
FvP =
• LaLa amplitud de la velocidadamplitud de la velocidad es máxima, y por tanto la energía cinética del osciladores máxima, y por tanto la energía cinética del oscilador
también es máxima, cuandotambién es máxima, cuando
mkf =ω=ω 0 Resonancia en energíaResonancia en energía
v0
ωf0 ω0
bb22
bb11
b = 0b = 0
bb33
0
2
tan
22
0
=
γω
ω−ω
=δ
f
f
0=δ
esta cantidadesta cantidad siempre es positivasiempre es positiva cuandocuando lala
fuerza y la velocidad están en fasefuerza y la velocidad están en fase, y es por tanto, y es por tanto
la condición más favorable para la transferenciala condición más favorable para la transferencia
de energía al oscilador.de energía al oscilador.
bb33 > b> b22 >> bb11 >> bb=0=0