El documento define el equilibrio mecánico y discute la estabilidad del equilibrio. Define el equilibrio mecánico como una situación en la que la suma de fuerzas y momentos sobre cada partícula de un sistema es cero, o cuando la posición de un sistema es un punto donde el gradiente de la energía potencial es cero. Explica que el equilibrio puede ser estable, inestable o metaestable dependiendo de si la segunda derivada de la energía potencial es positiva, negativa o cero respectivamente. También cubre conceptos como equilibrio estático,

1. UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJAESCUELA DE GEOLOGIA Y MINAS TEMA: EQUILIBRIO MECÁNICO DOCTOR: ALUMNOS: NIXON FIERRO JAIME SOTO CARLOS NARVAEZ FECHA: 21 – 01 – 2010

3. Un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de configuraciónes un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero. La alternativa (2) definición de equilibrio que es más general y útil (especialmente en mecánica de medios continuos).

6. En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un razonamiento similar al de las fuerzas:Resultando:

8. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial. Equilibrio meta-estable, inestable y estable. Un resultado elemental del analices matemático dice una condición necesaria para la existencia de un extremo local de una función diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algún punto. Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial es < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si el sistema sufre un desplazamiento de su posición de equilibrio, por pequeño que este sea, entonces se alejara mas y mas de el.

9. Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada es = 0, entonces se encuentra una región donde la energía no varía. Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada es > 0, y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local. Para problemas bidimensionales ytridimensionales, la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la forma cuadrática Q(x1,..., xn) definida por la matriz de la energía potencial. Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en) es definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son números positivos. Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos. Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en) es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo. Esto implica que según ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero según otras habrá inestabilidad unidimensional

10. TEORÍA DE LA ESTABILIDAD En Matemáticas, Física y las Ciencias Aplicadas la teoría de la estabilidad estudia las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina como difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iníciales. Estabilidad de ecuaciones diferenciales Debido a que toda ecuaciones diferenciales puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales puede reducirse al estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Consideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo no lineal dado por: Donde es el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que contiene al origen y . una función continua. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el origen es un punto de equilibrio.

11. Estabilidad numérica La estabilidad numérica técnicamente no forma parte de la teoría de la estabilidad, puesto que no analiza la estabilidad de soluciones de un sistema de evolución temporal, sino la estabilidad del algoritmo usado para encontrar una de las soluciones de dicho sistema. Estabilidad de sistemas dinámicos La estabilidad de los sistemas dinámicos se refiere a que pequeñas perturbaciones en las condiciones iníciales o en alguna de las variables que intervienen en la ecuación del movimiento produzca un comportamiento suficientemente similar al comportamiento sin dichas perturbaciones.

13. En Matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos. De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una función X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por , entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov.

14. De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo, entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.

15. Estabilidad estructuralSe define como un conjunto de elementos combinados entre sí con el objeto de resistir con seguridad las cargas a la que es sometida y transmitirla al terreno de fundación.

17. La estática, se ocupa de las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas; la dinámica estudia el movimiento de los cuerpos ambas componen la mecánica que se encuentra dentro de las fuerzas físicas.Fuerza: es la acción de un cuerpo sobre el otro que tiende a alterar el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, como magnitud vectorial y hay dos tipos de magnitudes Escalares, quedan definidas mediante números y unidades por ejemplo la distancia y el tiempo. Vectoriales, requieren dirección de modulo y sentido, se pueden sumar gráficamente.

18. PUNTO DE SILLA En una función de varias variables, si el gradiente en un punto se anula, puede haber un máximo,mínimo ó un punto de silla, que no es ni máximo ni mínimo. Es un punto en el que la función en una dirección crece, y en otra decrece. Su nombre se debe a que las funciones en estos puntos tienen forma de silla de montar. Un ejemplo típico es el paraboloide hiperbólico , la función en R3: Para determinar sus extremos relativos, calculamos su derivada parcial respecto a x:

19. En el punto donde esta derivada valga cero, puede ser un extremo relativo: En el punto x = 0 puede haber un extremo relativo, calculando su derivada segunda vemos: Que es un mínimo, esto es siguiendo el eje de las x, en el punto x = 0 la función presenta un mínimo relativo. Veamos esto mismo en la dirección del eje de las y, su derivada parcial primera es: Cuando esta derivada primera valga cero, puede presentar un extremo relativo: En el punto y = 0, se da esta circunstancia, si vemos su derivada segunda, tenemos: Que toma valor negativo, luego este punto y = 0, es un máximo relativo, el punto x = 0, y = 0, es un punto de silla, dado que en la dirección de las x es mínimo y en la dirección de las y es un máximo.

20. G R A C I A S