El documento describe los primeros intentos de formular una teoría cuántica relativista para una partícula libre. Se discuten varias ecuaciones propuestas, incluida la ecuación de Klein-Gordon. Sin embargo, ninguna permite una interpretación probabilística simple de la función de onda como en la mecánica cuántica no relativista. El documento concluye que la ecuación de Klein-Gordon sigue siendo un candidato viable para una teoría cuántica relativista.

1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
TEORÍA CUÁNTICA RELATIVISTA
“Formulación de una teoría cuántica relativista”
ALUMNO:
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
ESCUELA PROFESIONAL DE:
FÍSICA
Ciudad universitaria, 20 de Noviembre del 2014
Formulación de una teoría cuántica relativista.

2. Dado que los principios de la relatividad especial son generalmente
aceptados eneste momento,una correctateoría cuántica debe satisfacerel
requerimiento de la relatividad: las leyes del movimiento válidos en un
sistemainercial debe sercierto en todos los sistemas inerciales. Enunciada
matemáticamente, la teoría cuántica relativista debe ser formulada en una
forma covariante de Lorentz.
Al hacer la transición de la mecánica cuántica no relativista a la mecánica
cuántica relativista, vamos a poner el máximo empeño en retener los
principios subyacentes de la teoría no relativista. Los repasaremos
brevemente:
1. Para un sistema físico dado ahí existe una función de estado que
resume todo lo que podemos saberacerca del sistema. En nuestro estudio
inicial de la teoría relativista de una partícula, normalmente tratamos
directamente con un procesamiento de coordenadas de la función de
estado, la función de onda es una función
compleja de todos los grados de libertad clásicos, q1…qn del tiempo t y de
cualqueir grado de libertad adicional, tal como el espin si, que es
intrínsecamente de la mecánica cuántica. La función de onda no tiene
interpretación física directa, sin embargo, es
interpretada como la probabilidad del sistemaque tenga valores (q1…sn)en
el instante t. Evidentemente esta interpretación probabilística requiere que
la suma de las contribuciones positivas de todos los valores de q1…sn
en el instante t sea finito para todas las funciones de onda físicamente
aceptables ᴪ.
2. Cada observable físico está representado por un operador hermitiano
lineal. En particular, para el momnetum canónico pi el operador de
correspondencia para un procesamiento de coordenada es .
3. Un sistema físico es un eigenestado deloperadorΩ si (1,1),
donde es eleigenestado n-ésimocorrespondiente aleigenvalor ωn.Para
un operador hermitiano, es real. En un procesamiento de coordenadas
la correspondiente ecuación para (1,1) es .
4. El desarrollo de estados postula que una función de onda arbitraria, o
función de Estado, para un sistema físico puede desarrollarse en un
conjunto completo ortonormal de eigenfunciones de un conjunto
completo de operadores que comnmutan Escribimos, entonces,
, donde la afirmación de ortonormalidad es

3. ,
registra la probabilidad de que el sistema está en el n-ésimo eigenestado.
5. El resultado de una medidade un observable físico es cualquiera de sus
eigenvalores.En particular, para un sistemafísico descrito porla función de
onda con la medida de un observable físico Ω da
lugar al eigenvalor con una probabilidad . El promedio de muchas
medidas del observable Ω en los sistemas preparados idénticamente viene
dada por
.
6. El desarrollo temporal de un sistemafísico es expresado porla ecuación
de Schrödinger (1,2), donde el hamiltoniano H es un operador
hermitiano lineal. No tiene dependencia temporal explícita para un sistema
físico cerrado, es decir, en cuyo caso sus eigenvalores son los
posibles estados estacionarios del sistema. Un Principio de superposición
es una consecuencia de la linealidad de H y una afirmación de la
conservación de la probabilidad de la propiedad hermitiana de H:
(1,3).
Luchamos para mantener estos seis principios conocidos como las bases
de una teoría cuántica relativista.
LOS PRIMEROS INTENTOS.
El sistemafísico más sencillo es el de una partícula aislada y libre, en el cual
el hamiltoniano no relativista es (1,4).
La transición a la mecánica cuántica es lograda con la transcripción
(1,5), el cual conduce a la ecuaciónde Schrödingerno
relativista (1,6).
Las ecuaciones (1,4) y (1,6) son no covariantes y por lo tanto,
insatisfactorias. Los lados izquierdo y derecho se transforman de manera

4. diferente bajo transformaciones de Lorentz. De acuerdo a la teoría de la
relatividad especial, la energía total E y el momento (px, py, pz) se
transforman como componentes de un cuadrivector contravariante
, de longitud invariante
(1,7), m es la masa en reposo de la
partícula y c la velocidad de la luz en vacío.
La notación covariante utilizada a lo largo de este libro es analizado con
mayor detalle en el Apéndice A. Aquí sólo notaremos que la transcripción
del operador (1,5) es covariante Lorentz, ya que es una correspondencia
entre dos cuadrivectores contravariantes
Al seguir esto, es natural tomar como el hamiltoniano de una partícula libre
relativista (1,8), y escribir como un análogo relativista
cuántico de (1,6) (1,9).
Inmediatamente estamos encarando con el problema de interpretar el
operador de la raíz cuadrada a la derecha de la ecuación. (1,9). Si
expandimos,obtenemosuna ecuación que contiene todas las potencias del
operadorderivada y por lo tanto una teoría no local. Estas teorías son muy
difíciles de manejar y presentan una versión poca atractiva de la ecuación
de Schrödinger en el cual las coordenadas del espacio y del tiempo
aparecen en forma asimétrica.
En el interés de la simplicidad matemática (aunque quizá con una falta de
fuerza física total) eliminamos el operador de la raíz cuadrada en (1,9),
escribiendo (1,10).
De manera equivalente, iterar (1,9) y utilizando el hecho de que si [A,B]=0 ,
implica , tenemos .
Esto es reconocidocomo laecuaciónde onda clásica
donde (1,11). Antes de mirar con más detalle en (1.11),
notamos primero que, al elevar al cuadrado la relación de energía hemos
introducido una extraña raíz negativa de energía .

5. A fin de obtener una ecuación simple,hemos sacrificado la energía positiva
definida e introducido la dificultad de la soluciones "extras" de energía
negativa. Esta dificultad es superada eventualmente (como
estudiaremos más adelante), y las soluciones negativas de energía capaz
de demostrar interpretación física. En particular, están asociados con
antipartículas, y la existencia de antipartículas en la naturaleza presta un
soporte experimental fuerte para este procedimiento. Así vamos por un
momento a considerarla ecuación. (1,10) y la ecuación de onda inferida de
(1,11). Nuestra primera tarea es construir una corriente conservada, ya que
(1,11) es una ecuación de onda de segundo orden y es alterada a partir de
la forma de Schrodinger (1,2) sobre el cual se basa la interpretación de
probabilidad en la teoría no relativista. Esto lo hacemos en analogía con la
ecuación de Schrodinger, tomando veces (1.11), veces la ecuación
compleja conjugada, y restando:
o
(1,12).
Es deseable interpretar
como una densidad de probabilidad .
Sin embargo, esto es imposible, puesto que no es una expresión positiva
definida. Por esta razón seguiremos la trayectoria de la historia y
desechamos temporalmente la ecuación. (1,11) con la esperanza de
encontrar una ecuación de primer orden en la derivada temporal el cual
admita una interpretación fácil de la probabilidad como en el caso de
Schrödinger. Regresaremos a (1,11), sin embargo. A pesar de que
encontraremos una ecuación de primer orden, todavía resulta imposible
mantener una densidad de probabilidad positiva definida para una sola
partícula aunque al mismo tiempo proporciona una interpretación física de
la raíz negativa de la energía (1,10).Por lo tanto la ecuación(1,11), también
llamado con frecuencia como la ecuación de Klein-Gordon, permanece
como un candidato igualmente fuerte para una mecánicacuánticarelativista
como el candidato el cual ahora se estudiará.
-A lo largo, se utiliza la notación [A,B]=AB-BA para los brakets conmutador
y [A, B] = AB + BA para brackets anticommutator.