Antecedentes

1. VIBRACIONES
Presenta: Dr. Ing. Ángel Francisco Villalpando Reyna
Ingeniería Mecatronica
Tema 1. Antecedentes

2. Objetivo
• Antecedentes de los fenómenos de vibración
• Definición e importancia de la vibración en los sistemas mecánicos.
• Aplicación de las vibraciones

3. Antecedentes
El interés en la vibración surge cuando se crean los primeros instrumentos
musicales, probablemente silbatos o tambores.
Desde entonces, tanto músicos como filósofos han buscado las reglas y las leyes
de la producción del sonido, las han utilizado para mejorar los instrumentos
musicales, y las han pasado de generación en generación. Ya en el año 4000 a.C.
[1.1], la música había alcanzado un desarrollo notable en muchas culturas de
oriente y occidente

4. Uno de los instrumentos de cuerda más primitivos, la nanga, se parece a un
arpa de tres o cuatro cuerdas, y cada cuerda produce sólo una nota; en el
Museo Británico se encuentra un ejemplar que data de 1500 años a.C. Ahí
mismo se exhibe un arpa de 11 cuerdas, decorada en oro y con caja de
resonancia en forma de cabeza de toro, la cual se encontró en Ur en una
tumba real que data de aproximadamente 2600 años a.C.

5. • Nuestro sistema musical actual tiene sus bases en la civilización
griega antigua. Se considera que el filósofo y matemático griego
Pitágoras (582-507 a.C.) fue la primera persona que investigó el
sonido musical con una base científica (figura 1.1). Entre otras
cosas, Pitágoras realizó experimentos con una sola cuerda por
medio de un aparato sencillo llamado monocordio.

6. En el ejemplo que se muestra en la figura 1.2, los puentes de
madera 1 y 3 están fijos. El puente 2 es movible en tanto que la
tensión en la cuerda se mantiene constante mediante el peso
colgante.
Pitágoras observó que si se someten a la misma tensión dos
cuerdas similares de diferentes longitudes, la más corta emite
una nota más alta; además, si la cuerda más corta es de la
mitad de la longitud de la más larga, la más corta emitirá una
nota una octava arriba de la otra.

7. Se considera que Galileo Galilei (1564-1642) es el fundador de la ciencia
experimental moderna.
Galileo genero estudios del comportamiento de un péndulo simple, debido a su
observación de los movimientos de vaivén de una lámpara en una iglesia de Pisa.
En esa ocasión capto su atención y comenzó a medir el periodo los movimientos de
péndulo de la lámpara con su pulso, y para su sorpresa se dio cuenta de que el
tiempo era independiente de la amplitud de las oscilaciones.
Esto lo llevó a realizar más experimentos con el péndulo simple. En su obra Discorsi
e dimostrazione matematiche in torno a due nuove scienze (Diálogos sobre dos
nuevas ciencias), publicada en 1638, Galileo analizó los cuerpos vibratorios.
Describió la dependencia de la frecuencia de la vibración en la longitud de un
péndulo simple, junto con el fenómeno de vibraciones simpáticas (resonancia).

8. Se sabe desde hace mucho tiempo que los problemas básicos de mecánica, entre
ellos los de las vibraciones, son no lineales. Aun cuando los tratamientos lineales
adoptados son bastante satisfactorios.
Hasta hace aproximadamente 40 años, los estudios de vibración, incluso los que
tienen que ver con sistemas de ingeniería complejos, se realizaron utilizando modelos
brutos, con sólo unos cuantos grados de libertad. Sin embargo, el advenimiento de
computadoras de alta velocidad en la década de1950 hicieron posible tratar sistemas
moderadamente complejos
El desarrollo simultáneo del método del elemento finito permitió a los ingenieros
utilizar computadoras digitales para realizar el análisis de vibración numéricamente
detallado de sistemas mecánicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles de
grados de libertad [1.14].

9. Importancia del estudio de vibraciones
La mayoría de las actividades humanas implican vibración en una u otra
forma. Por ejemplo, oímos porque nuestros tímpanos vibran y vemos porque
las ondas luminosas vibran. La respiración está asociada con la vibración de
los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (periódico) de
piernas y manos. El habla humana requiere el movimiento oscilatorio de la
laringe (y la lengua)[1.17].
En años recientes, muchas aplicaciones de la vibración en el campo de la
ingeniería han motivado a los investigadores, entre ellas el diseño de
máquinas, cimientos, estructuras, motores, turbinas y sistemas de control.

10. La mayoría de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios
debido al desequilibrio inherente en los motores. El desequilibrio puede deberse al
diseño defectuoso o a una fabricación deficiente. El desequilibrio en motores diesel,
por ejemplo, puede provocar ondas terrestres suficientemente poderosas como
para provocar molestias en áreas urbanas.
En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecánicas espectaculares. Los
ingenieros aún no han sido capaces de evitar las fallas a consecuencia de las
vibraciones de aspas y discos en turbinas.

