Este documento presenta una introducción a las transformaciones lineales. Define una transformación lineal como una función que preserva la estructura de un espacio vectorial al cumplir con las propiedades de adición y multiplicación por escalares. Explica que el núcleo de una transformación lineal contiene los vectores que se mapean al vector nulo, mientras que la imagen contiene los vectores en los que se mapean los vectores del dominio. Finalmente, discute algunas aplicaciones importantes de las transformaciones lineales, como en sistemas de ecuaciones lineales y

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA
DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
NUCLEO MIRANDA-SEDE LOS TEQUES
ALGEBRA LINEAL
PROF: ALUMNA:
LAURA ALVAREZ VANESSA MARTINEZ
LOS TEQUES 24 DE ENERO DE 2011

2. Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para
convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se
pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven
dicha estructura.
Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de
matrices, y viceversa.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen,
el núcleo, y como se desarrolla en las aplicaciones lineales y su importancia.
TRANSFORMACIONES LINEALES:
Se denomina función lineal o transformación lineal a todo conjunto de aplicaciónes que su
dominio y codominio tenga un espacio vectorial que cumpla la siguiente procedimiento:
Sean A y B dos espacios vectoriales posiblemente iguales sobre el mismo espacio o campo(K), y

3. (T) una función de A en B. (T) es una transformación lineal o un mapeo lineal si para todo par de
vectores a y b pertenecientes a A y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface a cualquier
escalar k:
T (a+ b) = T (a) + T (b)
T (Ka) = KT (Ka)
PROPIEDASDES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:
Sean A y B espacios vectoriales sobre K (donde representa el cuerpo) se establece que:
Si T:A Y B es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
Ker (T)={x E A:T(x) =0B}
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores
del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. 0 A E Ker (T) dado que T(0A)=OB
2. Dados A,B Ker (T): T (A+B)=T(A)=0 B+O B= 0B entonces A+B E Ker(T)
3. Dados A E Ker(T)^Ker: R :T (K A)=K T (A)^ T (K B)=0 B=0B entonces K A E Ker(T)
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. (null (T)= dim (ker(T))
la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del
codominio que son imágenes de algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimension de la imagen.
NUCLEO E IMAGEN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
EL NUCLEO:las propiedades fundamentales del núcleo y del contra dominio es que ambos son
espacios vectoriales:
Sean T:A Y B una función lineal entonces.
•ker (T)es un sub espacio de A
•R (T) es un sub espacio de B
El núcleo de T es sub espacios
Sean: A1 Y B2 elementos del núcleo de T y k un escalar cualquier
Así T (A1)=0 T (A2), y por lo tanto:
T(k1 A1 +C2 A2)= C1 T (A1) + C2 T (A2) =C1 0 + C2 0= 0
Dado que C1 A1+ C2 A2 esta también en el núcleo de T. Lo cual implica que a su vez prueba que el
núcleo de T es un sub espacio de A.

4. LA IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION
Sean: B1, Y B2 elementos de la imagen de T y K un escalar cualquiera
Así: T(A1)=B1 y T (A2)=B2 para algunos A1, Y A2 en A y por lo tanto:
T C1 A1 + C2 A2)= C1 , T (A1) + C2 T (A2)=C1 B1 +C2 B2
Sabiendo que C1 B1+ C2 B2 esta también en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de
la función es un sub espacio de B
ISOMORFISMO:
Es un isomorfismo si es una función biyactiva y también decimos que A es isomorfismo a B y lo
denotamos por A~=B
Aplicación de las transformaciones .
Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a
las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio
vectorial.
Creo que una de las aplicaciones que más he utilizado es la de determinar isomorfismos entre distintos
conjuntos para luego trabajar en uno de ellos sabiendo que en todos los isomorfos con él se puede
trabajar de la misma manera y de éste modo ciertos temas que en un determinado conjunto puede ser
complicado se trabaja en otro isomorfo con él y las conclusiones resultan válidos para el primero.
También toda la aplicación a espacios vectoriales, matrices y cambios de base
IMPORTANCIA
Este teorema espectral muestra la importancia de los valores propios y vectores propios para
caracterizar una transformación lineal de forma única.
En su versión más simple, el teorema espectral establece que, bajo unas condiciones determinadas, una
transformación lineal de un vector puede expresarse como la combinación lineal de los vectores
propios con coeficientes de valor igual a los valores propios por el producto escalar de los vectores
propios por el vector al que se aplica la transformación, lo que puede escribirse como:
donde y representan a los vectores propios y valores propios de . El caso más
simple en el que tiene validez el teorema es cuando la transformación lineal viene dada por una matriz
simétrica o una compleja matriz hermética.
Si se define la enésima potencia de una transformación como el resultado de aplicarla n veces
sucesivas, se puede definir también el polinomio de las transformaciones. Una versión más general del
teorema es que cualquier polinomio P de es igual a:
El teorema puede extenderse a otras funciones o transformaciones tales como ,funciones analíticas
siendo el caso más general las funciones de borel.

5. Conclusión

6. Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los
temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están
relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han
visto en temas anteriores.
Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas
ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman
las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros.