Teoría compensadores y controladores

1 Diseño de compensadores y
controladores utilizando el LGR.
El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos de diseño para compensadores
y controladores utilizando el lugar geométrico de las raíces. El esquema del sistema de control a
utilizar será el clásico lazo de retroalimentación simple que se ha estudiado hasta ahora en el cual
el compensador o controlador se introducirá tal como se muestra en la Fig. 1.1, para el cual se debe
definir la función de transferencia del elemento de control o lo que es lo mismo diseñar dicho elemento
tal que se cumplan con requerimientos establecidos. Las funciones de transferencia del actuador Ga(s)
y del medidor Gm(s), serán consideradas unitarias.
Figure 1.1: Esquema de control
El lugar geométrico de las raíces representa la ubicación de las raíces de la ecuación característica a
lazo cerrado cuando se varía un parámetro, generalmente la ganancia del lazo abierto, lo que resulta
en una poderosa herramienta de análisis de la respuesta temporal a lazo cerrado de un sistema. Es por
ello que es de gran utilidad en el diseño de compensadores y controladores cuando las restricciones
del sistema de control vienen expresadas en características de respuesta temporal, tales como, ess, Mp
y ts. Tal como se mostró capítulos anteriores, añadir polos o ceros, a lazo abierto, tiene importantes
repercusiones sobre el comportamiento del sistema a lazo cerrado, por lo que la introducción de un
compensador o un controlador proporcionará mejoras en la respuesta del sistema de control. A conti-
nuación se procederá a describir un procedimiento que permite diseñar compensadores y controladores
utilizando el LGR.
1.1. Diseño de compensadores
Los compensadores a diseñar serán de tres tipos, compensadores en adelanto, en atraso y en adelanto
atraso, siendo los beneficios que proporcionan, la diferencia esencial entre ellos. En principio se des-
cribirá en forma general cada tipo de compensación, de forma tal que quede bien claro los efectos que
proporcionan sobre el LGR o lo que es lo mismo, las posibilidades de mejora de la respuesta que cada
uno de ellos podría darle al sistema a lazo cerrado.
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1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
Tanto el compensador por adelanto como el de atraso están conformados por una pareja de cero y
polo en el eje real, teniéndose que en el caso del adelanto la separación entre el cero y el polo es
apreciable y el cero se encuentra más cerca del eje imaginario que el polo, por lo que al añadirlos
se añade un ángulo positivo considerable y se logra modificar la forma del lugar geométrico. En el
caso del compensador en atraso, tanto el polo como el cero se añaden muy próximos al origen, por lo
que no se modifica la forma del lugar geométrico sino la ganancia a lo largo del mismo. Finalmente,
el adelanto atraso proporciona dos parejas de ceros y polos que pueden modificar tanto la forma del
lugar geométrico como la ganancia a lo largo del mismo. A continuación se describirá detalladamente
el procedimiento de diseño de cada uno de ellos y se resaltará lo mencionado anteriormente.
1.1.1. Compensación en adelanto
La función de transferencia del compensador en adelanto se muestra en la Ec. 1.1, en la cual se aprecia
que el cero ocurre en s = −1/T y el polo en s = −1/αT. Dado que, 0,05 < α < 1, la ubicación del
cero y del polo en el plano s será como la que se muestra en la Fig. 1.2, a partir de alli se observa
que el ángulo proporcionado por el cero y el polo respecto a un punto específico del plano serán φz y
φp, respectivamente, por lo que al añadir el compensador en adelanto, la condición de ángulo se verá
modificada en un valor igual a φ = φz − φp a lo largo de todo el LGR. Debido a ésto, al introducir
este tipo de compensador se modifica la forma del LGR con lo cual se pueden lograr mejoras en la
respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado siguiendo el procedimiento de diseño que se detalla a
continaución.
Gad (s) =
s+ 1
T