11. En todas estas situaciones, el componente de la estructura o máquina
sometido a vibración puede fallar debido a fatiga del material producida por
la variación cíclica del esfuerzo inducido.
Además, la vibración provoca un desgaste más rápido de las partes de la
máquina como cojinetes y engranes e incluso produce ruido excesivo. En
máquinas, la vibración puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En
procesos de corte de metal, la vibración puede provocar rechinidos, lo cual
conduce a un acabado deficiente de la superficie.

12. Siempre que la frecuencia natural de la vibración de una máquina o de una estructura coincide
con la frecuencia de la excitación externa se presenta un fenómeno conocido como resonancia,
el cual conduce a deflexiones y fallas excesivas. La literatura abunda en relatos de fallas de
sistemas provocadas por resonancia y vibración excesiva de los componentes y sistemas (vea la
figura 1.7).
Debido a los devastadores efectos que las vibraciones pueden tener en máquinas y
estructuras, las pruebas de vibración [1.18] se volvieron un procedimiento estándar en el
diseño y desarrollo de la mayoría de los sistemas de ingeniería (vea la figura 1.8).

13. La vibración y el ruido generados por motores molestan a las personas, y en ocasiones
producen daños a las propiedades. La vibración de los tableros de instrumentos puede
provocar su mal funcionamiento o dificultad para leer los medidores [1.19]. Por lo tanto,
uno de los propósitos importantes del estudio de la vibración es reducirla mediante el
diseño apropiado de máquinas y sus montajes.
En este sentido, el ingeniero mecánico trata de diseñar el motor o máquina de modo
que se reduzca el desequilibrio, mientras que el ingeniero estructural trata de diseñar la
estructura de soporte de modo que el efecto del desequilibrio no sea dañino [1.20].

14. A pesar de los efectos perjudiciales, la vibración puede utilizarse con provecho en varias
aplicaciones industriales y comerciales. De hecho, las aplicaciones de equipo vibratorio
se han incrementado considerablemente en años recientes [1.21].
Por ejemplo, la vibración se pone a trabajar en transportadoras vibratorias, tolvas,
tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes eléctricos, taladros de dentista,
relojes y unidades de masaje eléctricas. La vibración también se utiliza en el hincado de
pilotes, pruebas vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos
electrónicos para filtrar las frecuencias indeseables (vea la figura 1.9).

15. Conceptos Básicos
Vibración Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se
llama vibración u oscilación.
El vaivén de un péndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes
de vibración. La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio de los movimientos
oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.

16. Conceptos Básicos
Partes Elementales de Sistemas Vibratorios
Por lo común un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía potencial
(resorte o elasticidad), un medio para conservar energía cinética (masa o inercia) y un
medio por el cual la energía se pierde gradualmente (amortiguador).
La vibración de un sistema implica la transformación de su energía potencial en energía
cinética y de ésta en energía potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua,
una parte de su energía se disipa en cada ciclo de vibración y se le debe reemplazar por
una fuente externa para que se mantenga un estado de vibración estable.

17. Conceptos Básicos
Cantidad de grados de libertad
El mínimo de coordenadas independientes requerido para determinar por
completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo define
la cantidad de grados de libertad del sistema. El péndulo simple que se muestra
en la figura 1.10, así como cada uno de los sistemas de la figura 1.11, representa
un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento del
péndulo simple (figura 1.10) se puede formular o en función del ángulo θ o en
función de las coordenadas cartesianas x y y.

19. Conceptos Básicos
Cantidad de grados de libertad
Algunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en
la figuras 1.12 y 1.13, respectivamente. La figura 1.12(a) muestra un sistema de
dos masas y dos resortes descrito por las dos coordenadas lineales x1 y x2. La
figura 1.12(b) indica un sistema de dos rotores cuyo movimiento puede
especificarse en función de θ1 y θ2. El movimiento del sistema que se muestra
en la figura 1.12(c) puede describirse por completo con X o θ, o con x, y y X.

22. Clasificación de las vibraciones
La vibración se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificaciones importantes son
las siguientes.
Vibración libre. Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial,
la vibración resultante se conoce como vibración libre. Ninguna fuerza externa actúa en el
sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.
Vibración forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza
repetitiva), la resultante se conoce como vibración forzada. La oscilación que aparece en
máquinas como motores diésel es un ejemplo de vibración forzada.
Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema,
ocurre una condición conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente
grandes.

23. Vibración amortiguada y no amortiguada
Si no se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la vibración
se conoce como vibración no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración
amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que
puede ser ignorada en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la
consideración del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas
vibratorios próximos a la resonancia.
Vibración Lineal y No Lineal
Si todos los componentes básicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador,
se comportan linealmente, la vibración resultante se conoce como vibración lineal. Pero si
cualquiera de los componentes básicos se comporta de manera no lineal, la vibración se conoce
como vibración no lineal. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de sistemas
vibratorios lineales o no lineales son asimismo lineales o no lineales, respectivamente.