s+ 1
αT
= α
(Ts+1)
(αTs+1)
(1.1)
Figura 1.2: Cero y polo del adelanto en el plano s
Procedimiento de diseño
→ A partir de las especificaciones de respuesta transitoria que debe cumplir el sistema a lazo ce-
rrado, se determina la localización de los polos dominantes deseados, que en adelante serán
identificados como PDD.
→ Se verifica si los PDD pertenecen al LGR del sistema no compensado, lo cual puede realizarse
por simple observación si se dispone del LGR exacto o se realiza utilizando la condición de
ángulo.
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1.1 Diseño de compensadores
→ A partir del cálculo anterior se dispone del ángulo necesario para lograr que los PDD pertenez-
can al LGR, el cual conoceremos de ahora en adelante como φ. Con ello se diseña la red de
adelanto utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos.
• Primer método: se ubica el cero y el polo del compensador en cualquier lugar del eje real
de forma tal que el ángulo proporcionado por ambos sea igual a φ. También se puede
colocar el cero debajo del PDD, tal como se observa en la Fig. 1.3 y se ubica el polo de
forma tal que se satisfaga la condición de ángulo, es decir, φ = 900 −φp. Se debe tener el
cuidado de no calcelar ni polos ni ceros de la función de trasnferencia a lazo abierto.
Figura 1.3: Ubicación del polo y cero. Primer método.
• Segundo método o método de la bisectriz: se traza una horizontal que pase por el PDD y
una recta que una el origen con el mismo polo. Se traza la bisectriz al ángulo formado y
de allí se trazan dos rectas a φ/2 de cada lado, lo que ubica el polo y el cero del adelanto.
Ver Fig. 1.4. Este método garantiza que la mayor ganancia en el PDD.
Figura 1.4: Ubicación del polo y cero. Primer método.
→ Una vez ubicados el cero y el polo del adelanto se recomienda realizar el LGR exacto o un
esbozo del mismo para garantizar que los PDD pertenecen a una rama dominante del LGR.
→ Finalmente se debe calcular por condición de módulo la ganancia tal que, los polos dominan-
tes deseados sean la solución de la ecuación característica, tal como se muestra en la Ec. 1.2.
Una vez calculada esta ganancia, se podrían obtener las raíces de la ecuación característica del
sistema compensado y verificar que los PDD son verdaderamente los que dominan la respues-
ta del lazo cerrado, en caso de que con el paso anterior ello no haya quedado completamente
demostrado.
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1 Diseño de compensadores y controladores utilizando el LGR.
|KcGad(s)G(s)| = 1 (1.2)
Ejemplo 1.1 Para un sistema de control como el mostrado en la Fig. 1.1, donde la función de transfe-
rencia del medidor y del accionador son unitarias, se tiene que la función de transferencia del proceso
viene expresada por la Ec. 1.3. Se desea que se diseñe un compensador tal que, los polos dominantes
del lazo cerrado se encuentren en s = −3±2
√
3 j. Una vez añadido el compensador determine el error
del sistema de control ante una rampa unitaria.
G(s) =
1
s(0,5s+1)
(1.3)
Solución
Se verifica si los PDD pertenecen al lugar geométrico de las raíces utilizando la condición de ángulo,
tal como se muestra en la Ec. 1.4, a partir de la cual se determina el ángulo que debe introducir el
compensador.
−∠

−3+2
√
3 j

−∠
h
0,5

−3+2
√
3 j

+1
i
= −130,890
−106,110
= −2370
6= −1800
(1.4)
de allí que el ángulo a añadir será,
φ = 570
Utilizando el primer método se ubica el cero del adelanto debajo del PDD por lo que el ángulo del
polo será φp = 90 − φ, a partir de allí se calcula la ubicación del polo tal como se muestra en la Ec.
1.5.
sp = 3+
2
√
3
tg(330)
!
= 8,33 (1.5)
de allí que la función de transferencia a lazo abierto quedará,
G(s)Gad(s) =

1
s(0,5s+1)

Kc
s+3
s+8,33

A continuación se calcula la ganancia Kc que garantiza que los PDD son verdaderamente la solución
de la ecuación característica a lazo cerrado, para lo que se utiliza la condición de módulo.
Kc =

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