24. Vibración determinística y aleatoria
Si el valor o magnitud de la excitación (fuerza o movimiento) que actúa en un sistema vibratorio
se conoce en cualquier tiempo dado, la excitación se llama determinística. La vibración resultante
se conoce como vibración determinística.
En algunos casos la excitación es no determinística o aleatoria; el valor de la excitación en un
momento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilación de registros de la
excitación puede presentar cierta regularidad estadística.
Ejemplos de excitaciones aleatorias son la velocidad del viento, la aspereza del camino y el
movimiento de tierra durante sismos. Si la excitación es aleatoria, la vibración resultante se llama
vibración aleatoria.

25. Procedimiento del análisis de la vibración
Un sistema vibratorio es dinámico si variables como las excitaciones (entradas) y
respuestas (salidas) dependen del tiempo. La respuesta de un sistema vibratorio
suele depender tanto de las condiciones iniciales como de las excitaciones
externas. La mayoría de los sistemas vibratorios prácticos son muy complejos, y
es imposible considerar todos los detalles para un análisis matemático. En el
análisis sólo se consideran los detalles más importantes para predecir el
comportamiento del sistema
en condiciones de entrada específicas. A menudo se puede determinar el
comportamiento total del sistema por medio de un modelo simple del sistema
físico complejo.

26. Por lo que el análisis de un sistema vibratorio suele implicar el modelado
matemático, la derivación de las ecuaciones rectoras, la solución de las
ecuaciones y la interpretación de los resultados.
Paso 1: Modelado matemático. El propósito del modelado matemático es
representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar
las ecuaciones matemáticas (o analíticas) que rigen el comportamiento del
sistema. El modelo matemático puede ser lineal o no lineal, según el
comportamiento de los componentes del sistema.
veces el modelo matemático se mejora gradualmente para obtener resultados
más precisos. En este método primero se utiliza un modelo muy rústico o
elemental para tener una idea del comportamiento total del sistema. Luego se
refina el modelo con la inclusión de más componentes o detalles, de modo que
se pueda observar más de cerca el comportamiento del sistema.

27. Para ilustrar el procedimiento de refinamiento utilizado en el modelado
matemático, consideremos el martillo de forja de la figura 1.16(a).

28. Paso 2: Derivación de las ecuaciones rectoras. Una vez que el modelo matemático
está disponible, utilizamos el principio de dinámica y obtenemos las ecuaciones
que describen la vibración del sistema.
Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar de una forma adecuada
trazando los diagramas de cuerpo libre de todas las masas que intervienen. El
diagrama de cuerpo libre de una masa se obtiene aislándola e indicando todas
las fuerzas externamente aplicadas, las fuerzas reactivas y las fuerzas de inercia.
Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio suelen ser un conjunto
de ecuaciones diferenciales comunes para un sistema discreto y de ecuaciones
diferenciales parciales para un sistema continuo.

29. Paso 3: Solución de las ecuaciones rectoras. Las ecuaciones de movimiento deben
resolverse para hallar la respuesta del sistema vibratorio. Dependiendo de la
naturaleza del problema, podemos utilizar una de las siguientes técnicas para
determinar la solución: métodos estándar de solución de ecuaciones
diferenciales, métodos de transformada de Laplace, métodos matriciales y
métodos numéricos. Si las ecuaciones rectoras son no lineales, rara vez pueden
resolverse en forma cerrada.
Se pueden utilizar métodos numéricos que implican computadoras para resolver
las ecuaciones.

30. Paso 4: Interpretación de los resultados. La solución de las ecuaciones rectoras
proporciona los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas
masas del sistema. Estos resultados deben interpretarse con una clara visión del
objetivo del análisis y de las posibles implicaciones de diseño de los resultados.

31. La figura 1.17(a) muestra una motocicleta con un motociclista. Desarrolle una
secuencia de tres modelos matemáticos del sistema para investigar la vibración en
la dirección vertical. Considere la elasticidad de las llantas y el amortiguamiento de
los amortiguadores (en dirección vertical), las masas de las ruedas y la elasticidad,
amortiguamiento y masa del motociclista.
Solución: Comenzamos con el modelo más simple y lo refinamos gradualmente.
Cuando se utilizan los valores equivalentes de la masa, rigidez y amortiguamiento
del sistema, obtenemos un modelo de un solo grado de libertad de la motocicleta
con un motociclista como se indica en la figura 1.17(b). En este modelo, la rigidez
equivalente (keq) incluye la rigidez de las llantas, amortiguadores y motociclista. La
constante de amortiguamiento equivalente (ceq) incluye el amortiguamiento de los
amortiguadores y el motociclista. La masa equivalente incluye las masas de las
ruedas, el cuerpo del vehículo y al motociclista.